La théorie des jeux

La théorie des jeux Analyse des comportements stratégiques Utilisée en économie Relations internationales Jeux d’argent ou de société, etc. Concurrence imparfaite Interactions stratégiques Entreprises tiennent compte de la demande Production : fonction des autres entreprises

La théorie des jeux Le dilemme du prisonnier Résolution d’un jeu L’équilibre de Nash L’équilibre en stratégie mixte Les jeux répétés

Le dilemme du prisonnier Le dilemme du prisonnier définit une solution de jeux dans lesquels l’équilibre est sous-optimal La solution optimale ne peut constituer l’équilibre du jeu issu de la rationalité des agents compte tenu des hypothèses de comportement et d’information. Le dilemme du prisonnier démontre la difficulté à établir une coopération entre les agents alors que celles-ci auraient accru le bénéfice des agents.

Le dilemme du prisonnier Le jeu dans sa forme classique Deux suspects son arrêtés par la police, mais la police manque de preuve pour les emprisonner. Il ne peuvent les condamner qu’à un an de prison pour des faits mineurs. La police doit les faire avouer. Comment s’y prendre ?

Le dilemme du prisonnier Les policiers proposent un marché Si les deux avouent, ils auront chacun 5 ans, si l’un avoue et l’autre nie, ils encourent 1 ou 10 ans, si les deux nient, chacun aura 2 ans de prison Matrice des gains 2ème criminel avoue nie 1er criminel (5;5) (1;10) (10;1) (2;2)

Le dilemme du prisonnier La solution du jeu est que le deux avouent Chaque joueur poursuit son propre intérêt S’agit-il d’un optimum social ? Contestation de la théorie économique « A beautiful mind » Sans coopération, l’équilibre n’est pas optimal

Illustration: duopole avec bien homogène Deux entreprises sur un marché peuvent : Se faire concurrence (Cournot) S’entendre pour partager la rente (cartel) Profit de l’entente > profit de duopole. Si l’entente n’est pas illégale, alors cette solution est optimale du point de vue des entreprises. Mais l’entreprise peut essayer de tricher et produire plus.

Illustration: duopole avec bien homogène 2 joueurs : 2 entreprises A et B Produisant le même bien 2 stratégies : Produire la quantité de duopole Produire la quantité d’entente Etant donnés 2 joueurs et 2 stratégies, le marché peut se trouver dans 4 cas de figure différents.

Illustration: duopole avec bien homogène Dans un cas d’entente respectée: Chaque entreprise gagne un profit d’entente Πe = 10 Dans un cas de concurrence de duopole : Chaque entreprise gagne un profit de duopole moins élevé Πd = 2 En cas d’entente non respectée: L’entreprise produisant la quantité de duopole capture des parts de marchés et gagne un profit de tricheur élevé, Πt = 15. L’autre entreprise est pénalisée et gagne un profit minimum, Πm = 0.

Illustration: duopole avec bien homogène Quel est la meilleure stratégie pour chaque entreprise? Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A (2, 2) (15,0) (0,15) (10,10) Pour ent. A: Qd si ent B choisit Qd Qd si ent B choisit Qe Pour ent. B: Qd si ent A choisit Qd Qd si ent A choisit Qe

Illustration: duopole avec bien homogène Remarquons que la stratégie dominante est de produire la quantité de duopole, quelle que soit la stratégie de l’autre joueur. Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A (2, 2) (15,0) (0,15) (10,10) Une stratégie dominante est une stratégie qui ne dépend pas des décisions des autres joueurs.

La théorie des jeux Le dilemme du prisonnier Résolution d’un jeu L’équilibre de Nash L’équilibre en stratégie mixte Les jeux répétés

Résolution d’un jeu Un jeu se résout comme suit Identifier les décisions de A Meilleure décision de A, compte tenu de B1 Meilleure décision de A, compte tenu de B2, etc. Identifier les décisions de B Meilleure décision de B, compte tenu de A1 Meilleure décision de B, compte tenu de A2, etc. On caractérise la solution du jeu, si elle existe

Résolution d’un jeu (1) * Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A (2, 2) Seules les décisions de A sont prises en compte Seules les décisions de A sont retenues si B choisit Qd On retient la décision qui génère le plus gros gain Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A (2, 2) (15,0) (0,15) (10,10) *

Résolution d’un jeu (2) * * Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A Seules les décisions de A sont prises en compte Seules les décisions de A sont retenues si B choisit Qe On retient la décision qui génère le plus gros gain Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A (2, 2) (15,0) (0,15) (10,10) * *

Résolution d’un jeu (3) * * * Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A Seules les décisions de B sont prises en compte Seules les décisions de B sont retenues si A choisit Qd On retient la décision qui génère le plus gros gain Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A (2, 2) (15,0) (0,15) (10,10) * * *

Résolution d’un jeu (4) * * * * Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A Seules les décisions de B sont prises en compte Seules les décisions de B sont retenues si A choisit Qe On retient la décision qui génère le plus gros gain Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A (2, 2) (15,0) (0,15) (10,10) * * * *

Résolution d’un jeu (5) * * * * Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A Un jeu a un équilibre quand il génère une convergence des décisions stratégiques Le couple de stratégies (Qd;Qd) est la solution du jeu Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A (2, 2) (15,0) (0,15) (10,10) * * * *

Résolution d’un jeu - Exemple de l’aéronautique Prenons le cas de de l’aéronautique, avec deux constructeurs : Airbus et Boeing. Voici la matrice des profits de chacun des constructeurs quand ils entreprennent de produire (P) ou pas (NP) Matrice des gains Airbus P NP Boeing (-1,-1) (10,0) (0,10) (0,0)

Résolution d’un jeu - Exemple (1) Seules les décisions de Boeing sont prises en compte Seules les décisions de Boeing sont retenues si Airbus choisit de produire On retient la décision qui génère le plus gros gain Matrice des gains Airbus P NP Boeing (-1,-1) (10,0) (0,10) (0,0) *

Résolution d’un jeu - Exemple (2) Seules les décisions de Boeing sont prises en compte Seules les décisions de Boeing sont retenues si Airbus chosit de ne pas produire On retient la décision qui génère le plus gros gain Matrice des gains Airbus P NP Boeing (-1,-1) (10,0) (0,10) (0,0) * *

Résolution d’un jeu - Exemple (3) Seules les décisions de Airbus sont prises en compte Seules les décisions de Airbus sont retenues si Boeing choisit de produire On retient la décision qui génère le plus gros gain Matrice des gains Airbus P NP Boeing (-1,-1) (10,0) (0,10) (0,0) * * *

Résolution d’un jeu - Exemple (4) Seules les décisions de Airbus sont prises en compte Seules les décisions de Airbus sont retenues si Boeing choisit de ne pas produire On retient la décision qui génère le plus gros gain Matrice des gains Airbus P NP Boeing (-1,-1) (10,0) (0,10) (0,0) * * * *

Résolution d’un jeu - Exemple (5) Ce jeu a deux équilibres (convergence des décisions stratégiques) Le couple de stratégies (P;NP) est le premier équilibre du jeu Le couple de stratégies (NP;P) est le deuxième équilibre du jeu. Matrice des gains Airbus P NP Boeing (-1,-1) (10,0) (0,10) (0,0) * * * *

Exemple de jeu sans équilibre Matrice des gains Joueur 2 S1 S2 Joueur 1 (0,10) (10,0) * * * *

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L’Equilibre de Nash L’équilibre de Nash est une situation où aucun joueur ne peut améliorer sa situation en changeant unilatéralement de stratégie, compte tenu des décisions de l’autre joueur Propriétés centrales: Contribution de John Nash (1950) L’équilibre de Nash est généralement stable Chaque jeu défini à au moins un équilibre de Nash: soit en stratégies pures : les joueurs ne jouent qu'une seule stratégie à l’équilibre soit en stratégies mixtes : les joueurs jouent plusieurs stratégies avec une probabilité fixe

Retour à l’exemple de Duopole: L’Equilibre de Nash Retour à l’exemple de Duopole: Un joueur peut-il seul améliorer sa position ? L’entreprise A ? L’entreprise B ? Puisque qu’ où aucun joueur ne peut améliorer sa situation, il s’agit d’un équilibre de Nash Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A 2,2 15,0 0,15 10,10

Efficacité de l’équilibre Retour à l’exemple de Duopole: La stratégie dominante est de produire «  Qd  » Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A 2,2 15,0 0,15 10,10 Mais l’équilibre «Qd-Qd» n’est pas collectivement optimal au sens de Pareto Si le nombre d’agents est restreint, la rationalité individuelle n’amène pas forcement au bien être collectif

Efficacité de l’équilibre Retour à l’exemple de Duopole: Remarquons que puisque les gains en cas d’entente sont supérieurs au gains sans entente, il s’agit d’un jeu de coordination. Matrice des gains Ent. B Qd Qe Ent. A 2,2 15,0 0,15 10,10 Un jeu de coordination est un jeu où les paiements sont plus élevés quand les joueurs peuvent coordonner leurs stratégies.

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Stratégies pures, stratégies mixtes Exemple du jeu des tirs au but 2 joueurs : Gardien et buteur 2 stratégies : tirer/plonger à gauche/droite Hypothèse de « talent » des joueurs Le buteur ne tire jamais à coté Le gardien intercepte toujours si du bon coté Ceci permet de simplifier !! Quelle est la matrice des gains ?

Stratégies pures, stratégies mixtes Pour le buteur: D si le gardien choisit G G si le gardien choisit D Matrice des gains Gardien G D Buteur 0,1 1,0 Pour le gardien: G si le buteur choisit G D si le buteur choisit D Quel que soit le résultat, l’un des joueurs peut améliorer sa situation en changeant de stratégie. Pas d’équilibre de Nash en stratégies pures !

Stratégies pures, stratégies mixtes Il existe cependant un équilibre en stratégies mixtes Matrice des gains Gardien G D Buteur 0,1 1,0 Stratégie pour les 2 joueurs: Jouer G et D 50% du temps (1 fois sur deux) Chaque cas à une probabilité de 0.25 Le buteur marque un but sur deux, l’autre est arrêté par le gardien

Stratégies pures, stratégies mixtes Vérifions que cet équilibre est bien un équilibre de Nash: Le gardien joue G et D 50% du temps. Le buteur peut il augmenter son taux de succès en déviant de la règle 50-50? Si le buteur décide de jouer 60% à gauche et 40% à droite, son taux de succès est: (0.6 ✕ 0.5) + (0.4 ✕ 0.5) = 0.5 (0.3) + (0.2) = 0.5 En choisissant 60-40, le buteur marque plus à gauche mais moins à droite. Son taux de succès est le même, il ne peut donc pas améliorer sa situation. On a bien un équilibre de Nash

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Les jeux répétés La nature et la stabilité de l’équilibre dépendent du fait que le jeu est répété ou non. L’existence d’équilibre en stratégies mixtes, par exemple, repose sur une répétition du jeu. Même dans les cas de stratégie pure (par exemple le dilemme du prisonnier), la stabilité est affectée par les répétitions du jeu. Dépend de l’horizon temporel du jeu Jeu fini Jeu infini

Les jeux répétés Cas du duopole: l’équilibre socialement préférable (entente) peut être stable dans le temps si le jeu est répété à l’infini On peut sanctionner le « tricheur » lors du jeu suivant. On peut aussi mettre en place une menace crédible pour dissuader le tricheur. Stratégie du donnant-donnant (Tit-for-tat) : comportement mimétique (Axelrod)

Les jeux répétés Cas du duopole: l’équilibre socialement préférable (entente) peut être stable dans le temps si le jeu est répété à horizon fini Le jeu s’arrête au bout the T périodes Raisonnement à rebours (backward induction) On part de la dernière période On détermine ce que l’on doit faire en T-1 en fonction de T, etc. Pas de solution stable

Théorie des jeux : définitions Une stratégie dominante est une stratégie qui ne dépend pas des décisions des autres joueurs L’équilibre d’un jeu est un couple de décision convergente (pas nécessairement les mêmes) Un équilibre de Nash est une situation où aucun joueur ne peut améliorer sa situation unilatéralement Une stratégie mixte est une stratégie qui fait appel à des choix aléatoires ou probabilistes Un jeu de coordination est un jeu où les paiements sont plus élevés quand les joueurs peuvent coordonner leurs stratégies. Un jeu à somme nulle est un jeu où les gains de l’un des joueurs représentent les pertes de l’autre.