Animation mathématiques: Calcul mental au cycle 3 08/10/11

Effectuez le calcul suivant mentalement 45 + 17 Ecrivez la procédure que vous avez utilisée On écrit les procédures au tableau On les comparera avec la diapo suivante 08/10/11

Quelle procédure avez-vous utilisée ? L’élève pose l’addition en colonne dans sa tête= simulation mentale Décompositions canoniques 45+10+7=55+7 40+5+10+7= 50+12 Décompositions additives s’appuyant sur le passage à une dizaine supérieure 45+5+12=50+12 45+15+2=60+2 2+43+17=2+60 On voit donc qu’il y a plusieurs procédures. Chaque procédure implique des niveaux de compétences différents. Ces procédures se différencient par les connaissances mobilisées, le coût en mémoire et en calcul. L’algorithme écrit simulé mentalement mobilise peu de connaissances sur les propriétés des nombres en jeu mais en revanche, il est très coûteux car il nécessite de mémoriser beaucoup de données. Les procédures basées sur des décompositions canoniques (nombres de dizaines et d’unités) nécessitent de connaître des décompositions souvent fréquentées. Plus économiques que la précédente, elles restent coûteuses. Les deux derniers types de procédures réduisent le coût en mémoire et en calculs intermédiaires mais nécessitent la disponibilité de décompositions moins souvent fréquentées. De plus, très liées aux nombres en jeu, elles ne peuvent être mobilisées dans tous les calculs. Des recherches ont montré que les procédures mobilisées par les élèves de fin de cycle 2, sont l’algorithme écrit « posé dans la tête » (procédure quasi majoritaire), les différentes procédures mobilisant des décompositions canoniques et, beaucoup plus rarement, celles mobilisant d’autres décompositions additives ou soustractives. Ces dernières nécessitent une prise en compte de la spécificité des nombres intervenant dans le calcul et de leurs propriétés, leur domaine de validité est limité. Un enseignement spécifique préalable semble donc nécessaire. Les élèves préfèrent, dans un premier temps, utiliser des procédures sûres (qui fonctionnent dans tous les cas et conduisent, à condition d’être menées à terme, au résultat attendu) mais coûteuses plutôt que des procédures mieux adaptées au calcul en jeu. De plus, les élèves les plus en difficulté en mathématiques se limitent davantage et plus longtemps aux premières. Ils font preuve de moins d’adaptabilité. Sans un enseignement de calcul mental visant spécifiquement à combler le manque d’adaptabilité manifesté par ces élèves, deux dynamiques peuvent s’installer dans la classe. L’absence ou la présence de prérequis numériques des élèves va initialiser ces dynamiques et conduire ou non à un déficit en termes d’apprentissage. On voit donc qu’ il convient de distinguer : ce qu’il faut mémoriser ou automatiser (les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure…) et ce qu’il faut être capable de reconstruire (et qui relève du calcul réfléchi : idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais en s’appuyant sur ce qui est connu). Seules des pratiques quotidiennes de calcul mental peuvent en assurer la maîtrise. Mais qu’entend-ton par Calcul mental, qu’en disent les programmes ? Décomposition soustractive de l’un des deux termes (passage par la dizaine supérieure) 45+20-3=65-3 08/10/11

Le calcul mental, Comment? Ce que disent les programmes 2008: Cycle 2 : « une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De premiers automatismes s’installent. » « Le calcul mental doit faire l’objet d’une pratique quotidienne d’au moins 15 minutes. » L’entraînement au calcul mental doit être quotidien dès le CP et se prolonger tout au long de l’école élémentaire. Le calcul mental doit faire l’objet d’une pratique quotidienne d’au moins 15 minutes. C’est au cycle 2 que les élèves élaborent les bases de calcul mental, en particulier dans le domaine additif. Il s’appuie sur la connaissance progressive de la table d’addition puis de la table de multiplication… Les compétences correspondantes doivent donc être développées en priorité, notamment à travers le calcul réfléchi. L'appropriation progressive de résultats mémorisés et l'élaboration de procédures s'appuient souvent en ce domaine sur les caractéristiques des désignations orales des nombres, ce qui implique qu'on ne s'en tienne pas aux seuls exercices écrits. Les procédures utilisées doivent être explicitées et faire l'objet d'échanges entre les élèves. C'est l'occasion d'insister sur la diversité des procédures utilisables pour traiter un même calcul. La mémorisation ou la reconstruction très rapide des résultats des tables d'addition (de 1 à 9) et leur utilisation pour fournir des compléments et des différences nécessitent un long apprentissage qui n'est d'ailleurs pas toujours terminé à la fin du cycle 2. 26/03/2017 Le calcul à l'école

Cycle 3: Il renforce ses compétences en calcul mental. Il acquiert de nouveaux automatismes. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. 26/03/2017 Le calcul à l'école

Le calcul mental, comment? On distingue 2 formes de calcul: Le calcul automatisé Le calcul réfléchi Eduscol: la connaissance sur les nombres et les opérations et la maîtrise de techniques de calcul mental se développent en parallèle. une pratique régulière de calcul mental a des effets sur les performances des élèves sur les résolutions de problèmes numériques. Les séances de calcul mental peuvent s’articuler en 3 temps: connaître les nombres automatiser enrichir les stratégies de calcul réfléchi. 26/03/2017 Le calcul à l'école

Le calcul mental automatisé Il ne se réduit pas à l’apprentissage de recettes calculatoires détachées de toute compréhension. 26/03/2017 Le calcul à l'école

Il s’agit de favoriser la récupération directe en mémoire d’un résultat . Quelles compétences relèvent du calcul mental automatisé? CE2: - Connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié ou demi, triple, quart d’un nombre entier. - Connaître et utiliser certaines relations entre des nombres d’usage courant : entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30 et 60. Nombre d’usage courant: CP: nbs<20 CE1: CP+ les nombres des dizaines (10; 20; 30….100) Mémoriser sous entend que la construction aura déjà commencée Il s’agira ici de calcul réfléchi et non d’automatisation de la division à partir des connaissances des doubles et moitiés, des tables de multiplication, de la maîtrise de la commutativité et éventuellement de la décomposition des nombres. Ex dans les évaluations 100:2 doubles; 40:5 ref à la table de 5 on posera la question dans quarante combien de fois 5 en calcul mental. Si on veut aller jusqu’à des calculs du type 65:5 (c’est-à-dire au-delà des tables), il faudra entraîner les élèves à procéder par étapes : 65 = 50+15 50=5X10 15=5X3 donc 65=5X13 donc 65:5=13 … Une fois les multiplication à trous comprises on pourra introduire le signe : 26/03/2017

Calcul sur des nombres entiers Calculer mentalement - Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d’addition et de multiplication. - Calculer mentalement des sommes, des différences; des produits. CM1: La notion de multiple : reconnaître les multiples des nombres d’usage courant : 5, 10, 15, 20, 25, 50. 26/03/2017 Le calcul à l'école

Calcul Calculer mentalement - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. - Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. - Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. 26/03/2017 Le calcul à l'école

CM2: Calcul Calculer mentalement - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. - Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. 26/03/2017 Le calcul à l'école

Pour apprendre la table d’addition on prendra appui par exemple sur Les doubles Les compléments à 10 Les presque doubles Le passage par 10 le sur comptage +1, +2, +3 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Pour cet apprentissage, l'entraînement et la répétition, pour indispensables qu'ils soient, ne suffisent pas… La mise en place de "points d'appui" (résultats connus) constitue un objectif important : utilisation des doubles, de la commutativité de l'addition ("3 + 8 c'est comme 8 + 3"), des compléments à 10... Cela passe par une phase de construction utilisant des points d’appui Exemple de points d’appuis dans la table d’addition. Comment faciliter sa mémorisation en donnant des points d’appui. Concernant les tables : Ne pas toujours réciter dans l’ordre croissant Ne pas toujours commencer par le début Par exemple, que permet d’inférer la connaissance de 7 + 6 ? c’est être capable de répondre 13 immédiatement, mais c’est également pouvoir répondre immédiatement à • « Combien de 7 pour aller à 13 ? », « combien de 6 pour aller à 13 ? », • « 13 – 6 ? », « 13 – 7 ? » • à produire très vite, entre autres, 7 + 6 et 6 + 7 lorsque sont demandées des décompositions additives de 13. 26/03/2017 Le calcul à l'école

Pour apprendre la table de multiplication, on prendra appui sur comptage de n en n (exemple pour la table de 5) comprendre que la multiplication est une addition réitérée connaître les doubles savoir que multiplier par 2, c’est doubler; savoir que multiplier par 4 c’est doubler 2 fois les résultats rapidement connus des tables de 2 et de 5 l’utilisation de la commutativité (7 x 2 c’est comme 2 x 7) A préciser: Donner un sens aux mots fois et « multiplié par » et les distinguer. « 2 fois 3 » correspond à 3+3 « 2 multiplié par 3 » correspond à 2+2+2 Cela peut conduire à privilégier une manière de réciter les tables: la table de pythagore est parfois difficile au CE1, il sera préférable d’utiliser une table linéaire. L’élève pourra colorier ce qu’il sait au fur et à mesure pour identifier ce qu’il lui reste à apprendre et ses progrès. 26/03/2017

Penser à varier les approches pour un même résultat, en utilisant les possibilités de la langue mathématique: EXEMPLE POUR L’ADDITION 7+6 Combien pour aller de 7 à 13 ? Combien ajouter à 7 pour obtenir 13 ? Combien pour aller de 6 à 13 ? 13 c’est 7 et combien ? 13 c’est 6 et combien ? 13-6=? 13-7=? Combien ôter à 13 pour obtenir 7 ? 6+7=7+ combien? Ce qui veut dire que pour mémoriser 7+6, il faut que l’élève l’ai rencontré sous un maximum de formes. Par exemple, que permet d’inférer la connaissance de 7 + 6 ? c’est être capable de répondre 13 immédiatement, mais c’est également pouvoir répondre immédiatement à • « Combien de 7 pour aller à 13 ? », « combien de 6 pour aller à 13 ? », • « 13 – 6 ? », « 13 – 7 ? » • à produire très vite, entre autres, 7 + 6 et 6 + 7 lorsque sont demandées des décompositions additives de 13. 26/03/2017

Penser à varier les approches pour un même résultat, en utilisant les possibilités de la langue mathématique: EXEMPLE POUR LA MULTIPLICATION 7 fois 5 quel nombre, multiplié par 5, donne 35? combien de fois 7 dans 35? 35 partagé en 5 35 divisé par 5? C’est le calcul qui est automatisé pas le résultat: la mémorisation du résultat ne suffit pas Pour qu’un calcul soit automatisé , donc mémorisé, il ne faut pas le travailler uniquement sous sa forme « finale ». Ce n’est pas que la répétition de 7 fois 5 qui installera l’automatisme. - Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier). Il s’agira ici de calcul réfléchi et non d’automatisation de la division à partir des connaissances des doubles et moitiés, des tables de multiplication, de la maîtrise de la commutativité et éventuellement de la décomposition des nombres. Ex dans les évaluations 100:2 doubles; 40:5 ref à la table de 5 on posera la question dans quarante combien de fois 5 en calcul mental. Si on veut aller jusqu’à des calculs du type 65:5 (c’est-à-dire au-delà des tables), il faudra entraîner les élèves à procéder par étapes : 65 = 50+15 50=5X10 15=5X3 donc 65=5X13 donc 65:5=13 … Une fois les multiplications à trous comprises on pourra introduire le signe : 26/03/2017 Le calcul à l'école

Le calcul mental réfléchi 26/03/2017 Le calcul à l'école

Le calcul mental réfléchi Il s’appuie sur les résultats mémorisés ou en cours de mémorisation. Il s’agit d’utiliser une procédure adaptée au calcul particulier qui est proposé, en faisant appel à la réflexion et au raisonnement. En calcul réfléchi, on travaille les procédures même si les séances de calcul réfléchi participent à la mémorisation. On peut remplacer les situations numériques par de petits problèmes 17+23 ou Arnaud avait 17 billes et en gagne 23. Combien en a-t-il maintenant ? Les énoncés peuvent être écrits ou oraux. Cette 2ème situation participe à la maîtrise du « sens des opérations ». Les questions peuvent : 1. porter directement sur les nombres : 72 + 4 2. être contextualisées dans un petit problème : 72 élèves + 4 adultes Ce n’est pas la même chose… 1° cas : on reste sur les nombres « purs » 2° cas : on évoque le contexte, la « réalité ». à cela aide les élèves à progresser dans la maîtrise du « sens des opérations » 26/03/2017

Le calcul mental réfléchi:. Quelles compétences relèvent du Le calcul mental réfléchi: Quelles compétences relèvent du calcul mental réfléchi? - Calculer mentalement des sommes, des différences; des produits. - Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. 26/03/2017 Le calcul à l'école

La séance de calcul réfléchi - Plusieurs procédures apparaissent - Expliciter et confronter - Valider les procédures les plus efficaces EXEMPLE: 42 – 28: Ôter 20 puis 8 (décomposition); Ôter 30 puis ajouter 2 (pivotement); Aller de 28 à 42 (jalonnement); Calculer 44 – 30 (décalage). On ne peut pas mémoriser le résultat. L’objectif est d’élaborer des stratégies pour l’atteindre. Les séances de calcul réfléchi (15 – 20 minutes). Deux types de séances: des séances de découverte: découverte des procédures possibles et sélection des procédures efficaces. L'enseignant propose un calcul que les élèves peuvent calculer de différentes manières, sans application immédiate d'une démarche imposée et unique. Le travail en classe doit être axé sur l’explicitation et la confrontation de procédures possibles et efficaces. Il faut éviter la saturation de la mémoire de travail. Ce risque de saturation peut être diminué en autorisant les élèves à noter les résultats intermédiaires. on veut éviter que les élèves posent l’opération dans leur tête, qu’ils décomptent…. Ce qui génère des erreurs. La procédure du décalage paraît complexe au cycle 2 . 26/03/2017 Le calcul à l'école

Pour conclure sur le calcul mental 26/03/2017

26/03/2017 Le calcul à l'école

Comment faire ? D’abord être persuadé que le calcul mental participe à la construction de la numération chez l’élève Construire des progressions sur des séances régulières Bien différencier les procédures automatisées des procédures réfléchies 26/03/2017 Le calcul à l'école

De manière générale prévoir : Des séances quotidiennes courtes de calcul automatisé (10 à 15 min) Une séance hebdomadaire plus longue de calcul réfléchi Varier le contenu des séances, par exemple utilisez les jeux PROPOSER LES JEUX et voir ce qu’ils font travailler L’entraînement au calcul mental doit être quotidien dès le CP et se prolonger tout au long de l’école élémentaire. Il s’appuie sur la connaissance parfaite de la table d’addition puis de la table de multiplication. Les maîtres alternent les moments d’entraînement et ceux qui permettent de concevoir des méthodes et de comparer leur efficacité. des séances de découverte: découverte des procédures possibles et sélection des procédures efficaces. L'enseignant propose un calcul que les élèves peuvent calculer de différentes manières, sans application immédiate d'une démarche imposée et unique. Des séances d’optimisation des procédures: en conservant la liberté de choix de ces procédures par les élèves). Dans ces séances, les phases d'échanges revêtent une grande importance. Elles sont conduites en relation avec les apprentissages notionnels correspondants (par exemple, pour la soustraction). 26/03/2017

26/03/2017 Le calcul à l'école

Quelques logiciels Atoutmath : http://www.kervenec.net/atoumath/telecharge.php Calculatice : logiciel ou en ligne http://netia59a.ac-lille.fr/calculatice/ Tux math : logiciel à télécharger Logiciels Le Terrier http://www.abuledu.org/leterrier/accueil Multimaths http://www.multimaths.net/?page=ptele Ce1 cycle3 26/03/2017