Fonctions numériques usuelles CHAPITRE 7 Fonctions numériques usuelles

Le plan du chapitre La fonction exponentielle La fonction logarithme Les fonctions puissances Les fonctions sin et cos ; relations entre les lignes trigonométriques Les fonctions Arcos et Arsin La fonction tangente et la fonction Arctan Quelques relations importantes Les fonctions trigonométriques sinh et cosh Les fonctions trigométriques inverses Argsinh et Argcosh La fonction tanh et son inverse

La fonction exponentielle lim (ex/xn) = + l’infini en +l’infini x k  k=n  exp (x) k ! k=0 lim (ex xn) = 0 en - l’infini exp (x1+x2) = exp (x1) x exp (x2)

La méthode d’Euler exp ’ = exp u0 = 1 un+1-un = un 1/N Étape 0 : Choix d’un « pas » : 1/N (entre 0 et x) u0 = 1 Dérivée « discrète » un+1-un = un 1/N (1+ x/N)N ---> exp (x) lorsque N tend vers + l’infini

La fonction logarithme (1) x  R et y = exp (x) y  et x = log (y) lim+infini (log y /y) =0 lim0 (|y| log |y|) =0 log (y1 y2) = log (y1) + log (y2)

La fonction logarithme (2) log’ = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 } (log |y-a|)’ = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a} Remarque : pour tout entier n de Z différent de -1, on a sur R \{a} : (y-a)n+1 [ ]’ =[ y ---> (y-a)n] n+1

Les fonctions puissance x  R  ax := exp (x log a) (ax1) x2 = a x1x2 ax1+x2 =ax1 x ax2 (ab)x = ax x bx a-x = (1/a)x [ x  ax]’ = [x  log(a) x ax]

 x 2k (2k) ! La fonction cosinus  x  R cos (x) (-1)k k=n  cos (x) (-1)k (2k) ! k=0 cos 0 = 1 cos 2 <-1/3 (suites adjacentes) cos s’annule en au moins un point de [0,2]  := 2 inf{x>0, cos x=0}

 x 2k+1 (2k+1) ! La fonction sinus  x  R sin (x) (-1)k k=n  sin (x) (-1)k (2k+1) ! k=0 (suites adjacentes)

Relations entre fonctions trigonométriques cos (x1 + x2) = cos (x1) cos (x2) – sin (x1) sin (x2) sin (x1+ x2) = cos (x1) sin (x2) + sin (x1) cos (x2) cos’ = - sin sin’ = cos cos2 x + sin2 x =1 cos (x+ 2)=cos x sin (x+2) = sin x   (cos (x), sin (x)) ( pour x  [0, 2[) paramétrage bijectif du cercle de centre (0,0) et de rayon 1

Fonctions trigonométriques inverses Arcos : [-1,1] --- > [0, ] Arcsin : [-1,1] --- > [-/2 , /2] sur ]-1,1[ Arcsin’ = 1/(cos(Arcsin)) = [y  (1-y2)-1/2] sur ]-1,1[ Arcos’ = -1/(sin(Arcos)) = [y  - (1-y2)-1/2] Arcsin (y) + Arcos (y) = /2 pour y  [-1,1]

La fonction tangente tan x := sin (x) / cos (x)  tan’ = 1 + tan2

La fonction Arctan (Arc-tangente) x  ]-/2 , /2[ et y =tan (x) y  R et x= Arctan (y) 1 1 Arctan’(y) = ------------------------ = ---------- 1 + tan2 (Arctan y) 1 + y2

Quelques relations importantes cos (t) = 2 cos2 (t/2) -1 = (1-u2)/(1+u2) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u2) t  ]-, [ u= tan (t/2) , t = 2 Arctan u

1-u2 2u --------- , ------- 1+u2 1+u2 (0,0) (-1,0) 1 Un paramétrage rationnel du cercle unité privé d’un point

Les fonctions hyperboliques cosh x : = (ex+e-x)/2 , x  R sinh x : = (ex – e-x)/2 , x  R cosh2 x – sinh2 x = 1 cosh’ = sinh sinh’ = cosh

les Coniques Intersection d’un plan et d’un cône : hyperbole, ellipse ou parabole hyperbole (2 branches) ellipse les Coniques

Le paramétrage de la demi-hyperbole x = cosh t , t  R x2 – y2=1 , x>0 y = sinh t , t  R

La fonction argsinh : R  R x  R et y = sinh x y  R et x=argsinh y variable auxiliaire argsinh’ (y) = 1/cosh(argsinh(y)) = (1+y2)-1/2 { X = ex X2 – 2y X - 1 =0 sinh x = y x = argsinh y = log [y + (1+y2)1/2]

La fonction argcosh : {y ; y 1}  {x ; x  0} x0 et y = cosh x y 1 et x=argcosh y variable auxiliaire argcosh’ (y) = 1/sinh(argcosh(y)) = (y2 -1)-1/2 , y > 1 { X = ex x 0 (donc X 1) X2 – 2y X +1 =0 cosh x = y x = argcosh y = log [y + (y2 -1)1/2]

La fonction tangente hyperbolique tanh : x  R  tanh x := sinh x / cosh x tanh’ : x  R  1 – tanh2 x = (cosh x)-2 x  R et y = tanh x y  ]-1,1[ et x= argtanh y argtanh’ y = 1/(1-y2) = (1/2) x 1/(y+1) - (1/2) x 1/(y-1) , y  ]-1,1[ argtanh y = log (|y+1|/|y-1|)1/2 , y  ]-1,1[

Fin du chapitre 7