Exemples d’utilisation du tableur en Analyse Exemple 1: la fonction exponentielle: Approximation par la méthode d’Euler Exemple 2: la racine carrée: Approximation par l’algorithme de Héron Je souhaiterais illustrer l’utilisation du tableur à travers 2 exemples de méthodes d’approximation : •la fonction exponentielle (Approximée par la méthode d’Euler) et la racine carrée (Approximée par l’algorihme de Héron)

Exemple 1: la fonction exponentielle: fonction réciproque du logarithme solution de l'équation différentielle: y ' = y Introduction Extrait du document d’accompagnement des programmes de mathématiques en Terminale: La fct exponentielle peut être l’occasion d’interdisciplinarité (Maths, Physique, SVT) : elle se rencontre en effet à l’occasion de grandeurs dont le taux de variation est proportionnel à la grandeur elle-même : décroissance radioactive, chute d’un mobile avec forces de frottements, charge et décharge d’un condensateur.. Selon les programmes officiels, pour que les élèves associent cette propriété à l’exponentielle, il peut être intéressant d’introduire celle-ci non plus comme fonction inverse de la fonction logarithme mais à partir de l’équation différentielle : y’=y dont une résolution par approximation affine est traitée en classe de 1èreS. Cette introduction peut se faire à travers un exemple simple et riche en applications : celui de la radioactivité (une des applications est par exemple la datation, il est alors amusant de montrer que la fct exponentielle apparaît dans une expression permettant de calculer l’âge des la Terre…) . Nous présentons cet exemple ci-après. Faire le lien avec la physique: y’(x) = k.y(x)

Exemple d’application en physique N: nombre de noyaux radioactifs dans une population de noyaux N : est une grandeur qui varie en fonction du temps: N(t) On a : Soit: N’(t) = N(t) Dans une population de noyaux, le nb N de noyaux radioactifs est une grandeur qui varie en fonction du temps : N(t). La physique nous donne la loi de désintégration radioactive : radioactif (le nb de noyaux qui se désintègrent en un intervalle de tps, rapporté au nb initial et au temps d’observation, est une cste)  soit : N’(t)= N(t) ( négatif, puisque N décroît, il y a de moins en moins de noyaux radioactifs puisqu’ils se désintègrent) Ce travail peut être fait par le professeur de physique ainsi que l’application de cette loi pour les datations, la partie mathématique consistant alors à étudier les fonctions vérifiant y’=ky ou plus généralement une équation différentielle y’=f(x,y) avec conditions initiales donnés.

La méthode d’Euler pour y’=f(x,y) et y(x0)=y0 On subdivise l’intervalle en n parties : xk=x0+h.k, avec h=(x-x0)/n En xk, on définit yk : Premier pas: en x1, on pose: y1= y0+h. y’(x0) (y1:valeur en x1de la tgte à la courbe représentative en (x0,y0)) On approxime la courbe représentative de la fonction y par sa tangente en x0 Itération: Étape k: y’=f(x,y) avec y(xk-1)=yk-1, yk=yk-1+h.f(xk-1,yk-1) Graphiquement: approximation affine par morceaux obtenue en reliant les points (xk,yk). En 1ère, une approche a été faite des équa diff par approxiamtion affine. On peut continuer ici avec la méthode d’Euler pour approximer y’=f(x,y) avec les conditions initiales : y(x0)=y0. La méthode consiste à obtenir, sur un intervalle, une courbe proche de celle de y par l’algorithme décrit ci-dessus. On subdivise l’intervalle [x0,x] en n parties . * 1er pas : sur [x0,x1], la cbe est approximée à sa tgte en x0 : au point x1, nous obtenons y1 : une valeur approchée de y(x1) : y1=y0+h.y’(x0) * Itération : à chaque étape k, on considère la solution de l’équation différentielle : y’=f(x,y) avec comme conditions initiales les valeurs de l’étape précédente (en fait, à chaque étape k, on considère la tangente en xk de la courbe intégrale qui passerait par le pt de l’étape précédente) : la valeur de yk est l’ordonnée de la tgte en xk.

xk= x0+ h.k yk=yk-1 + h. f(xk-1,yk-1) au lieu de y(xk-1) Graphiquement : y est approchée par la fct affine par morceaux qui relie par des segments les points de coordonnées (xk,yk) avec: xk= x0+ h.k et yk=yk-1 + h. f(xk-1,yk-1) Rem : on commet une double approximation : 1) la cbe de y à une tgte de cbe 2) cette cbe elle-même est déjà erronée puisqu’on considère (xk,yk) au lieu de (xk,y(xk)) (càd on approxime y à une tgte et 2) la pente elle-même de cette tgte est une approximation : f(xk,yk) au lieu de f(xk,y(xk)) ) Fig extraite du site: http://members.aol.com/lucjm/equadiff.htm

La fonction exponentielle: y’=y et y(0)=1 Soit x un réel. On cherche une approximation de y(x) Sur [0,x], on prend le pas h=x/n, pour n entier On obtient: xk=kx/n yk=yk-1+yk-1x/n k=1,…,n ou encore : yk= (1+h).yk-1 k=1,…,n soit, par récurrence: yn= (1+x/n)n La valeur y(x) cherchée est donc la limite de (yn)n où yn=(1+x/n)n. On montre que les suites (vn)n et (zn)n où zn=(1-x/n)-n)n sont adjacentes et convergent vers la même limite, notée : exp(x) . La fonction exponentielle: y’=y et y(0)=1 On s’intéresse à la solution de y’=y avec comme C.I. y(0)=1 (donc ici f(x,y)=y). On veut une valeur approchée de la solution au point d’abscisse x. On applique la méthode d’Euler : On prend le pas h=x/n pour n entier et on obtient les formules données ci-dessus. Rem : par récurrence, on trouve aussi vn=(1+x/n)n=> par la méthode d’Euler, on voit que la valeur de y en x est liée à la limite de ((1+x/n)n)/N . On peut montrer ensuite que cette suite est adjacente avec (zn)/N=((1-x/n)-n)/N, la limite commune de ces 2 suites sera notée exp(x), on pourra ensuite définir e comme exp(1) et déduire de même toutes les propriétés de la notation exp à partir de l’équation différentielle.

Approximation de exp(x) à l’aide d’un tableur Calculer les (xk,yk), Visualiser la courbe joignant les points (xk,yk) Comparer avec la courbe de l’exponentielle, changer le pas h... A chaque pas, la feuille de calcul affiche: La valeur de xk La valeur de yk L’erreur (différence entre yk et y(xk)) Le tableur permet de calculer les xk et yk, puis de visualiser la courbe obtenue en joignant les points de coordonnées (xk,yk). on peut aussi comparer avec la cbe représentative de l’exponentielle, et changer le pas pour voir comment évolue l’approximation. A chaque pas, la feuille de calcul affiche : – La valeur de xn – La valeur de yn – L’erreur (différence entre yn et y(xn)) (rem : on peut aussi calculer les vn et zn…)

Exemple : * pour eponentielle de 1 sur [0 ;1] avec un pas de 2 : on commet une erreur d’à peu près 0.5 en x=1

* avec un pas de 10 : on s’approche : l’erreur est de 0,1 en 1

* avec un pas de 20

* avec un pas de 50 voir la feuille de calcul : pour faire d’autres essais : * avec un pas de 100 => 1 décimale seulement ! On a donc une convergence assez lente, on va voir maintenant un algorithme qui converge beaucoup plus rapidement :

Exemple 2: la fonction racine carrée Algorithme de Héron d’Alexandrie Soit A>0, on cherche à approcher Premier pas: On choisit e1: estimation de la racine alors la racine est entre e1 et a1= A/e1 Itération: e2=(a1+e1)/2 ainsi de suite: en+1=1/2(en+A/en) La suite (en)n converge très rapidement vers (la pente de la tangente de la courbe représentative de f(x)= tend vers 0 qd x tend vers ) 2.      Exemple 2 : l’algorithme de Héron (M.Rousselet, 1999) Un algorithme très ancien, attribué à Héron, mais apparemment déjà utilisé depuis 2000 ans par les Babyloniens, permet d’approcher la racine carrée d’un nombre A de façon très rapide. Principe : Soit A un réel strictement positif. * On choisit un nb strictement positif : e1 comme première approximation de la racine carrée de A On montre alors que cette racine est comprise entre e1 et le quotient de A par e1 * On prend alors comme seconde approximation e2 la moyenne de ces 2 nombres et on réitère le procédé avec e2 => on obtient une suite (en) dont on montre qu’elle converge vers racine de Atrès rapidement (la fct de récurrence : 1/2(x+A/x) a une tgte presque parallèle à l’axe des x qd x tend vers racine de A, d’où la rapidité de la convergence de la suite)

Résolution avec le tableur Par exemple, pour racine de 2, on a une convergence en 4 pas pour une précision de 8 décimales. (Rem : sur le fichier Excel, on a calculé aussi les ei en écriture fractionnaire et on retrouve des termes de la fraction continue de racine de 2)

Documents bibliographiques Arzarello F, Bazzini, Chiappini: 2001, ‘A model for analysing algebraic processes of thinking’, Perspectives on school algebra,Vol.22 Kluwer Academic Publisher Capponi B. :1999, ‘Le tableur pour le collège, un outil pour l’enseignement des mathématiques’, Petit x n°52, IREM de Grenoble, pp.5-42 Capponi B. :2000, ‘Tableur, arithmétique et algèbre’, L’algèbre au lycée et au collège, Actes des journées de formation de formateurs 4-5juin1999, IREM de Montpellier, pp.58-66 Rojano T.: 1996, ‘Developing algebraic aspects of problem solving within a spreadsheet environment’, Approaches to Algebra, , Kluwer Academic Publisher, pp.137-145 Rousselet Michel : 1999, ‘Tableur et mathématiques au collège’, CNDP Rousselet Michel : 1998, ‘Avec un tableur :quel est le prix de revient d’une page imprimée ?’, Bulletin APMEP n°419,