Cinématique du solide I) Le solide indéformable 1) Notion de solide indéformable

Le solide indéformable : Un solide indéformable ou idéal est un système tel que les distances mutuelles de tous ses éléments restent constantes au cours du temps.

Répartition continue volumique de la masse m = (M).d  V

Répartition continue surfacique de la masse m = (M).dS 

Répartition continue linéique de la masse m = (M).d 

Répartition discrète des masses M1, m1 M3, m3 M2, m2

Cinématique du solide I) Le solide indéformable 1) Notion de solide indéformable 2) Degrés de liberté d’un solide

Cinématique du solide I) Le solide indéformable 1) Notion de solide indéformable 2) Degrés de liberté d’un solide 3) Centre d’inertie et référentiel barycentrique a) Le centre d’inertie

Définition : Le centre d’inertie ou centre de masse ou barycentre G d’un solide (S) de masse m est l’unique point défini par la relation  :

Pour un solide à répartition de masse continue, de densité volumique de masse (M) :

Avec une origine O arbitraire :

Cinématique du solide I) Le solide indéformable 1) Notion de solide indéformable 2) Degrés de liberté d’un solide 3) Centre d’inertie et référentiel barycentrique a) Le centre d’inertie b) Le référentiel barycentrique

Le référentiel barycentrique : On appelle référentiel barycentrique ou référentiel de Kœnig R* relatif au référentiel R, le référentiel de centre G animé d’un mouvement de translation par rapport à R.

Le référentiel barycentrique G x’ y’ z’ R* à la date t1 O x y z (R) G x’ y’ z’ R* à la date t2

Cinématique du solide II) Champ de vitesse d’un solide 1) Rappels sur les dérivations

Dérivations avec changement de référentiel x’ y’ z’ (R’) O x y z (R)

Cinématique du solide II) Champ de vitesse d’un solide 1) Rappels sur les dérivations 2) Relation de Varignon

La relation de Varignon x’ y’ z’ (RS) Solide (S) P O x y z (R) M V(M/R) = V(P/R) + MP x 

Cinématique du solide II) Champ de vitesse d’un solide 1) Rappels sur les dérivations 2) Relation de Varignon 3) Décomposition du mouvement

Décomposition du mouvement Dans un référentiel barycentrique R*, le solide (S) possède un mouvement de rotation pure autour de G

v(M) = ve(M) + v*(M) = v(G) + v*(M), Décomposition du mouvement La loi de la composition des vitesses : v(M) = ve(M) + v*(M) = v(G) + v*(M), montre que l’étude du mouvement du solide (S) peut se décomposer en deux mouvements élémentaires :

Décomposition du mouvement L’étude du mouvement de G dans R qui traduit la translation d’ensemble du solide ; L’étude du mouvement du solide dans R* qui correspond à un mouvement de rotation autour de G

Cinématique du solide III) Éléments cinétiques d’un solide 1) Résultante cinétique d’un solide

Définition : La résultante cinétique d’un solide dans un référentiel R d’origine O fixe par la relation :

La résultante cinétique P d’un solide (S) dans un référentiel R est égale à la quantité de mouvement d’un point matériel fictif situé au centre d’inertie G du solide et affecté de la masse totale du solide (S) dans R : P = m.v(G/R).

Cinématique du solide III) Éléments cinétiques d’un solide 1) Résultante cinétique d’un solide 2) Moment cinétique d’un solide a) Moment cinétique par rapport à un point

Rappel : Un moment vectoriel d’une grandeur vectorielle A s’appliquant en M et calculé en O dans R : MO(A/R) = OM x A.

Définition : On définit le moment cinétique d’un solide (S) dans un référentiel R par rapport à un point arbitraire O, mobile ou fixe par la relation :

Propriété : LO’ = LO + O’O x P

Cinématique du solide III) Éléments cinétiques d’un solide 1) Résultante cinétique d’un solide 2) Moment cinétique d’un solide a) Moment cinétique par rapport à un point b) Moment cinétique par rapport à un axe

L(S/R) = L = LO.u Définition : On définit le moment cinétique d’un solide dans un référentiel R par rapport à un axe  passant par un point O de direction définie par le vecteur unitaire u par la relation : L(S/R) = L = LO.u

Moment cinétique par rapport à un axe  u L(S/R) = L = LO.u L O LO

Cinématique du solide III) Éléments cinétiques d’un solide 1) Résultante cinétique d’un solide 2) Moment cinétique d’un solide 3) Énergie cinétique d’un solide

Définitions : Energie cinétique de (S) dans R : Energie cinétique barycentrique de (S) :

Cinématique du solide IV) Théorèmes de Kœnig

Cinématique du solide IV) Théorèmes de Kœnig 1) Premier théorème de Kœnig

Premier théorème de Kœnig Le moment cinétique LO en O d’un solide (S) en mouvement dans un référentiel R est égal à la somme : Du moment cinétique barycentrique L* du solide ; Du moment cinétique en O d’un point matériel fictif situé en G et affecté de la masse totale du solide dans R, OG x m.v(G). LO = L* + OG x m.v(G) = L* + OG x P

Cinématique du solide IV) Théorèmes de Kœnig 1) Premier théorème de Kœnig 2) Second théorème de Kœnig

Second théorème de Kœnig L’énergie cinétique Ec d’un solide (S) en mouvement dans un référentiel R est égale à la somme : De l’énergie cinétique barycentrique du système (S), Ec* ; De l’énergie cinétique d’un point matériel fictif situé en G et affecté de la masse totale du solide dans R. Ec = Ec* + m.v2(G)

Décomposition du mouvement Comme la loi de composition des vitesses qui a été utilisée dans les deux démonstrations, les deux théorèmes de Kœnig montrent que l’étude du mouvement du solide (S) dans R peut se décomposer en deux mouvements élémentaires plus simples :

Décomposition du mouvement L’étude du mouvement de G affecté de toute la masse du solide dans R qui traduit la translation d’ensemble du solide ; L’étude du mouvement du solide dans R* qui correspond à un mouvement de rotation autour de G

Cinématique du solide V) Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe

Solide en rotation autour d’un axe fixe y z  ur u uz M r H

Cinématique du solide V) Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe 1) Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe

Dans le cas du mouvement d’un solide (S) en rotation autour d’un axe  a priori mobile de direction fixe, son moment cinétique par rapport à , L, son énergie cinétique Ec et  vérifient les relations : Ec = J.2 L = J.

Cinématique du solide V) Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe 1) Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe 2) Moments d’inertie élémentaires

La boule homogène de masse m, de rayon R : Moment d’inertie par rapport à un axe G passant par G : La barre homogène de masse m, de longueur  : Moment d’inertie par rapport à la médiatrice :

Le disque homogène ou cylindre homogène de masse m, de rayon R : Moment d’inertie par rapport à l’axe de révolution, G : Le cerceau homogène de masse m, de rayon R : Moment d’inertie par rapport à l’axe de révolution, G : JG = mR2

Cinématique du solide VI) Cinématique du contact de deux solides 1) Définitions

Contact entre deux solides I2 de (S2) possède la trajectoire (2) sur (S2) ; I1 de (S1) possède la trajectoire (1) sur (S1) ; I de () possède une trajectoire () dans l’espace car () change à chaque instant. I2 I1 I S1 S2 2 1  ()

Cinématique du solide VI) Cinématique du contact de deux solides 1) Définitions 2) Vitesse de glissement

Décomposition du mouvement : Vitesse de glissement () N pivotement glissement vg(I) T roulement

Non – glissement G I2 G I2 G I2 G I2 A B AB = périmètre Glissement G I2 G I2 G I2 A C AC  périmètre

Cinématique du solide VI) Cinématique du contact de deux solides 1) Définitions 2) Vitesse de glissement 3) Exemples a) Premier exemple : disque roulant sur un plan horizontal fixe

Disque roulant sur un plan horizontal fixe  O y x z G  A I vG 

Photographie de la distribution des vitesses  O y x z v(M) = IM. : sur un arc de cercle de centre I, v = Cste

Cinématique du solide VI) Cinématique du contact de deux solides 1) Définitions 2) Vitesse de glissement 3) Exemples a) Premier exemple : disque roulant sur un plan horizontal fixe b) Second exemple : Cylindre roulant sur un cylindre fixe

Cylindre roulant sans glissement sur un autre cylindre  uz O   G I (C1) (C2) ur u x