Bilans thermodynamiques et mécaniques

Bilans thermodynamiques et mécaniques I) Principe du bilan 1) Définitions générales a) Système fermé et système ouvert

Définitions : Un système est fermé s’il n’échange pas de matière avec l’extérieur à travers la frontière matérielle ou non qui le délimite. Sa masse est une constante du temps. Par opposition, un système ouvert peut échanger de la matière avec l’extérieur à travers la frontière qui le délimite.

Bilans thermodynamiques et mécaniques I) Principe du bilan 1) Définitions générales a) Système fermé et système ouvert b) Grandeurs extensives, grandeurs massiques

Définitions : Une grandeur extensive est une grandeur qui suit l’homothétie du système. Par opposition, une grandeur intensive reste inchangée si le système subit une homothétie.

Densité massique A chaque grandeur extensive scalaire ou vectorielle, X, on associe une grandeur intensive massique, x, définie par : dX = x.m où dX est la variation élémentaire de X apportée par la quantité de matière élémentaire m = Dm.dt, Dm étant le débit massique.

Densités massiques Energie interne U Energie interne massique u dU = u.m Enthalpie H Enthalpie massique h dH = h.m Entropie S Entropie massique s dS = s.m Energie cinétique Ec Energie cinétique massique ec dEc = v2.m Moment cinétique LO Moment cinétique massique OM x v dLO = OM x v.m Quantité de mouvement P Quantité de mouvement massique v dP = v.m

Bilans thermodynamiques et mécaniques I) Principe du bilan 1) Définitions générales 2) Principe du bilan

Principe du bilan On peut découper le système fermé  en trois parties : La partie commune au système fermé pour les dates t et t + dt, contenue dans une surface de contrôle 0 fixe et indéformable dans R ; La partie du système fermé qui rentre dans 0 entre les dates t et t + dt ; La partie du système fermé qui sort de 0 entre les dates t et t + dt.

Système  fermé à l’instant t : Partie commune 0(t) (t) Système  fermé à l’instant t + dt : ms Partie commune 0(t + dt) (t + dt)

En régime stationnaire : X(t + dt) – X(t) = xs.ms – xe.me = xs.Dms – xe.Dme

Bilans thermodynamiques et mécaniques II) Les bilans thermodynamiques 1) Bilan d’énergie totale

Système  fermé à l’instant t : Partie commune 0(t) (t) Système  fermé à l’instant t + dt : Partie commune 0(t + dt) ms (t + dt)

Bilan d’énergie totale E = Em + U

Bilan d’énergie totale En régime stationnaire :

Bilans thermodynamiques et mécaniques II) Les bilans thermodynamiques 1) Bilan d’énergie totale 2) Bilan d’entropie

Système  fermé à l’instant t : Partie commune 0(t) (t) Système  fermé à l’instant t + dt : Partie commune 0(t + dt) ms (t + dt)

Bilan d’entropie

Bilan d’entropie En régime stationnaire :

Bilans thermodynamiques et mécaniques III) Les bilans en mécanique 1) Bilan de masse

Bilan de matière sur le système fermé : m(t + dt) – m(t) = m[0(t + dt)] – m[0(t)] + ms – me = 0 Cette relation est toujours vraie En régime stationnaire : m[0(t + dt)] = m[0(t)] Finalement : m(t + dt) – m(t) = ms – me = 0 ms = me ou Dms = Dme

Onde de choc dans une canalisation Liquide z x Robinet O c = – c.ux, c > 0 Front d’onde F c

Dans le référentiel R lié à la canalisation z x O x’ v1 = v.ux c = – c.ux v2 = 0 P1, 1 P2, 2

Dans le référentiel R’ lié au front d’onde v’1 = (v + c)ux v’2 = c.ux P1, 1 P2, 2 1 2

Dans le référentiel R’ lié au front d’onde 0 0 est fixe dans R’ F S O’ me ms F1 F2 (v + c)dt c.dt

Onde dans un canal

Bilans thermodynamiques et mécaniques III) Les bilans en mécanique 1) Bilan de masse 2) Bilan de quantité de mouvement

Système  fermé à l’instant t : Partie commune 0(t) (t) Système  fermé à l’instant t + dt : ms Partie commune 0(t + dt) (t + dt)

Bilan de quantité de mouvement

Bilan de quantité de mouvement En régime stationnaire :

Dans le référentiel R’ lié au front d’onde 0 0 est fixe dans R’ F S O’ me ms F1 F2 (v + c)dt c.dt

Bilans thermodynamiques et mécaniques III) Les bilans en mécanique 1) Bilan de masse 2) Bilan de quantité de mouvement 3) Bilan de moment cinétique

Système  fermé à l’instant t : Partie commune 0(t) (t) Système  fermé à l’instant t + dt : ms Partie commune 0(t + dt) (t + dt)

Bilan de moment cinétique

Bilan de moment cinétique En régime stationnaire :

Bilan de moment cinétique P0 v1 v v2 g A  uy  plaque

Référentiel : Terrestre supposé galiléen Système : L’eau contenue dans la surface de contrôle (0), la masse entrante ou sortante Actions extérieures : Les forces de pression de l’air, l’action de la plaque sur l’eau, le poids de l’eau négligé.

Référentiel : Terrestre supposé galiléen Système : L’eau contenue dans la surface de contrôle (0), la masse entrante ou sortante et la plaque de masse m Actions extérieures : Le poids de l’eau négligé, le poids de la plaque, les forces de pression de l’air, la réaction du support en A.

Bilans thermodynamiques et mécaniques III) Les bilans en mécanique 1) Bilan de masse 2) Bilan de quantité de mouvement 3) Bilan de moment cinétique 4) Bilan d’énergie cinétique

Système  fermé à l’instant t : Partie commune 0(t) (t) Système  fermé à l’instant t + dt : ms Partie commune 0(t + dt) (t + dt)

Bilan d’énergie cinétique

Bilan d’énergie cinétique En régime stationnaire :

ESPRIT DU BILAN On calcule la dérivée particulaire de la grandeur extensive X de deux manières différentes :

Par un bilan : Par un théorème lagrangien : Puis par égalité :