Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption d’une onde 1) Équation de propagation

Chaîne de pendules pesants couplés On-1 On On+1 n-1 n n+1 x y z n-1 est négatif ; n et n+1 sont positifs

Chaîne de pendules pesants couplés Théorème du moment cinétique appliqué au pendule de rang n en On projeté sur l’axe Onx :

Dans l’approximation des milieux continus, a << , on définit la fonction continue de classe C2 des variables x et t, (x,t), qui coïncide à chaque instant t avec tous les n(t) : (x = n.a, t) = n(t) Dans ces conditions, si (x = n.a, t) = n(t) = (x,t) alors : n-1(t) = (x – a, t) et n+1(t) = (x + a, t)

Donc l’équation de propagation, devient avec :

Pour des petits angles :

Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption d’une onde 2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques a) Définitions

(x,t) = Re[(x,t)] avec (x,t) = A.expj(t – k.x) Définition : Nous appellerons pseudo – onde plane progressive harmonique, O.P.P.H*., une onde de la forme : (x,t) = Re[(x,t)] avec (x,t) = A.expj(t – k.x) où la pulsation de l’onde  est réelle et le vecteur d’onde k = k.ux a priori complexe. A est l’amplitude complexe.

Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption d’une onde 2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques a) Définitions b) Relation de dispersion

L’équation de propagation et la forme de l’onde utilisée donnent la relation de dispersion :

Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption d’une onde 2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques a) Définitions b) Relation de dispersion c) Dispersion et absorption

Récapitulatif : k = k’ + jk’’ Re(k) = k’ renseigne sur la propagation. Si k’ = 0, il n’y a pas de propagation ; Si k’  0, il y a propagation. Re(k) = k’  0 donne la vitesse de phase. Si v dépend de , le milieu est dispersif.

Récapitulatif : k = k’ + jk’’ Im(k) = k’’ donne l’absorption. Si k’’ dépend de , le milieu est dit filtrant.

Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption d’une onde 2) Pseudo ondes planes progressives harmoniques d) Retour sur l’exemple

La relation de dispersion :

1er cas : on ne garde que le terme en 2 C’est le cas de D’Alembert pour l’O.P.P.H*. k’’ = 0 et v = c : Dans ce modèle, le milieu n’est ni absorbant, k’’ = 0, ni dispersif, v = cste.

2ème cas : on garde les termes en 2 et en  Dans l’hypothèse supplémentaire :

On obtient deux couples (k1, k2) : Dans ce modèle, le milieu n’est pas dispersif :

3ème cas : on ne néglige que les frottements Equation dite de Klein – Gordon

3ème cas : on ne néglige que les frottements Relation de dispersion de Klein – Gordon

3ème cas : on ne néglige que les frottements Si  > c : k est réel : le milieu n’est pas absorbant v dépend de  : le milieu est dispersif

3ème cas : on ne néglige que les frottements Si  < c : k est imaginaire pur : le milieu est absorbant k’’ dépend de  : le milieu est filtrant (x,t) = A.exp(k’’.x).cos(t – k’.x) = A.exp(k’’.x).cost

Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption d’une onde 3) Paquet d’ondes. Vitesse de groupe

Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption d’une onde 3) Paquet d’ondes. Vitesse de groupe a) Position du problème

Pour interpréter vg, considérons le groupe d’ondes constitué de deux O Pour interpréter vg, considérons le groupe d’ondes constitué de deux O.P.P.H., de même amplitude et de pulsations 1 et 2 très proches, définies par :  = 2 – 1 << 0

k0 = k(0) k = k2 – k1 << k0

On observe des battements spatiaux : une onde moyenne de nombre d’onde k0, de pulsation 0 est enveloppée par une onde enveloppe de nombre d’onde k et de pulsation 

t0

vg t1 > t0 v v = 10 m.s–1 et vg = 3 m.s–1

Phénomènes de propagation dispersifs I) Dispersion et absorption d’une onde 3) Paquet d’ondes. Vitesse de groupe a) Position du problème b) Généralisation. Vitesse de groupe

Définition : On appelle paquet d’ondes ou groupe d’ondes un ensemble d’O.P.P.H*. de pulsations très voisines.

Un paquet d’ondes localisé dans le temps et dans l’espace est une superposition d’O.P.P.H*. à spectre continu en fréquence. Leurs pulsations sont comprises entre :  << 0

sans dispersion

avec dispersion

Phénomènes de propagation dispersifs II) Retour sur l’effet de peau dans un conducteur ohmique 1) Équation de propagation

Effet de peau z vide Conducteur ohmique, homogène, isotrope, de conductivité électrique  réelle positive E(0-,t) = E0.cost.ux

L’équation locale de Maxwell – Gauss : L’équation locale du flux magnétique : divB = 0 L’équation locale de Maxwell – Faraday : L’équation locale de Maxwell – Ampère :

||jD|| << ||j|| = .||E|| et  = 0. Dans un conducteur ohmique fixe en équilibre dans un référentiel galiléen, en M à la date t : ||jD|| << ||j|| = .||E|| et  = 0. Un conducteur ohmique est localement neutre à tout instant.

Équation de propagation rot(rotE) = – E + grad(divE) = – E

Phénomènes de propagation dispersifs II) Retour sur l’effet de peau dans un conducteur ohmique 1) Équation de propagation 2) Solutions et analyse