Notions de variable aléatoire et de probabilité d’un événement Chapitre 1 Notions de variable aléatoire et de probabilité d’un événement

1-1 Introduction. Les phénomènes physiques peuvent présenter un caractère probabiliste notamment en physique quantique. Ex. : Probabilité de présence d’un électron (http://www.colorado.edu/physics/2000/schroedinger/two-slit2.html) On peut également appliquer une étude probabiliste à : - Des grandeurs mesurables (température, intensité du courant, période d’un pendule) Des phénomènes que l’on peut observer (apparition de maladies, comportement animal). Dans le domaine des statistiques, chaque mesure, chaque relevé est appelé un événement.

1-3 Probabilité d’un événement. 1-2 Evènement aléatoire. Un événement aléatoire A est un événement avec plusieurs réalisations possibles mais non prévisibles. Un événement avec une seule réalisation possible (donc prévisible) est un événement certain. On associe aux événements des grandeurs mesurables discrètes (n° sur une face du dé, nombre d’enfants par famille,…) ou continues (vitesse des voitures, taille des individus,…). 1-3 Probabilité d’un événement. On cherche à chiffrer la possibilité que l’on a d’observer un événement aléatoire donné A. On associe à A une variable aléatoire X qui peut prendre les valeurs x1, x2…, xn.

Probabilité de mesurer xi : P(xi) = n(xi)/ N N correspond au nombre total d’événements qui se sont produits. n(xi) est le nombre d’événements ayant eu xi comme valeur. Les probabilités P(xi) constituent une distribution de probabilité qui vérifient la relation : Ex. : A= « obtenir 6 avec un dé » La variable X peut prendre 6 valeurs (x1=1, x2=2…, x6=6) . Il y a 6 événements différents possibles. On comprend intuitivement que, si on suppose un dé non truqué: P(x1) =P(x2) =……….=P(x6) =1/6.

lim n(dans cercle)/N = Sdisque/Scarré = p/4 Le problème est que le nombre n(x1) va dépendre de la série d’observations que l’on fait, c’est-à-dire de N. Ex. : * P(A) en 3 coups (N=3) : 0/3 P(X=6)  3/3, selon la série de 3 * P(A) en 100 coups : P(X=6) ~ 1/6, quelle que soit la série de 100. La probabilité qu’un événement donné soit de type A est définie comme la limite lorsque N du rapport n(A)/ N: P(A)= Ex. : La probabilité pour qu’un point se trouve dans le cercle de diamètre D est : lim n(dans cercle)/N = Sdisque/Scarré = p/4 http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/node15.html

1-4 Association d’événements. Dans la pratique, on peut être amené à regrouper différents événements Ai en un ensemble plus large: ce nouvel ensemble constitue un nouvel événement. Intersection de 2 événements : Ai et Aj Union de 2 événements : Ai ou Aj Lorsque les événements s’excluent mutuellement : intersection nulle Événements indépendants : La distribution de chaque variable aléatoire n’est pas affectée par les valeurs des autres variables Ex. : la taille et la couleur des cheveux Contre ex. : U=RI (Il y a stricte dépendance)…….mais…. Ex. : les individus d’un même age n’ont pas tous la même taille on peut admettre que la taille est une variable aléatoire.

Si A et B sont indépendants: P(A/B) = P(A) et P(B/A)= P(B) Propriétés : P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B) P(A et B) = P(A/B)*P(B) = P(B/A)* P(A) P(A/B) : probabilité conditionnelle qu ’un événement soit de type A, sachant qu’il est de type B. Si A et B sont indépendants: P(A/B) = P(A) et P(B/A)= P(B) P(A et B) = P(A). P(B) Ex : dé à 6 faces. Evénement A= obtenir un n° pair A= {2,4,6} P(A) = 1/6+1/6+1/6= 1/2 Evénement B = obtenir un n° < 3 B= {1,2} P(B)= 1/6+1/6 =1/3 (A ou B) = {1, 2, 4, 6} P(A ou B) =1/2+1/3-1/6= 2/3 (A et B) = {2} P(A et B) = P(A/B)*P(B) = 1/2*1/3 =1/6

1-5 Variables aléatoires discrètes. Soit un événement aléatoire A et une variable aléatoire X associée : X peut prendre différentes valeurs numériques x1, x2, …,xn selon les différentes réalisations possibles de A. Ex.: Une urne avec N boules portant des n°. On considère A « je tire une boule et je regarde le n° » xj: variable aléatoire X (x1, x2,…xN). Ex. : On lance 2 dés et on prend comme variable aléatoire X= (d1+ d2). L’univers des possibles (nombre de configurations réalisables) est 6*6=36 La distribution de probabilité est: X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 On peut représenter la distribution des probabilités sur un histogramme :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x= (d1+d2) P(x)

1-6 Variables aléatoires continues. On généralise la notion à des variables continues Toutes les valeurs entre xmin et xmax sont accessibles : vitesse, température, pression, taille des individus… Ex. : v, vitesse de particules. Pour en tracer l’histogramme, on s’intéresse à la probabilité P(v) de trouver la vitesse v comprise entre v1 et v2= v1+Dv. On choisit des intervalles Dv réguliers mais arbitraires. L’intervalle Dv s’appelle la classe. La classe choisie est la même pour tout le jeux de données. La valeur (v2-v1)/2 est la valeur au centre des classes. Le nombre de particules dans chaque intervalle Dv (l’effectif de la classe) dépend bien sûr de la largeur de la classe.

Distribution de vitesses de particules avec une classe de 0,5 m.s-1 Imaginez l’histogramme avec une classe de 5 m.s-1…

Selon la classe : Il peut y avoir perte d’information si Dv est trop grand. ou trop d’information si Dv trop petit. On cherche une représentation qui ne dépende pas de Dv. On introduit la fonction de répartition F(v)= probabilité pour que la vitesse prenne une valeur de l’intervalle [vmin, v].

Propriétés de F(v) : * F(v) est positive, croissante et continue * F(vmin)=0 * F(vmax)=1 * P(v1<v<v2) = F(v2) – F(v1) * Probabilité de trouver la vitesse entre (v et v+Dv) : DF(v) = F(v+Dv)-F(v) * On introduit la dérivée p(v) de la fonction F(v) : p(v) = (DF(v) /Dv) * p(v) est une densité de probabilité qui ne dépend plus de Dv p(v) = dF(v) =p(v) .dv * P(v1<v<v2) = F(v2)-F(v1)=

Application : absorption du photon dans un gaz. N photons sont émis dans la direction n. La variable aléatoire continue X est la distance parcourue selon une trajectoire rectiligne avant d’être absorbé ou diffusé par le milieu. Il existe N réalisations de X : x1, x2…..,xN sur ]0, +  [. On introduit la fonction de répartition F(x) : probabilité que le photon soit absorbé avant d’atteindre la distance x. Nature de la fonction F(x) ? N2=N1(1-F(x2))=N(1-F(x1))(1-F(x2)) N2= N(1- F(x1+x2)) (1-F(x1))(1-F(x2)) = (1- F(x1+x2)) Introduisons G(x)= 1-F(x), probabilité pour qu’un photon parcoure une distance supérieure à x. G(x1)*G(x2)= G(x1+x2) avec G(0)=1 G(x) est de type exponentiel x1 N N1=N (1-F(x1)) x1 N1 N x2 N2=N1(1-F(x2))

G(x) = exp(-x/L) F(x)= 1- exp(-x/L) Ex. : L= 50 m. Fraction du rayonnement émis ayant pu traverser 10m, 50 m, 300 m? C’est la fonction G(x) : 10 m G(10)=exp(-0,2)=0,82 (82%) 50 m G(50)=exp(-1) = 0,37 (37%) 300 m G(300) = exp(-6)= 0,002 (0,2%)

Densité de probabilité d’absorption du photon à la distance x: p(x) = F’(x) = (1/L) exp (-x/L) La pente à l’origine coupe l’axe des distances en x=L. L= libre parcours moyen des photons (même notion que la constante t des circuits RC). {On vérifie : F(x) = p(x) dx = (1 – exp(-x/L)}