1 Intégration numérique garantie de systèmes décrits par des équations différentielles non-linéaires Application à l'estimation garantie d'état et de paramètres dans un contexte à erreur bornée. T. RAISSI, N. RAMDANI et Y.CANDAU Centre dEtude et de Recherche en Thermique, Energétique et Systèmes Université Paris XII-Val de Marne, Créteil. Groupe identification 26 Septembre 2002

2 Plan - Introduction - Rappel sur le développement de Taylor (pour les intervalles) - Application à lestimation détat pour les systèmes continus - Estimation de paramètres - Conclusions et perspectives

3 Estimation détat : cas discret x(k+1) = y(k) = g(x(k), u(k)) x(0) = x 0 x IR n : vecteur détat à estimer y IR m : vecteur des mesures (sortie) Deux types destimateur : Estimateur causal ( on na que les mesures des instants précédents ) Estimateur non causal ( on a toutes les mesures)

4 Estimateur causal (Jaulin et al. 2001) f x(0 ) x(1 ) x(n ) y(1 ) g y(n ) g On attribue un domaine a priori pour létat à chaque instant, puis on fait une propagation dans le sens direct on trouve lensemble des valeurs de létat qui sont cohérentes avec les mesures

5 Algorithme State_estimation (Jaulin et al., 2001) Entrée : [x(0)] Pour k = 1 à N, la mesure [y(k)] est disponible [x](k) = f([x(k-1)]) g -1 ([y(k)]) Sortie : [x(1)], [x(2)] … [x(N)] Cest un estimateur à deux étapes: prédiction et correction

6 Systèmes continus = y = g(x(t), u(t)) x(t 0 ) = x 0 Calcul SymboliqueSolution explicite Inversion ensembliste (SIVIA, CSP,…) Généralement, PAS de solution EXPLICITE pour les systèmes non-linéaires

7 = y = g(x(t)) x(t 0 ) = x 0 Intégration de f x(0 ) x(1 ) x(n ) y(1 ) g y(n ) g Pour estimer létat à des instants définis, il faut intégrer numériquement léquation détat Systèmes continus : suite

8 Outils Mathématiques (Développement de Taylor: Rappel) Si : IR n IR m C K dans un voisinage D dun vecteur de réels a Alors x D, (x) = (a) + (i) (a) + r K (x)

9 Application à lintégration de léquation détat = x(t 0 ) = x 0 Avec : h = t j+1 - t j x(t j+1 ) = x(t j ) + h i x [i] (x(t j )) + h k x [k] ( ) Taylor x [i] : le i ème coefficient de Taylor x [i] = Si f : IR n IR m est de classe C k

10 x [1] == f(x) = f [1] x [2] == ( ) = (f(x)) = = J(f [1] )f = f [2] Calcul explicite des coefficients de Taylor Méthode récursive pour calculer les coefficients de Taylor x [i] == ( ) = (f [i-1] ) = = = f [i] f[i]f[i] A chaque pas, calcul du jacobien du coefficient précédent

11 Développement de Taylor (version Intervalles) = x(t 0 ) = [x 0 ] Ce calcul se fait en 2 étapes : 1)Trouver un encadrement a priori de la solution qui garantit que: t [t j, t j+1 ], x t [ ] 2)Utiliser un développement de Taylor pour réduire cet encadrement Améliorer la qualité de la solution

12 Intégration des équations détat Calcul dune solution a priori contenant de manière garantie la solution exacte: Théorème du point fixe + lopérateur de Picard Lindelöf ( Nedialkov, 1997 ) Tel que : [x j ] + f([w])[0,h] [w] Pour faire le développement de Taylor (intervalle) on remplace chaque occurrence de x par un intervalle [x] : [x(t j+1 )] = [x(t j )] + h i f [i] ([x(t j )]) + h k f [k] ([ ]) Trouver [w] Problème de surestimation w([x j+1 ])=w([x j ])+ h i w(f [i] ([x(t j )])) +w( f [k] ([ ])) w([x j ]) 1 0 k i

13 Valeur Moyenne x, y [a], (y) (x) +([a])([a] – x) : forme moyenne : IR n IR, une fonction dérivable dans un domaine [a] i-ème coefficient de Taylor avec la forme moyenne : [x j ] qui peut être le milieu de [x j ] f [i] ([x j ]) f [i] ( ) + J(f [i], )([x j ] - ), i = 1,…,k

14 Taylor + forme moyenne (Nedialkov et Al. 1997) Développement de Taylor pour létat x avec la forme moyenne pour les coefficients de Taylor : + [x j+1 ] = + h i f [i] ( ) + h k f [k] ( ) I + h j J(f [i],[x j ])([x j ] - ) = [V j+1 ] + [S j ]([x j ] - ) h i f [i] ( ) + h k f [k] ( )[V j+1 ] = + j x ˆ [S j ] = I + h j J(f [i],[x j ]) Cest une méthode directe pour intégrer une équation différentielle

15 Algorithme de la méthode directe [x j+1 ] = [V j+1 ] + [S j ]([x j ] - ) Entrées : [x 0 ], h pour j = 1 à N, calculer : Sorties : [x 1 ], [x 2 ],…, [x N ] j x ˆ h i f [i] ( ) + h k f [k] ([ ] )[V j+1 ] = + j x ˆ [S j ] = I + h j J(f [i],[x j ]) j x ~

16 Inconvénient : surestimation [x 1 ] = [V 1 ] + [S 0 ]([x 0 ] - ) [x 2 ] = [V 2 ] + [S 1 ]([x 1 ] - ) [x 2 ] = [V 2 ] + [S 1 ]([V 1 ] - ) + [S 1 ]([S 0 ]([x 0 ] - ) [x j+1 ] = [V j+1 ] + [S j ]([V j ] - ) + [S j ]([S j-1 ]([V j-1 ] - ) + + [S j ]([S j-1 ]([S j-2 ](…([S 0 ]([x 0 ] - ) w([S j ]([S j-1 ]([S j-2 ](…([S 0 ]([x 0 ] - )) >>w(([S j ][S j-1 ][S j-2 ]…[S 0 ])([x 0 ] - ) ) Une grande surestimation introduite à chaque pas

17 Méthode de la valeur moyenne étendue (Rihm, 1994) Initialisation : [x 0 ], [p 0 ], A 0 = I Pour j = 1 à N, calculer : 1)Un encadrement à priori [ ] pour la solution 2) j x ~ h i f [i] ( ) + h k f [k] ( )[V j+1 ] = + j x ˆ [S j ] = I + h j J(f [i],[x j ]) [q j+1 ] = ([S j ]A j )[p j ] + [S j ]([V j ] - ) [x j+1 ] = [V j+1 ] + [q j+1 ] Sorties : x 1, x 2, …, x N [p j+1 ] = ( ([S j ]A j )[p j ] + ( [S j ])([V j ] - )

18 Application à lestimation détat Deux étapes à chaque pas : Prédiction et Correction Algorithme Entrées : [x 0 ], [p 0 ], A = I Pour j = 1 à N 1)Etape de prédiction : calculer [x j+1 ] par Intégration de f avec la Méthode de la valeur moyenne étendue 2)Etape de correction : [x j+1 ] = [x j+1 ] g -1 ([y j+1 ]) Sorties : [x 1 ], [x 2 ], …, [x N ]

19 Exemple (Lotka-Volterra) = (1 – 0.01 x 2 )x 1 = ( x 1 )x 2 y = x 1 (t) + x(t 0 ) = [x 0 ] [x(t 0 )] = [49, 51] [49, 51] h = Bruit numérique de 5% de la mesure Modèle de Taylor dordre 4 Nombre de pas N = 1400

20 Résultats Sans mesuresAvec mesure Les mesures permettent de réduire le phénomène denveloppement Prédiction assez bonne

21 Estimation de paramètres = y = g(x(t), p) x(t 0 ) = x 0 Estimation des paramètres p : trouver lensemble des paramètres tel que le système précédent possède une solution IP = {p IR np | t IR, g(x(t,p)) [y(t)] } Trouver lensemble des paramètres qui sont cohérents avec les mesures et avec létat prédit Soit param_estimation_test un test qui peut prendre trois valeurs { vrai, faux, indéterminé} Vrai : Si g ( x,p ) [y] Faux : Si g(x,p) [y] = Indéterminé sinon param_estimation_test

22 Algorithme Parameter estimation ( SIVIA, Jaulin et al. 1993) Entrées : f, g, [p],, [x 0 ], [y 1 ], [y 2 ], …,[y N ] 1)Si param_estimation_test (p) = faux; fin // [p] nest pas une solution 2)Si param_estimation_test (p) = vrai IP in [p] ; 3) Si w(p) < IP ind [p] 4) bissecter ([p] en [p 1 ] et [p 2 ]) et aller à 1) Sorties : IP in, IP out = IP in IP ind

23 = (1 – p 1 x 2 )x 1 = (-1 + p 2 x 1 )x 2 y = x 1 (t)) + x(t 0 ) = [x 0 ] [x(t 0 )] = [49, 51] [49, 51] h = [p 0 ] = [-1,1] [-1,1] Exemple Erreur maximale de 5%

24 Conclusions Résolution des équations différentielles à laide du développement de Taylor Application à lestimation détat dans le cas des systèmes continus : des résultats relativement corrects si on fait attention au phénomène de surestimation. Faisabilité de lestimation de paramètres sans discrétisation de léquation détat grâce à une intégration numérique garantie de léquation détat

25 Perspectives On propose de réaliser un estimateur non causal pour réduire leffet de surestimation en utilisant des techniques de propagation de contraintes Appliquer ces algorithmes pour lestimation de paramètres thermiques