Estimation ellipsoïdale des paramètres dynamiques d'un robot Philippe POIGNET1, Nacim RAMDANI2, Andrès VIVAS1 1Laboratoire d’Informatique, de Robotique et de Micro-électronique de Montpellier UMR CNRS-UMII 5506 poignet@lirmm.fr 2Centre d’ Etude et de Recherche en Thermique, Energétique et Systèmes, Université Paris XII ramdani@univ-paris12.fr

Plan Ö Présentation du contexte (robot, besoin, modèle,…) Ö Estimation ellipsoïdale Ö Résultats expérimentaux Conclusion

Introduction H4 – Robot parallèle Ö Robot avec 4 degrés de liberté (ddl): 3 ddl en translation 1 ddl en rotation. Ö Applications: Prise et dépose avec orientation Usinage à grand vitesse Ö Performances: vmax = 1m/s amax = 50 m/s2

Un modèle pour la commande Ö Besoins d’un modèle dynamique pour la commande:  Augmentation des performances (précision, rapidité)  Robustesse (variation de charges) Ö Modèle dynamique à paramètres physiques:

H4 – Modèle dynamique inverse Ö Linéarité par rapport aux paramètres: Ö Vecteur de paramètres dynamiques à identifier: Ö Sans mesures des accélérations cartésiennes:

Usuellement … Méthodes d’identification : Moindres carrés pondérés, Filtrage de Kalman étendu Ö Construction d’un système linéaire surdéterminé: Y = W X + ρ Y: couples appliqués (entrée) W: matrice d’observation X: paramètres à identifier : bruit gaussien additif sur l’entrée Ö Hypothèse (et critique) : bruit gaussien additif sur l’entrée

Moindres carrés d'erreur d'entrée avec modèle inverse

Approche standard avec les MC Hypothèses : Ö Bruit gaussien sur l’entrée (=couple) alors que l’on est en boucle fermée Ö W est supposée déterministe (alors qu’elle est composée de variables entachées de bruits : position, vitesse et accélération articulaires) Alternative : Ö Estimation dans un contexte à erreur bornée

Une alternative : l’approche à erreur bornée [Belforte 90 ; Milanese 96 ; Vicino 96 ; Walter 90; Norton 94, 95  …] Unique Hypothèse : Support de l’erreur borné. Intérêt : Ö Manipulation immédiate des bornes d’incertitudes des données réelles. Ö Prise en compte des erreurs de modélisation. Résultats : Ensemble de valeurs de paramètres compatibles :

Modèles linéaires : Formulation Ensemble des paramètres compatible avec l’observation k et le modèle : une bande Ensemble des paramètres consistant avec toutes les données : un polytope

Représentation Simplifiée q1 q2 S  Approximation du polytope par des ensembles de forme simple : Algorithmes récursifs, par blocs ou hors-lignes

Méthodes ellipsoïdales [Fogel et Huang, 82] Bande de contrainte : Principe de mise à jour de l'ellipsoïde Ellipsoïde courant : Nouvel ellipsoïde : Note : réduction de bandes

  Algorithme récursif Famille d’ellipsoïdes solutions, paramétrée par  : Choisir a qui minimise la taille de l'ellipsoïde : Volume : Somme quadratique des longueurs des demi-axes : Etude théorique des résultats obtenus pour les deux métriques. [Durieu et al., 01]

Garantie numérique des méthodes ellipsoïdales   Garantie numérique des méthodes ellipsoïdales Problèmes de l’écriture standard     numériquement instable  définie positivité des matrices M ou P non garantie Solution : Forme factorisée [Lesecq et Barraud 2002]  numériquement stable  matrices P et M définies positives, numériquement garantie + indépendance du calcul du centre et de la matrice d’information

Forme matrice d'information factorisée   Forme matrice d'information factorisée Le problème initial est reformulé en posant : : Factorisation de Cholesky Algorithme Initialiser : Boucle récursive : Calcul de Factorisation QR : Résoudre :

Identification en boucle fermée Les mesures nécessaires à l’identification sont prises alors que le robot suit des trajectoires excitantes et est asservi par un correcteur PD

Choix de trajectoires excitantes Ö Concaténation de mouvements pré-calculés lents (estimation des paramètres de frottements) et rapides (estimation des paramètres inertiels): Trapèzes en vitesse, sinus wobulés Mouvements suivant un seul axe dans l’espace opérationnel Ö Assurer un bon conditionnement de la matrice W

Données expérimentales Ö Les positions articulaires q et les références courant V (les entrées de commande exprimées en Volt et mesurées) sont acquises à la fréquence de 1kHz. Ö Les couples sont calculés à partir des mesures des références courant V en utilisant une relation linéaire entre chaque couple du moteur , la tension correspondante appliquée à l’amplificateur et le gain de l’amplificateur: Ö Vitesses et accélérations articulaires pour calculer la matrice d’observation estimées par un filtre passe-bande de la position. Ö Filtrage passe-bande obtenu par produit d’un filtre passe-bas hors ligne non causal aller et retour (fonction filtfilt de Matlab) et d’un filtre dérivateur obtenu par un algorithme de différence centrée.

Mise en œuvre expérimentale Re-circulation et données aberrantes Ö Pour réduire la taille de l’ellipsoïde : re-circulation des données passées dans l’ordre chronologique inverse [DUR 01a] [CLE 90]. Réalisées plusieurs fois jusqu’à obtenir un ellipsoïde dont la taille ne change pas : évaluation au travers la valeur du déterminant de la matrice . Ö Démarche pour la gestion de données aberrantes: Choix des bornes d’erreur a priori sur la base de considérations physiques (Remarque : trop petite, modèle erroné ou donnée aberrante [MAK 98]) Circulation des données Si détection d’une donnée aberrante : ré-initialisation de l’algorithme (centre à zéro et taille de l’ellipsoïde grand) Taux de données aberrantes calculé après convergence

  Dans notre cas … Ö Choix de la borne d’erreur entre 10 et 15% du couple maximum disponible  bornes d’erreur : 2.4 N.m pour moteurs 1 et 2 et 2.0 N.m pour moteurs 3 et 4 Ö Taux de données aberrantes : moins de 0.5 % (pas de donnée aberrante dans les premières circulations) Ö Nombre de circulations des données > 150

Formulation factorisée   Formulation factorisée Evolution du déterminant de en fonction du nombre de re-circulations pour le critère du déterminant (Trait continu : forme factorisée, trait discontinu : forme non factorisée). N nombre d’observations

Analyse de l’ensemble admissible des paramètres estimés   Analyse de l’ensemble admissible des paramètres estimés Approximation de l’incertitude ( ) obtenue en prenant les racines carrées des valeurs de la diagonale de valeur de prise à la fin de toutes les re-circulations

Analyse des vecteurs propres de   Analyse des vecteurs propres de Calcul des valeurs propres de  l'ellipsoïde obtenu par le critère du déterminant a une forme plus allongée que celui obtenu par le critère de la trace. Rapport (longueur de l'axe le plus long / plus petit) = 938 pour le critère du déterminant et seulement 220 pour le critère de la trace.

Validations croisées Enveloppe de l’incertitude   Validations croisées Enveloppe de l’incertitude Couplage des paramètres

  Conclusions Ö Résultats expérimentaux obtenus par méthodes ellipsoïdales cohérents avec les connaissances a priori Ö Nécessité : Utilisation de la forme factorisée Ö Difficultés : Détermination de la borne d’erreur Ö Perspectives : Choix de la borne d’erreur a priori Ö Exploitation : Commande référencée modèle