La construction du nombre et le calcul mental aux cycles 1 & 2.

I) Diverses conceptions de l'apprentissage

L’apport du constructivisme On admet que la plupart des connaissances (savoirs et savoir-faire) ne sont ni reçues du milieu par un organisme passif, ni-pré-programmées à la naissance de telle façon que le sujet se les approprierait nécessairement. Ces connaissances sont construites par le sujet dans le cours de son activité.

Piaget, Szeminska, 1941 sujet milieu équilibre élément nouveau (d'apprentissage) sujet équilibre élément nouveau assimilation accommodation organisation équilibration Assimilation :   c'est l'incorporation des expériences nouvelles dans des structures existantes. C'est l'intégration, de ce qui est extérieur, aux structures propres du sujet.   Accommodation :   c'est la modification des schèmes (structures) existants, provoquée par les expériences nouvelles. De fait on peut dire que l'adaptation à l'environnement c'est l'équilibre entre assimilation et accommodation, la régulation entre sujet et milieu, que ce soit d'ordre biologique, affectif, mental ou social. Stades de développement = Stades d’apprentissages

- la sériation (sérier = « comparer/ordonner » des longueurs) Piaget, Szeminska, 1941 Trois opérations logiques élémentaires sont des pré-requis à la construction du nombre : - la conservation (comprendre la permanence de la quantité d’une collection dont on fait varier la disposition spatiale) - la sériation (sérier = « comparer/ordonner » des longueurs) - l'inclusion (percevoir les relations liant le tout et les parties) Ceci permettant de définir les stades de développement connus : le stade sensori-moteur (0 à 2 ans) la période pré-opératoire (2 à 6 ou 7 ans) le stade des opérations concrètes (6 ou 7 ans à 11 ou 12 ans) le stade des opérations formelles (ou hypthético-déductif) 1/ Un stade Sensori-Moteur : (de la naissance à 2 ans) 2/ Une période Pré-Opératoire (de 2 à 6 ou 7 ans) 3/ Un stade des Opérations Concrètes (de 6 ou 7 ans à 11 ou 12 ans) 4/ Un stade des Opérations Formelles ou hypothético-déductif) (de 11 ou 12 ans) Au niveau Pré-Opératoire, l'enfant n'est pas capable de comprendre que la quantité de matière, le poids,... d'un objet ne change pas lorsque cet objet subit certaines modifications topographiques (ex. l'épreuve des jetons) ou physiques (ex : épreuve des boulettes). C'est seulement à partir du stade des Opérations Concrètes que l'enfant acquiert une certaine logique qui lui permet d'admettre la conservation. Cette logique ne porte que sur les objets manipulables réels, concrets ; l'enfant a besoin d'un apport visuel. Il s'agit donc d'une logique différente de celle du stade suivant qui, elle, s'applique également aux opérations hypothétiques, virtuelles, aux propositions. A ce stade, nous pouvons tout de même parler de logique car les opérations sont coordonnées, groupées en systèmes d'ensemble. En effet, une classe logique, un concept n'existe pas à l'état isolé, il faut plusieurs éléments pour créer un tout ; c'est ce que l'on appelle une classification. De même une relation de comparaison Ex : " plus grand que... " n'existe pas isolée, c'est une partie d'une structure que l'on appelle sériation. Ce sont ces structures qui se construisent vers sept ans et qui font les notions de conservation devienne possibles. Durant la période précédente, l'enfant ne considère les opération qu'individuellement, il n'arrive pas à les coordonner, d'où l'absence de logique.

Piaget, Szeminska, 1941 Cette notion de stades d’apprentissages induit une conception « linéaire » de la construction de connaissances sur le nombre relative à l’âge des élèves. Le nombre est ainsi au service de la construction du réel (en le quantifiant, en le mesurant) donc dépendant de l'accumulation d'expériences du sujet.

La connaissance de la "comptine" numérique comme préalable. Une autre approche : Gelman et Gallistel (années 80) La connaissance de la "comptine" numérique comme préalable. L’importance de l’activité de comptage / dénombrement. Cinq principes régissent le comptage. comptine numérique : chaîne numérique verbale

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 1. Principe de correspondance terme à terme : à chaque unité on doit faire correspondre un mot-nombre; Coordonner le geste à la récitation : un mot par geste, pas plus, pas moins un deux correspondance terme à terme ou adéquation unique trois quatre cinq

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 2. Principe de suite stable : les mots nombres doivent toujours être récités dans le même ordre; Mémoriser une suite de mots et la restituer de la même manière dans des contextes qui peuvent varier. 1 1

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 3. Principe cardinal : le dernier mot nombre prononcé réfère à l’ensemble; La question du combien… 5 1 2 3 4 5

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 4. Principe d’indifférence de l’ordre : les unités peuvent être comptées dans n’importe quel ordre; L'ordre des objets à dénombrer n'a pas d'importance alors que les mots qui servent dans cette situation sont en ordre ! En revanche, l'organisation spatiale des objets dénombrés revêt une importance qui peut s'avérer fondamentale, énumérer une file d’objets est plus facile qu’énumérer des objets en vrac.

2 2 Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman) 5. Principe d ’abstraction : toutes sortes d ’éléments peuvent être rassemblés et comptés ensemble, la nature des objets dénombrés n’influe pas sur le cardinal de l’ensemble. 2 2

La place du calcul dans la construction du nombre Deux thèses modernes concernant le calcul : Brissiaud : le calcul* comme accélérateur d’apprentissage du comptage, donc la nécessité de développer des compétences dès le plus jeune âge. Gelman et bien d’autres… : le comptage doit précéder les activités de calcul (en référence aux cinq principes). * attention, le calcul dont parle Brissiaud n’est pas l’algorithme de l’addition par sur-comptage, mais plutôt la perception d’une quantité par la somme de ses parties (voir les constellations, les livres à compter…)

Les apports de la recherche récente (neurosciences) Des capacités numériques sont repérables chez le nourrisson dès l'âge de 6 mois : discrimination perceptive, addition et soustraction de petites quantités. Des capacités que le petit d'homme partage avec ses semblables : singes, dauphins, oiseaux… Les régions cérébrales concernées par le calcul et la manipulation des quantités ne sont pas toujours les mêmes (le diagnostique de la dyscalculie s'en trouve compliqué).

II) Mémoriser la comptine des nombres

L’acquisition de la comptine numérique se fait par étapes successives. On peut identifier 3 niveaux de zone: - une zone stable et conventionnelle (1,2,3,4,5,6); - suivie d’une zone stable non conventionnelle (5,6,9,12); - suivie d’une zone ni stable, ni conventionnelle (5,6,9,12,17,21et une autre fois 5,6,9,12,21,13)

le niveau de chaîne chapelet 4 niveaux caractérisent la mise en place de la numération de mots et 8 habiletés mentales sont à travailler : le niveau de chaîne chapelet le niveau de chaîne insécable (2 habiletés mentales : «compter jusqu'à...» ; «livrer le successeur de ...») le niveau de chaîne sécable (4 habiletés mentales : «compter à partir de...» ; «compter de n en n» ; «compter à l'envers» ; «livrer le prédécesseur d'un nombre») le niveau de chaîne terminale (2 habiletés mentales : «compter de x à y» ; «compter x à partir de y [sens direct et indirect]) Les 8 habiletés mentales devraient être construites à la fin du CP, voire fin de cycle 2. La suite numérique est un chapelet, une totalité unique et se présente comme une longue formule magique éventuellement associé par conditionnement aux situations de dénombrement, mais sans qu’un rapport entre l’énumération des objets à décompter et l’énoncé de la comptine ne soit établi. Le niveau de chaîne insécable: la suite orale des nombres devient une suite de mots séparés commençant par « un ». Il est alors possible que l’élève détermine le nombre d’objets d’une collection. Le niveau de chaîne sécable: la suite orale devient une chaîne sécable, notion de réversibilité. Sans cette notion, on ne peut livrer le prédécesseur. Le niveau de chaîne terminale: palier de réorganisation des différentes sturctures.

13 situations de comptage (numération de mots) : Enfant seul compter le plus loin possible (identification de la zone stable et exacte) • compter le plus loin possible sous la forme dire un nombre fort, le suivant faible... • compter le plus loin possible sous la forme dire un nombre, taire le suivant... • compter le plus loin possible en frappant sur ses propres énonciations • compter le plus loin possible sous la forme dire un nombre, taire le suivant en frappant sur le nombre tu • compter le plus loin possible sous la forme frapper entre les énonciations

Deux enfants (ou un adulte et un enfant) compter le plus loin possible en frappant sur les dires de l'autre compter le plus loin possible sur les frappés de l'autre compter le plus loin possible en alternance compter le plus loin possible en alternance et en frappant sur les dires de l'autre • compter le plus loin possible en énonçant deux nombres consécutifs • compter le plus loin possible en énonçant deux nombres consécutifs sous la forme en dire un, taire le suivant Trois enfants compter le plus loin possible sous la forme deux nombres dits, un répondu

quelques obstacles… numération et compréhension des bases problèmes de chiffres : transcodage difficultés de la numération de position la question du zéro

Les caractéristiques de la numération de mots : vingt-huit mots (16 mots pour désigner les 16 premiers nombres ; 5 mots pour exprimer les dizaines ; 6 mots pour exprimer les puissances de dix ; zéro) des présences superflues (dix, onze, douze, vingt, et) des absences notoires (soixante-dix [septante] , quatre-vingts [huitante ou octante], quatre-vingt-dix [nonante]) Une base indéterminée (base dix-sept [de 0 à 16] ; pseudo base dix [de 17 à 19 ; de 20 à 59 si l'on abstrait le nouveau nom de dizaine ; base dix- sept [de 60 à 76 et de 80 à 96]) des ruptures arbitraires (vingt-ET-un ; cinquante-ET-un ; cent au lieu de UN cent) une numération hybride [quarante-huit => quarante + huit ; quatre-vingts => quatre x vingt ; quatre-vingt-dix-sept => quatre x vingt + dix + sept)

Les caractéristiques de la numération de signes : l'emploi de 10 signes (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9) l'usage de la base dix en tout lieu de la chaîne la règle numérale de position l'utilisation du zéro

Quelques pistes concernant les procédures de dénombrement: travailler dans la zone stable et exacte de l'enfant proposer des collections homogènes d'objets privilégier, dans un 1er temps, des dénombrements organisés (en lignes, en colonnes, en perception cartésienne) jouer de l'hétérogénéité ( formes, couleurs, tailles) proposer, dans un 2nd temps, des dénombrements inscrits dans un espace non organisé augmenter des collections (le surcomptage implique la maîtrise de la capacité à compter à partir de...) diminuer des collections (le décomptage implique la capacité à compter à partir de...et la capacité à compter à l'envers)

III)Et le calcul?

Les différents moyens de calcul. Trois moyens de calcul à la disposition des élèves: - le calcul mental (automatisé ou réfléchi)  15minutes par jour - le calcul posé (techniques opératoires); - le calcul instrumenté (calculatrice ou ordinateur).

Les deux formes de calcul mental: automatisé ou réfléchi Le calcul automatisé Ses objectifs: automatiser des calculs simples; mémoriser certains résultats pour faciliter la mise en place des techniques de calcul; connaître les tables.

Des points d’appui pour la mémorisation: Le calcul automatisé: Des points d’appui pour la mémorisation: Une bonne compréhension des opérations en jeu; La prise de conscience de l’intérêt à disposer d’un répertoire de résultats; La prise de conscience, pour l’élève, du fait que certains résultats sont mémorisés et qu’un répertoire mental est en train de se constituer; La capacité à utiliser ce qu’on sait pour obtenir d’autres résultats; L’entraînement des résultats mémorisés. Une bonne compréhension des opérations en jeu: l’élève doit avoir une bonne représentation des nombres (consolider l’image mentale des nombres, travailler sur les nombres et leur décomposition ou leur complément). L’élève est capable de calculer 4+3 parce qu’il est capable d’évoquer 4 objets réunis avec 3 ou qu’il sait que le résultat est le nombre qui est situé « trois après quatre » sur la bande numérique. L’addition a du sens pour lui. Disposer d’un répertoire de résultats: ds un premier temps, l’enseignant peut recenser les résultats au fur et à mesure qu’ils sont élaborés, les noter sur une affiche et permettre aux élèves d’y recourir. Peu à peu, ce répertoire est organisé, complété et structuré en tables. Mémorisation de certains résultats: pour l ’addition, il est souvent limité au début à la connaissance des doubles et à la prise de conscience qu’ajouter 1, revient à dire le nombre suivant. Capacité à utiliser ce qu’on sait: « 4+3 c’est un de plus que 3+3. La mise en place de points d’appui est importante: les doubles, décomposition en appui sur le nombre 5, complément à 10; carré, tables de 2, de 5. Entraînement des résultats mémorisés: la mémorisation est favorable par l’entraînement et par la diversité des représentations mises en jeu. Connaître ses tables, c’est aussi être capable d’exploiter cette connaissance pour donner un résultat connexe. Connaître 7+6 c’est être capable de répondre 13 mais aussi pourvoir répondre à la question: combien pour aller de 7 à 13? Combien de 6 pour aller à 13? 13-6? 13-7?…

Quelques écueils à éviter: Le calcul automatisé: Quelques écueils à éviter: -la répétition verbale rituelle des tables dans l’ordre; le recours systématique aux doigts; la mise à disposition de moyens permettant de visualiser l’opération correspondante. Dans les moments de calcul mental, il n’est pas opportun de mettre à disposition des élèves des jetons, des cubes comme aide au calcul: il n’y aurait plus de calcul mental!

Le calcul réfléchi: Ses objectifs: élaborer des procédures adaptées aux calculs proposés; apprendre à s’appuyer sur des résultats mémorisés; permettre de mémoriser certaines procédures ou de découvrir certains résultats qui seront ensuite mémorisés. La démarche: -les procédures sont expliquées, confrontées, justifiées du point de vue de leur pertinence et leur efficacité; -aucune procédure n’est imposée, on signale seulement les procédures les plus efficaces; -chaque séance se conclut par une brève synthèse de l’enseignant.

Diversité des procédures: Le calcul réfléchi Diversité des procédures: Le calcul réfléchi est d’une autre nature que le calcul automatisé. Il s’agit d’élaborer une procédure adaptée au calcul particulier qui est proposé. D’autres représentations du nombre sont mobilisées : numération orale, numération écrite. Exemple: écrire « 92 + 15 = ? » dire « quatre-vingt-douze plus quinze? » Le calcul réfléchi est d’une autre nature que le calcul automatisé. Il ne s’agit plus de récupérer directement en mémoire un résultat ou une procédure directement applicable, mais d’élaborer une procédure adaptée au calcul particulier qui est proposé. Stratégie et raisonnement sont alors sollicités. D’autres représentations des nombres sont mobilisées, notamment celles qui sont liées à leur expression dans les deux systèmes de numération utilisés, numération chiffrée et numération orale. Ces deux numérations ne sont pas exactement superposables. La traduction chiffrée de « quatre-vingt douze » ne fait intervenir ni 4, ni 20, ni 12. C’est une première raison pour laquelle il n’est pas équivalent de proposer un calcul à faire mentalement sous la forme écrite “ 92 + 15 = ? “ et sous la forme orale « quatre-vingt douze plus quinze ». Une autre raison relève de la mémorisation : dans le premier cas, la consigne reste visible alors que dans le second elle doit être enregistrée, ce qui occupera une partie de la mémoire de travail.

Exemples de procédures: 37 + 18 = ? P1 : calcul séparé de 30 + 10 et de 7 + 8, puis somme des résultats partiels. P2 : calcul de 37 + 10, puis 47 + 8 (47 + 3 + 5 ou 47 + 10 – 2) P3 : calcul de 37 + 20 – 2 ….

Les séances de calcul mental en classe A quels moments? Des moments spécifiques; Dans le cadre de toutes activités de classe. Sous quelle forme? Des activités collectives; Des activités de groupe; En ateliers. Avec quel objectif? Apprentissage en calcul réfléchi: ce qui compte, c’est la procédure; Entraînement et/ou évaluation: ce qui compte, c’est le résultat, puis le résultat et la rapidité; Résolution de problèmes, vérification des acquis.

Quelques repères dans les programmes. De l’école maternelle à l’école élémentaire: L’école maternelle donne l’occasion aux enfants de vivre leurs premières expériences dans le monde des nombres. Dès l’école maternelle, la résolution de problèmes est donc au cœur de la première activité mathématique. Le travail sur fiche ne peut pas se substituer aux questions posées sur des objets à manipuler. Résoudre des problèmes portant sur les quantités n’implique pas l’utilisation du formalisme mathématiques: ne pas anticiper les apprentissages qui relèvent du cycle 2. Le début du cycle 2 doit être consacré à repérer, organiser, stabiliser et enrichir les connaissances vues en maternelle.

Approche des quantités et des nombres. En petite section: Les premiers éléments de la comptine numérique orale peuvent déjà être mis en place, au moins jusqu’à cinq ou six, pour une grande majorité d’élèves, par imitation avec l’aide de l’adulte. Son utilisation pour dénombrer de petites quantités (supérieures à trois) commence à se développer. L’utilisation autonome des nombres ne relève pas essentiellement d’activités rituelles (récitation de la suite des nombres, comptage des absents…), mais d’actions qui ont du sens pour l’enfant et qui lui font prendre conscience que dénombrer est efficace pour retenir une quantité . L’apprentissage reste essentiellement centré sur l’oral, ce qui n’interdit pas l’utilisation des écritures chiffrées par l’enseignant, mais ni leur écriture par les élèves, ni leur reconnaissance ne sont des objectifs à ce moment de l’école maternelle.

En moyenne section: La comptine orale des nombres peut être étendue de façon importante, pour une grande majorité d’enfants, au moins jusqu’à douze ou quinze (éventuellement de façon accompagnée pour des nombres dont le nom est difficile à mémoriser, notamment pour les nombres entre onze et seize). L’usage de la suite orale des nombres pour le dénombrement de collections (en particulier de plus de 3 ou 4 éléments) se met en place progressivement, dans des situations où celui-ci est nécessaire. Le plus souvent, il s’agit d’activités dans lesquelles le déplacement des objets est possible pour être sûr de ne pas en oublier et de ne pas compter certains d’entre eux plusieurs fois. Parallèlement, les enfants sont confrontés à la suite écrite des nombres, notamment à travers un premier usage du calendrier, les calendriers de type éphéméride ou linéaire étant préférés à ceux organisés sous forme de tableau.

En moyenne section (suite): La verbalisation par l’enfant de ses actions et de leurs résultats constitue une aide importante à la prise de conscience des procédures utilisées et de leurs effets. Ces activités peuvent également être l’occasion d’utiliser des écritures provisoires (dessin, schéma…) nécessaires, par exemple, pour transmettre une information ; plus tard, les écritures chiffrées se substitueront à ces premières représentations écrites des quantités. En grande section: Le nombre devient un outil de contrôle des quantités. Cet usage des nombres nécessite de connaître la comptine orale suffisamment loin : trente parait être un objectif raisonnable, en sachant que certains enfants sont capables d’aller bien au-delà.

En grande section (suite): Le nombre devient ainsi un outil utilisable pour effectuer un dénombrement. L’entraînement au dénombrement de collections n’est, pour l’essentiel, pas entraîné pour lui-même, mais à l’occasion de diverses activités. L’enseignant veille à faire dénombrer des collections mobiles (faciles à déplacer, pour séparer les objets “ déjà comptés ” de ceux qui restent à compter), puis des collections fixes (nécessitant un marquage réel ou mental) et des collections représentées. Un premier pas est possible en direction de ce qui deviendra le calcul au CP. Le travail est uniquement centré sur la résolution de problèmes sans faire appel, à ce moment de la scolarité, au calcul sur les nombres. Dans les problèmes proposés, les enfants sont placés en situation d’anticiper des résultats (sans possibilité d’action directe sur les objets).

Objectifs pour le cycle 2: Domaine de l’addition et de la soustraction: Calcul automatisé: - ajouter ou retrancher 1, en particulier pour les nombres inférieurs à 20; - ajouter ou retrancher 2 et 5, en particulier pour les nombres inférieurs à 20; - ajouter ou retrancher 10, puis 100; - connaître les compléments à 10 ou à 20, puis à la dizaine supérieure (pour les dizaines inférieures à 100); - décomposer un nombre inférieur à 10 à l’aide du nombre 5; - décomposer un nombre compris entre 10 et 20 à l’aide du nombre 10; - additionner deux nombres dont la somme est inférieure à 10 et décomposer un nombre inférieur à 10 sous forme additive;

- maîtriser le répertoire additif (tables d’addition) : sommes de deux nombres inférieurs à 10, compléments, différences et décompositions associés; - calculer des sommes, des différences ou des compléments du type 20 + 7, 27 – 7, 20 pour aller à 27, puis 200 + 37, 237 – 37, 200 pour aller à 237; - ajouter ou retrancher entre elles des dizaines ou des centaines, calculer les compléments correspondants. Calcul réfléchi: - ajouter et retrancher un nombre à un chiffre à un nombre inférieur à 100, puis inférieur à 1 000; - ajouter ou retrancher un nombre entier de dizaines ou de centaines à un nombre de 2 ou 3 chiffres; - ajouter et retrancher deux nombres; - calculer des écarts ou des compléments (nombres de deux ou trois chiffres);

- identifier les nombres dont la somme est un « nombre rond » et les utiliser pour calculer des sommes de plusieurs nombres; - adapter les stratégies utilisables pour soustraire, selon qu’on a soustraire un « petit nombre » ou un « grand nombre ». Domaine de la multiplication et de la division: Calcul automatisé: - connaître les doubles des nombres des nombres inférieurs à 10 et les moitiés correspondantes; - connaître les doubles (et les moitiés correspondantes) de nombres clés : 10, 20, 30, 40, 50, 100, 200, 300, 400, 15,25; - connaître les tables de multiplication par 2 et par 5; - multiplier par 10 et par 100.

Calcul réfléchi: - calculer les doubles de nombres inférieurs à 50; - calculer les moitiés de nombres inférieurs à 100 : nombres entiers de dizaines, nombres pairs; - calculer le produit de deux nombres inférieurs à 10; - utiliser un produit connu pour calculer un « produit voisin ».

Des exemples d’activités et de supports: Complément à 10 Un jeu de cartes ordinaires (sans les figures) est battu. L’enseignant propose une carte à un enfant qui doit énoncer rapidement le complément à dix. Cartes recto-verso : compléments à 10 Un jeu de six cartes portant au recto l’écriture d’un nombre de 0 à 5, au verso son complément à 10. La face d’une carte est montrée. Il faut déterminer ce qui est écrit sur l’autre face. Complément à la dizaine supérieure Dans un jeu de cartes, on tire une carte grisée qui indique les dizaines et une carte blanche qui indique les unités. L’élève doit indiquer la dizaine immédiatement supérieure et le complément à cette dizaine.

Tableaux de nombres: Barrer les paires de nombres dont la somme est dix. Quel nombre reste-t-il?

Cascades: Chaque case contient la somme des nombres situés au-dessus d’elle, il s’agit de trouver les nombres qui manquent dans les grilles.

Test de calcul et de lecture rapide: Ceci est un calcul à faire mentalement et rapidement, n’utilisez ni calculette ni stylo et papier. Prendre 1000 et y ajouter 40. Ajouter 1000. Ajouter encore trente et à nouveau 1000 Ajouter 20. Ajouter 1000, puis 10. Quel est le total ? Vous avez trouvé 5000 ? La réponse juste est 4100, refaites le calcul! En fait la séquence décimale confond notre cerveau qui saute « naturellement » vers la plus haute décimale (centaine au lieu des dizaines)…