Programme de mathématiques de sixième rentrée 2005 Le diaporama et les documents qui y sont attachés peuvent servir de support à un travail d’équipe dans les établissements. Les documents sont présentés dans l’ordre d’apparition sur le diaporama. Ils sont en partie indépendants les uns des autres. Vous n’y trouverez pas des activités toutes prêtes mais des documents ou des adresses qui apportent des pistes de réflexion.

Ce diaporama a été présenté lors de réunions d’animation qui ont eu lieu en mai et juin 2005 dans quelques bassins de l’académie du mois de mai 2005. Il s’agit de réflexions sur quelques thèmes importants du programme de mathématiques de sixième sans balayer de manière exhaustive l’ensemble du programme. Ces réunions animées par des IPR de mathématiques se sont tenues avec des professeurs de collège et avec la participation d’inspecteurs ou de conseillers pédagogiques du premier degré qui ont pu apporter des éclaircissements sur la manière dont certaines notions sont amenées dans le premier degré. Lors de ces temps d‘échanges, des professeurs ont apporté leur réflexion sur quelques thèmes particuliers. Les fichiers correspondants figurent dans la liste présente dans la page d’accueil « Points de programme ». Il est également enrichi par des extraits de documents issus des travaux de Gérard Macombe IA-IPR dans l’académie de Rennes et membre du groupe d’élaboration des programmes de mathématiques et de Françoise Munck, IA-IPR dans l’académie de Nantes Des extraits de productions d’élèves aux évaluations à l’entrée en sixième illustrent l’articulation école-collège sur certains points du programme de sixième développés dans le diaporama.

Entrer dans le monde des objets mathématiques Le contexte Les élèves arrivant en sixième à la rentrée 2005 auront suivi le programme 2002 de l’école primaire Des continuités à assurer et des ruptures à accompagner Dans beaucoup de domaines, l'école s'en tient au temps de l'approche (et c’est bien normal) alors que la classe de sixième a la responsabilité de proposer le temps de la formalisation. La classe de sixième est alors pour les élèves le moment de l'entrée dans le « monde des objets mathématiques » Lire l’allocution de Jacques Moisan, Doyen du groupe des mathématiques de l’Inspection Générale à Petit-Bourg en décembre 2004

Des documents utiles Programme de mathématiques de sixième Tableau synthétique Documents d’accompagnement des programmes de l’école primaire Documents d’application cycle 3 Diaporama de la conférence d’André Pressiat De nombreuses ressources sur les sites académiques (Nantes, Reims,…) Le programme de mathématiques de sixième est disponible sur le site EDUSCOL Le tableau synthétique est accessible à partir de la page d’accueil Programmes 2002 de l’école primaire sur EDUSCOL BO Hors série N° 1 du 14 février 2002 Documents d’application des programmes (CNDP – juillet 2002 – ISBN : 2-240-00852-0) téléchargeables sur EDUSCOL Documents d’accompagnement pour les mathématiques sur EDUSCOL: Utiliser les calculatrices en classe Le calcul posé à l’école élémentaire Les problèmes pour chercher Le calcul mental Articulation école collège Grandeurs et mesure à l’école élémentaire Résolution de problèmes et apprentissages : des solutions personnelles vers les solutions expertes Des références utiles: - Texte de la conférence à Dourdan d’André Pressiat, maître de conférences à l’IUFM d’Orléans-Tours (Animation pédagogique du 9 février 2005 sur  »Nombres, calculs et proportionnalité à l’articulation école-collège » disponible à l’adresse http://www.ien-dourdan.ac-versailles.fr - Dossier « Jeux sur les nombres – Fractions et décimaux » pour les dispositifs relais sur EDUSCOL

Les points de réflexion développés Débuter le concept de proportionnalité La notion de nombre décimal Donner du sens à la multiplication des décimaux (et la technique) Passer de la notion de fraction partage au statut de nombre et découvrir la division décimale Passer du dessin à la figure géométrique

La proportionnalité Place importante en cycle 3 et en collège En cycle 3, elle apparaît dans le chapitre « exploitation de données numériques » et essentiellement dans le cadre de résolution de problèmes En sixième, il s’agit de formaliser les raisonnements Lire le document « Proportionnalité:quelques remarques » disponible sur la page d’accueil.

Les nombres décimaux Cette notion demande un travail complémentaire sur la numération de position et l’ordre A souligner que, pour le cycle3, les décimaux sont mis en relation avec les fractions décimales Des compétences en cours d’acquisition (ce qui est confirmé par les évaluations à l’entrée en sixième) Comparaison des décimaux Entre deux décimaux, on peut intercaler une infinité de décimaux On ne peut séparer partie entière et décimale En cycle 3, on introduit la notion de fraction partage puis la notion de fraction décimale. En fin de cycle 3, les élèves abordent la notion de nombre décimal et font le lien avec les fractions décimales. A ce propos, lire le document d’application des programmes cycle 3 page 21 et suivantes disponible dans les CRDP

La multiplication des décimaux La multiplication d’un nombre décimal par un nombre décimal est au programme de sixième depuis 1997 ainsi que la division décimale Des ruptures à accompagner Comprendre que multiplier n’est plus équivalent à effectuer une addition réitérée Comprendre que lorsqu’on effectue la multiplication d’un nombre n par un nombre m on n’obtient pas systématiquement un nombre plus grand que n Pour ce qui concerne la multiplication de deux décimaux tous deux non entiers, on ne peut se contenter de l’argument d’autorité apporté par la calculatrice pour mettre en place l’algorithme. A ce propos, lire les diapositives suivantes et le document « multiplication de décimaux » présenté par Christine Zelty

Ils connaissent le sens de 5,3x4 en tant qu’addition réitérée A la sortie de l’école primaire, les élèves ne savent pas ce que signifie 5,3x4,2 Ils connaissent le sens de 5,3x4 en tant qu’addition réitérée Donc, pour eux, multiplier c’est augmenter Il est donc nécessaire d’expliquer le sens de l’opération avant de donner la technique

on multiplie 2,5 par 2u soit 5u on multiplie 2,5 par 2d soit 5d Exemple de progression possible dans l’acquisition de la multiplication de deux décimaux Je veux acheter 2,500 kg de cerises à 2,20 € le kg Cycle 3 : Sixième (début) : Sixième (fin) : 2kg coûtent 4,40€ 500g coûtent 1,10€ donc le prix est de 5,50 € on multiplie 2,5 par 2u soit 5u on multiplie 2,5 par 2d soit 5d Les élèves de cycle 3 peuvent résoudre ce type de problèmes en mettant en œuvre la proportionnalité en situation et, ceci, si les données numériques restent raisonnables. En remplaçant 2,500kg par 2,250kg, on crée une difficulté qui peut être inutilement source d’obstacle à ce niveau. Lire une autre proposition de progression dans le document « multiplication de deux décimaux » de Christine Zelty, professeur au collège George Sand à Chatillon on obtient 5,50u placer la virgule (procédure experte)

La notion de quotient A l ’école primaire En sixième On débute le travail relatif à la division euclidienne La notion de fraction fait référence à un partage En sixième L’étude de la division euclidienne se prolonge Découverte de la division décimale Nouvelle signification de l’écriture fractionnaire en relation avec la notion de quotient Utilisation de "fractions" dans les processus de résolution de problèmes - Au cycle 3, début du travail relatif à la division euclidienne ce qui signifie qu’une bonne partie des élèves présente une maîtrise incomplète: du point de vue du sens du point de vue des procédés de calcul. Le mot multiple est à connaître et utiliser au cycle 3 sans étude systématique qui est du ressort du collège - En 6ème, poursuite du travail sur le sens et l’interprétation des résultats obtenus - Procédures expertes à travailler sans recherche de virtuosité - Division décimale (2 entiers ou 1 décimal par un entier) - Ecriture fractionnaire: voir les diapositives suivantes - En particulier, les "fractions" sont donc des nombres « utilisables »

Des ruptures, des nouveautés dans les contenus : le passage de la fraction au quotient Au Cycle 3 les fractions vivent essentiellement en référence à une situation réelle : il s'agit de la fraction-partage donc de la fraction de l'unité. Ainsi peut être visualisé par un réseau de droites parallèles équidistantes (voir diapo suivante) L'objectif de la sixième est de leur donner le statut de nombre. Passer de la vision de la fraction-partage (c’est deux fois un tiers) à la cohabitation entre cette vision première et celle du quotient (le nombre qui multiplié par 3 donne 2). Une autre rupture à accompagner : dans le monde abstrait des mathématiques les décimaux ne suffisent plus.

Fractions ou quotients d’entiers ? Deux constructions d'un segment ayant pour longueur cm. Construction sollicitant l'aspect “fraction” et l'expression “Douze septièmes” Construction sollicitant l'aspect “quotient” et l'expression “Le septième de 12 cm” Consulter le diaporama de la conférence d’André Pressiat donnée à Dourdan à l’adresse http://www.ien-dourdan.ac-versailles.fr/article.php3?id_article=243 Ainsi que les documents « fractions et décimaux, approche pédagogique » «nombres rationnels, nombres décimaux » dans le dossier « jeux sur les nombres –fractions et décimaux » pour les dispositifs relais à l’adresse http://eduscol.education.fr/D0049/default.htm Les deux segments obtenus ont-ils bien la même longueur ? Issue du diaporama d’André Pressiat Maître de conférences à l’IUFM d’Orléans-Tours

Des ruptures, des nouveautés dans les contenus à propos des fractions Le passage de «un nombre entier de fois une fraction» à «une fraction de fois un nombre entier» Une difficulté: faire comprendre que «prendre une fraction d'une quantité» revient à calculer un produit Lire le document « fraction de fois » disponible sur la page d’accueil ainsi que le document d’André Pressiat à l’adresse : http://euler.ac-versailles.fr/ webMathematica/reflexionpro/ conferences/confpressiat/Quotient.pdf pages 12 et 13 et le site académique de Nantes http://www.ac-nantes.fr:8080/peda/disc/math/IPR/Documents/Cpt-rendu_travail_prof_clg_acad_Nantes.pdf

Passage de l’objet réel à l’objet mathématique Les figures planes A l ’école primaire On passe progressivement de la reconnaissance perceptive des objets géométriques et de leurs propriétés à une géométrie où ils sont contrôlés par le recours à des instruments ou par la connaissance de propriétés Lire Le document « quadrilatères » Le fichier Géoplan © « figuredessin » et son document explicatif «commentaire figuredessin» et les remarques suivantes: Passage de l’objet réel à l’objet mathématique -Au cycle 3, les objets du programme ont déjà été abordés ainsi que quelques unes de leurs propriétés. L’évolution vers la mathématisation des objets est donc entamée au primaire. - Les propriétés (physiques) sont vérifiées à l’aide des instruments. - En 6ème, on poursuit ce passage dans le monde des objets mathématiques. Le passage du concret à l ’abstrait est accompagné par le codage des figures et la mise en place (formalisée) de certaines propriétés. - L ’ambition est de faire fonctionner ces propriétés dans des résolutions de problèmes et dans des séquences à caractère déductif (ex: caractérisation de la médiatrice, des points d’un cercle). - Les propriétés « utilisables » restent assez élémentaires et doivent ne pas provoquer de difficultés de formalisation : égalités de longueur, d’angles, perpendicularité, parallélisme (ex: propriétés des diagonales) - Les problèmes de reproduction et de construction ont ainsi une place naturelle et particulièrement importante. - Une première structuration concernant les objets s’opère en s’appuyant sur leurs propriétés communes et les propriétés différentes. - La maîtrise du vocabulaire et des notations n’est pas ni un préalable ni une fin en soi. Elle est au service des activités menées et s ’acquiert au fur et à mesure.

Les figures planes En sixième, une continuité et des ruptures On installe la différence entre dessin et figure Des propriétés sont utilisées pour résoudre des problèmes Le vocabulaire est « au service de » l’activité géométrique Une nouvelle figure apparaît: le cerf-volant Lire Le document « quadrilatères » Le fichier Géoplan © « figuredessin » et son document explicatif «commentaire figuredessin» Le document « cerf-volant » de Marie-Christine Levi, professeur au collège Gérard Philipe à Massy et formatrice et les remarques suivantes: Passage de l’objet réel à l’objet mathématique -Au cycle 3, les objets du programme ont déjà été abordés ainsi que quelques unes de leurs propriétés. L’évolution vers la mathématisation des objets est donc entamée au primaire. - Les propriétés (physiques) sont vérifiées à l’aide des instruments. - En 6ème, on poursuit ce passage dans le monde des objets mathématiques. Le passage du concret à l ’abstrait est accompagné par le codage des figures et la mise en place (formalisée) de certaines propriétés. - L ’ambition est de faire fonctionner ces propriétés dans des résolutions de problèmes et dans des séquences à caractère déductif (ex: caractérisation de la médiatrice, des points d’un cercle). - Les propriétés « utilisables » restent assez élémentaires et doivent ne pas provoquer de difficultés de formalisation : égalités de longueur, d’angles, perpendicularité, parallélisme (ex: propriétés des diagonales) - Les problèmes de reproduction et de construction ont ainsi une place naturelle et particulièrement importante. - Une première structuration concernant les objets s’opère en s’appuyant sur leurs propriétés communes et les propriétés différentes. - La maîtrise du vocabulaire et des notations n’est pas ni un préalable ni une fin en soi. Elle est au service des activités menées et s ’acquiert au fur et à mesure.

Des continuités et des ruptures dans les méthodes Continuer à faire vivre les différentes formes de calcul (mental, réfléchi, posé et instrumenté) Résolution de problèmes Passage progressif des procédures personnelles aux procédures expertes Le travail « à la maison » A propos des différentes formes de calcul, Lire le document d’accompagnement des programmes de l’école primaire « le calcul mental » Consulter le document « calcul mental » présenté par Hamid BELHADIA, professeur au collège La Nacelle de Corbeil-Essonnes présent dans la page d’accueil Lire le texte “Calcul au collège” à l’adresse http://euler.ac-versailles.fr/ webMathematica/textes_officiels/calcul.pdf A propos de la résolution de problèmes, Lire les documents « Nicolas » présents dans la page d’accueil Consulter le fichier Géoplan © “cerclediagonales” et son document de presentation présents dans la page d’accueil Lire les commentaires de l’expérimentation « cerclediagonales » par Hélène Le Texier, professeur au collège de Sèvres. A propos du travail à la maison, Lire le texte http://eduscol.education.fr/D0015/devoirs1.pdf