DERIVATION Taux d’accroissement d’une fonction Approche cinématique :de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée Approche graphique :coefficient directeur de la tangente . Approche numérique :Approximation d’une augmentation en pourcentage par exemple.

Taux d’accroissement Dans le cas d’une fonction « discrète » : mesure d’une population, mesure d’un chiffre d’affaires ,mesure d’une production…la valeur : mesure une variation moyenne

Evolution d’une production Année:x 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Production:P 944 1065 1137 1232 1231 1297 1322 1333 1368 1408 1423

Evolution donne l’évolution moyenne par année sur une période de 10 ans de la production. TAUX D’ACCROISSEMENT DE LA FONCTION P MAIS NON PAS UN TAUX AU SENS ECONOMIQUE Le rapport :

Taux d’accroissement Dans le cas d’une fonction continue ce nombre mesure le coefficient directeur de la droite (AB) quand A et B sont deux points de la courbe représentative de f : A (a,f (a)) et B(b,f (b))

Vitesse Moyenne Le vitesse moyenne se mesure par le taux d’accroissement de la fonction qui donne la position d’un mobile en fonction du temps .

De la vitesse moyenne à la vitesse instantanée Un mobile se déplace de façon rectiligne en fonction du temps Sa position est donnée par f tel que f(t)=2t²+1 exprimé en mètres , pour t exprimé en secondes compris entre 0 et 100 .

Vitesse instantanée Passage « à la limite » de la vitesse moyenne en calculant et en faisant tendre h vers 0 Dans cet exemple on montre que la limite est égale à 4t pour toute valeur de t

De la sécante à la tangente Le coefficient directeur de la sécante tend vers le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a quand le point B « s’approche » de A sur la courbe .

Approximation Une somme S augmente successivement de t % . Cette somme est donc multipliée par (1+x )² en posant t/100=x . On montre numériquement et graphiquement que multiplier S par (1+x)² revient à multiplier S par 1+2x quand x est suffisamment « petit »

Nombre dérivé d’une fonction f en a Définition par la limite quand h tend vers 0 de: Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a . ( approximation affine)

fonctions dérivées Fonctions dérivées des fonctions de référence : Fonctions dérivées d’une somme , d’un produit , d’un quotient Application: Calcul de dérivées de fonctions polynômes de degré au plus 3 et de fonctions rationnelles

Applications Lien entre signe de dérivée et variations de fonctions sur un intervalle : Recherche d’extremum Utilisation de la monotonie pour résoudre des équations du type f(x)=k Recherche de valeurs approchée avec méthode par dichotomie ou par balayage à pas fixé (autre approche du problème de résolution d’équation session 2002 Amérique du sud)

Applications Résolution de problèmes : situations simples Problèmes cinématiques Géométriques Économiques (coût, bénéfice , coût moyen, offre et demande ..)