Un problème d’optimisation : ACTIVITE : INTRODUCTION A LA NOTION DE FONCTION Un problème d’optimisation : Le volume de la boîte 1. 2. 3. 4. 5.

Un problème d’optimisation : le volume de la boîte : Pour fabriquer une boîte, on découpe un carré de même dimension à chaque coin d’une plaque de carton carrée de côté 18 cm. On veut fabriquer une boîte de volume maximal. 18 cm

1.a) Construire trois boîtes avec différentes dimensions pour les découpes carrées. b) Calculer le volume de chacune de ces boîtes. 16 cm 1 cm 16 cm Volume : 1 cm Boîte n°1 V = 1  16  16 16 cm 256 cm3 16 cm V =

1.a) Construire trois boîtes avec différentes dimensions pour les découpes carrées. b) Calculer le volume de chacune de ces boîtes. 14 cm 2 cm 14 cm Volume : Boîte n°2 2 cm V = 2  14  14 14 cm 392 cm3 14 cm V =

1.a) Construire trois boîtes avec différentes dimensions pour les découpes carrées. b) Calculer le volume de chacune de ces boîtes. 12 cm 3 cm 12 cm Boîte n°3 Volume : 3 cm V = 3  12  12 12 cm 432 cm3 12 cm V =

2.On appelle x le côté de la découpe carrée. a) Sur le dessin en perspective ci-contre, indiquer les trois dimensions de la boîte en fonction de x. x 18 cm x 18 - 2x 18 - 2x

2.b) Exprimer le volume V de la boîte en fonction de x. x  (18 – 2x)  (18 – 2x) V = x(18 – 2x)²

3.Utilisation d’un tableur pour le calcul du volume de la boîte : On veut obtenir directement le volume de la boîte lorsque x est un nombre entier variant entre 0 et 9.On utilise un tableur comme indiqué ci-dessous : x V(x) 2 1 A B C D E F G H I J K

a)Quelle formule de calcul faut-il saisir dans la cellule C1 pour avant de l’étendre par recopie vers la droite ? ………… b)Quelle formule de calcul faut-il saisir dans la cellule B2 pour calculer l’aire du rectangle avant de l’étendre par recopie vers la droite ? …………………… = B1 + 1 = B1*(18 – 2 *B1)^2

c) Noter les résultats obtenus dans le tableau de valeurs ci-dessous : x V(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 256 392 432 400 320 216 112 32

4. Représentation graphique de l’aire du rectangle : En sélectionnant les lignes 1 et 2 et en utilisant la fonction “ Insertion graphique ”, Nuage de points ”, du tableur, on obtient une courbe qui représente le volume de la boîte en fonction du côté x. Tracer cette courbe dans le repère ci-contre, en utilisant les données du tableau de valeurs de la question 3. c). (On placera d’abord les points puis on reliera ces points par une courbe faite à main levée).

256 392 432 400 x V(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 320 216 112 32 V(x) Volume de la boîte         côté   x

5.Conclusion : Pour quelle valeur de x, le volume de la boîte semble t-il maximal ? ………………… Pour x = 3 cm

FIN !