ab initio (TD)-DFT liaisons fortes champ moyen taille approx. type jellium champ moyen taille approche dépend de : taille ( + faisabilité ) élément propriété physique étudiée statique  dynamique classique  quantique recoupements pertinents si les limites de validité et approximations sont connues quantitatif ou évolution en fonction de …. (et expérience acquise) dynamique dans l’espace des phases éq. de Vlasov …etc... cinétique des populations éqs. de Boltzmann BiN sur C amorphe Hydrodynamique Approches statistiques Physique du Solide….etc spectre des phonons couplage e-ph taille finie  perturbation (?)

Processus optiques et dynamique de relaxation électronique dans les agrégats métalliques Agrégats de métaux « simples » (alcalins, métaux nobles …)  Gros agrégats MN typiquement N>200 R>1nm Description de type jellium de la distribution des ions Description phénoménologique des électrons de cœur ( d(), m()..) Régime de faible perturbation (linéaire) Te=T0+T avec T  qq 102 K (D=3 nm, un photon VIS  T  500 K) Processus dynamiques internes aux temps courts (fil conducteur: exp. pompe-sonde)  Excitation et relaxation du plasmon de surface (  10 fs )  Thermalisation électronique (  qq 102 fs )  Thermalisation électron-phonon (  qq ps )  Excitation des modes de vibration acoustiques (« breathing » modes) (autres canaux de relaxation : fragmentation, évaporation…ionisation directe ou thermique, émission de corps noir,….)

Approches théoriques DFT-Kohn-Sham  état fondamental TDDFT  polarisabilité dynamique complexe ()  spectre d’absorption ()  Im[()] Transformée de Fourier ( ou largeur  ) Dynamique du dipôle (relaxation du plasmon de surface) Thermalisation électronique et électron-phonon (« collisions ») Dynamique moléculaire, TD-DFT, Car-P. etc Dynamique des ions ( Hellmann-Feynman ) Gros agrégats  Approches statistiques de la Physique de la Matière Condensée Cinétique des populations Equations de Boltzmann Lien entre les observables et les populations : la fonction diélectrique Compréhension des processus dans la phase massive utile (couplage e-ph, écrantage ..)  Cas spécifique des agrégats : confinement, vibrations de surface, symétrie  ( règles de sélection ) , plasmons (recherches en cours, résultats controversés) Approches théoriques () E0e-it

Plasmon de surface Théorie classique (Mie) Approximation dipolaire Polarisabilité dynamique p(t)=()E(t) Section efficace d’absorption E=E0e-it k ()=1+i2 Eint m R r(t)=r0e-it métal simple (modèle de Drude) P(t) = -qnr(t)  D=0[1+()]E(t) = 0()E(t) () : condition de résonance 1+2m  0 alcalin métal noble (Ag) [()=Dru+d]

Image classique du plasmon de surface E(t)=E0cos(t) Oscillateur harmonique forcé Image classique du plasmon de surface - + r < R r > R F=-mM2r Hyp. Électrons  sphère rigide incluse dans le jellium  oscillateur harmonique (M) « spillout » des électrons  force de rappel plus faible  red-shift de la fréquence plasmon déplacement, déformation par un champ statique plus aisés  polarisation statique plus faible

Réponse linéaire formalisme TDLDA (  optique) Résumé H=H0+H1(t) H1(t)=-D.E0e-it+t 0(r)  0(r)+ 1(r,,) e-it+t solution (statique) DFT-Kohn-Sham  : Susceptibilité complexe non-locale, fonction de corrélation densité-densité, etc… Vext=qE0z D=-qiRi 0, E0 : état fondamental m, Em : état excités (r): opérateur densité en r p(t) = -qr1(r)dr e-it+t = () E(t) Polarisabilité dynamique

Résultats TDLDA (modèle simple : jellium sphérique) R=1.25 nm Mie 0 E(t)=E0e-it susceptibilité non locale  oscillateur faiblement amorti dispersion absorption Fragmentation du plasmon de surface (excitation collective des électrons)

Lien avec la description classique Vext(r’)=qE0z’ p(t) = -qr1(r)dr e-it+t = () E(t) (élément de matrice de transition)2 force d’oscillateur TDLDA  m et fm expression classique déduite de (oscillateur (m) amorti en régime forcé)

Règles de somme effets de taille finie Na440 (DFT) (métal simple) Règle de Thomas-Reiche-Kuhn fm : force d’oscillateur polarisabilité statique pulsation plasmon autres paramètres à prendre en compte masse effective pseudopotentiels polarisation des cœurs

réponse spectrale dynamique « TF » >0 Excitation TDLDA Excitation TDLDA Exemple : excitation instantanée évolution du dipôle (réponse linéaire)

Dynamique du dipôle [ excitation instantanée E0(t) ] oscillateur amorti + figure de battements entre les différentes raies de fragmentation (Landau damping)  T0 (fs) =4.14 / E (eV)  T2 (fs) =1.32 / E (eV)

 : Susceptibilité complexe non-locale 0, E0 : état fondamental m, Em : état excités (r): opérateur densité en r densité induite dipôle réponse à une excitation harmonique en exp(-it+t) réponse à une excitation instantanée en (t)  d interférences, battements fonction « saut »

Relaxation du dipôle excitation instantanée  (t)E0 T2 (fs) =1.32 / E (eV) Au Na Ga p(t) temps (fs)  Corrélation entre le temps de décohérence de l’excitation collective et la largeur  de la bande plasmon.  temps d’autant plus court que le rayon est petit (image classique  diffusion sur la surface)  temps de relaxation de l’ordre de qq fs

0 Relaxation du plasmon  effets de surface et structure ionique r < R r > R Dans un potentiel externe harmonique le mouvement du centre de masse est totalement découplé de celui des degrés de liberté internes [  la forme de v(r1-r2) ] n=0 n=1 n=2 0 continuum de Hint

calculs précédents (modèle du jellium) toutes les conditions sont réunies pour assurer une relaxation lente du plasmon Facteurs contribuant à la décohérence du plasmon  surface (unique facteur dans le modèle du jellium)  perte de la symétrie sphérique  structure discrète du réseau ionique  défauts  effets non linéaires  couplages dynamiques « collisions » électron-électron ( thermalisation) « collisions électron-phonon » ( thermalisation) Facteurs statiques anharmonicités du potentiel extérieur (comme dans l’image classique) durée de vie -largeur- des niveaux ( via  ) au-delà du champ moyen les excitations collectives sont couplées à un quasi continuum, dès les petites tailles [DOS(élec. et ph.)] + moyenne d’ensemble sur l’état initial ( T0 ) battements, récurrences inobservables interaction avec l’extérieur non strictement nulle irréversibilité de la dynamique (matrice) et grand nombre de degrés de liberté

Comparaison avec l’équation de Vlasov condition initiale n(r,0)=n0(r-R0uz) avec R0=0.2 a0 (régime linéaire) structure ionique fixée (Na55+) (sphère) jellium standard D(t)=p(t)/Ne Vps(r’) [Thèse J. Daligault (2001)]

Prise en compte de la structure ionique discrète Influence de la structure 3D décohérence  diffusion des électrons sur les ions (dépend de vps) agrégat Na55+ icosaédrique 0,6 eV Na147+ icosaèdre Na196 amorphe 0,66 eV 0,74 eV

somme sur les orbites fermées classiques limites de l’approche semi-classique : illustration densité d’états électroniques dans un puits de potentiel ayant une « surface rugueuse » somme sur les orbites fermées classiques « l’électron quantique (0) est insensible aux détails trop fins » DOS semiclassique  DOS quantique

Na93+ [modèle de photo-fragmentation/ionisation] T2  10 fs [Schlipper PRL 80 (1998)] AgN déposés [STM (e- lumière induite)] hom  0,15-0,3 eV [Nilius, PRL 84 (2000)] + effets de taille attendus AuN (R=6-13 nm) [spectral hole burning] T2  9-15 fs [Ziegler CPL 386 (2004)] AuN (R  20 nm) [champ proche, effet d’antenne] T2  8 fs [Klar PRL 80 (1998)] AuN (oblate) [SHG THG, autocorrélation] T2<10 fs [Lamprecht PRL 83 4421 (1999)] hole burning (Ziegler) Near-field transmisssion spectra (Klar) sample Mie T2  5-20 fs hom(R) STM émission induite par les électrons émis par la pointe (Nilius)

Quelques exemples illustratifs expérience en jet : spectroscopie de photoévaporation analyse de la distribution des fragments (agrégats chauds) (Bréchignac PRL 68 3916 (1992) Calculs TDLDA absorption Mie déviation dans un gradient de champ électrique Knight PRB 31 2539 (1985) =50 meV et 5 meV

Dynamique du système couplé électrons - ions Ex. : interaction avec un champ potentiel scalaire Kohn-Sham TD-DFT Détermination des densités Système d’équations couplées idem pour les ions approximations nécessaires  Dynamique classique

Représentation en espace de phase de la M. Q Représentation en espace de phase de la M.Q.  représentation de Wigner  équation de Vlasov (limite semi-classique des équations de Kohn-Sham) hKS[n](r,t) Équations de Kohn-Sham (électrons) Transformation de Wigner de l’opérateur n(t) opérateur densité n(t) équation d’évolution de n(t) équation d’évolution de f(r,p,t) (Crochets de Poisson) eq. Liouville Limite semi-classique : on ne conserve que le terme d’ordre 0 en   équation de Vlasov Hamiltonien semi-classique

l’équation de Vlasov classique N particules indiscernables espace de phases (r1,p1)(r2,p2),…(rN,pN) Hamiltonien fN(r1,p1,..,rN,pN,t)dr1dp1…drNdpN proba d’avoir 1 particule en (r1,p1) [dans dr1dp1] à t etc . N normalisation : fN(..ri,pi,…t)dr1dp1…drNdpN=N! fN satisfait l’équation de Liouville loi de conservation ds l’espace de phases La « hiérarchie » BBGKY (Bogoliubov, Born, Green, Kirkwood, Yvon) fn(r1,p1,..,rn,pn,t)dr1dp1..drndpn:  proba d’avoir 1 particule en (r1,p1)[dans dr1dp1] à t etc. 1. n fn(r1,p1,..,rn,pn,t)=[1/(N-n)!] fN(r1,p1,..,rN,pN,t)drn+1dpn+1…drNdpN (fct. de répartition réduite) normalisation fndr1dp1..drndpn=N!/(N-n)! et fn+1drn+1dpn+1=(N-n)fn f1(r,p,t) : densité de particules en (r,p) à t (fct. de répart. à 1 corps)

équation d’évolution de f1(r1,p1,t) équations d’évolution des fonctions de répartition fn(r1,p1,..,rn,pn,t) équation de Liouville pour fN équation d’évolution de f1(r1,p1,t) force extérieure Hypothèse : on néglige les corrélations dans f2 Champ moyen

Equation(s) de Boltzmann (éqs. de transport) : généralités Initialement appliquée à un gaz monoatomique dilué ( théorème H) : construction générique fonction de répartition à 1 particule f(r,p,t): dN=f d3rd3p : nombre moyen de particules dans le volume d3rd3p à t Espace des phases à une particule (6 dimensions) processus sortant (out) processus entrant (in) p p1 p2 p3 p+p1  p2+p3 équation bilan transport « ballistique » dans l’espace de phase (comme l’équation de Liouville habituelle définie dans l’espace de phases (..qi…pi ) de N particules intégrales de collision («chaos moléculaire ») p3 p2 p p1 p2+p3  p+p1 « choix » pour F et Icoll  plusieurs formes possibles

Lois de conservation locales ne conserve pas l’entropie équation de Boltzmann équation bilan p p1 p2 p3 p+p1  p2+p3 p3 p2 p p1 p2+p3  p+p1 Iin et Iout dépendent  des populations f(p)  d’une loi de probabilité Lois de conservation locales (nombre de particules, impulsion, énergie) ne conserve pas l’entropie

Espace de phases à 1 (quasi)électron (r,k)  distribution f(r,k,t) Dynamique des électrons : équation de transport de la Physique du Solide « crystal momentum » pseudo-moment périodicité du réseau électrons libres électrons de Bloch bandes, k  1ère ZB m-1  -22/ki kj Les forces induites par le système non perturbé sont incluses via la structure de bande Espace de phases à 1 (quasi)électron (r,k)  distribution f(r,k,t) transport « ballistique » dans l’espace des phases écarts à la périodicité du réseau (défauts, impuretés, ….) distributions hors équilibre (électrons et phonons)  « forces imposées » Équation de Boltzmann

écarts à la périodicité du réseau (défauts, impuretés, phonons) Espace de phases à 1 électron (r,k)  distribution f(r,k,t) (proba. d’occupation) écarts à la périodicité du réseau (défauts, impuretés, phonons) distributions hors équilibre (électrons et phonons) Approximation du temps de relaxation (grossier) E. de B. intégrable dans des cas simples Construction générique du terme de collision : bilan des processus qui peuplent et dépeuplent le « volume » de l’espace des phases (comme les termes « ballistiques ») Ex : processus impliquant 1 seul électron (impureté) et f : proba. d’occupation de l’état k Pkk’ : probabilité par unité de temps associée au processus (Hyp: règle d’Or de Fermi) + application du principe d’exclusion de Pauli Analogue à l’équation maîtresse de la Physique Statistique

Calcul des différents termes de collision de l’équation de Boltzmann  expressions dans le cadre de modèles simples  simulation de la dynamique des populations  comparaison avec l’expérience Milieu homogène Condition initiale : électrons et phonons à la température T0=300 K Calcul de la distribution f(E,t) ( éventuellement N(q,t) ) Dynamique des populations f(E,t) Lien avec la dynamique des observables

Dynamique de relaxation décrite par des processus « collisionnels » ri : électrons Rn : ions Hamiltonien modèle Helec  états électroniques états de Bloch, ondes planes modes de vibration dans l’approximation harmonique (phonons) champ laser interaction e-laser (collisions à 3 corps) absorption assistée par un phonon ou un second électron,etc.. interaction de Coulomb entre e- responsable de la thermalisation interne du gaz d’électrons de conduction (collisions e-e) couple les électrons et les phonons  thermalisation globale du système électrons + phonons (collisions e-ph) (interaction de Coulomb, pseudopotentiels potentiel de déformation,…)

Principe d’une expérience résolue en temps de type pompe-sonde lasers fs sonde pompe délai  échantillon détecteur chopper détection synchrone modélisation de l’échantillon (substrat + film composite)  T( (), m()..,d,D. ) et R(..) régime de faible perturbation strictement (,q) mais q0 (photon) La fonction diélectrique dépend des populations fbande(k) (Lindhard) Ex: métal noble (Ag, Au, Cu) EF Bande d Drude q0

ee e-ph Processus dynamiques aux temps courts (agrégats métalliques; régime de faible perturbation) Texci 100-300 K excitation du plasmon excitations e-h (amortissement Landau ) distribution électronique athermale thermalisation des électrons électrons+ions matrice temps  10 fs  300 fs  1 ps ee e-ph f(E) E ee : temps de thermalisation des électrons e-ph : temps de thermalisation électrons/réseau sonde au seuil interbande Capacités calorifiques Cion >> Ce  Tion  T0 sonde dans l’IR Calcul de la distribution f(E) ( éventuellement N(q) )

Simulation de la dynamique des populations f(E) Argent : EF5,5 eV d 3,7 rs 3 a.u. Seuil interbande ib 3,9 eV Caractéristiques du pulse pompe d’excitation Durée totale 80 fs Largeur à mi-hauteur 20 fs Énergie du photon pp 1,45 eV Température d’excitation équivalente 100 K (régime de faible perturbation) EF Bande d Bande de conduction «parabolique » (ondes planes)

qD distribution de Fermi-Dirac (électrons) distribution de Bose-Einstein (phonons) Argent structure de bande simplifiée bande de conduction parabolique, isotrope f(k,=1/2)= f(k,=-1/2)=f(E) simplifications nécessaires branches acoustiques isotropes (T et L) sphère de Debye modèle de Debye Processus Umklapp négligés  conservation de k qD

« Collisions » électron-électron k k1 k2 k3 k+k1  k2+k3 Calcul de dans le cadre d’un modèle simple Expression de la durée de vie des états puis calcul de

Durée de vie de l’état |k > Collisions électron-électron k k1 k2 k3 k+k1  k2+k3 , , ,   k,  Durée de vie de l’état |k > terme d’échange (=1) ondes planes conservation de k est le vecteur d’onde échangé (q) : fonction diélectrique

distribution isotrope f(E) ondes planes distribution isotrope f(E) expression analytique avec les ingrédients suivants k k1 k2 k3 k+k1  k2+k3 E+E1=E2+E3 Contributions proviennent de la zone d’énergie E  EF  F[EF,EF,EF]  F en facteur  intégrale sur les populations. Distribution thermalisée  expression analytique durées de vie  1/(E-EF)2 dépendance approximative en importance de l’écrantage « Théorie des liquides quantiques de Fermi »

Collisions électron-électron : dynamique des populations f(k) populations f(Ei,t) p p1 p2 p3 p+p1  p2+p3 p3 p2 p p1 p2+p3  p+p1 Nécessité de simuler la dynamique

Thermalisation des électrons de conduction simulation avec blocage du couplage avec les ions t=100 fs t=80 fs (fin du pulse) t=60 fs t=40 fs t=1 ps t=800 fs t=600 fs t=400 fs f(E) Energie t= 20 fs t=200 fs contraction extrêmement rapide de la distribution athermale autour de EF [ durées de vie en (E-EF)-2 ]  thermalisation non instantanée  effective en qq 102 fs ( échelles différentes )

Thermalisation des électrons de conduction Energie t=100 fs t=200 fs 500 fs t=600 fs t= 1 ps temps t Te(t) fin du pulse pompe température équivalente du gaz électronique Te(t) « températures des états électroniques » Tk(t) Thermalisation stricte extrêmement lente à cause « du blocage de Pauli »

f (E) E (eV) Influence du terme d’échange trait discontinu : prise en compte de l’échange trait plein : sans le terme d’échange 40 fs 60 fs 100 fs délai 1000 fs 400 fs 200 fs f (E) E (eV) simulation avec blocage du couplage avec les ions  durées de vie plus longues  thermalisation plus lente  effet négligeable sur la thermalisation électron-ion

« Collisions » électron-phonon k k+q -q Calcul de dans le cadre d’approximations usuelles Expression du Hamiltonien He-ph puis calcul de

Hamiltonien d’interaction électron-phonon » (approche usuelle) Hph approximation harmonique 3N oscillateurs indépendants q : vecteur dans la première zone de Brilloin Qj,q : modes propres de vibration du réseau correspondent à des mouvements du type sn=Rn-Rneq , n=1..N He-ph : responsable du couplage entre les électrons et les phonons incorporé au Hamiltonien électronique pour définir les états de Bloch He-ph sn : combinaisons linéaires des He-ph : somme d’opérateurs à 1 électron He-ph  somme de processus élémentaires où un électron change d’état via la création ou l’annihilation d’un phonon

dans sa forme la plus simple (une bande, ondes planes, processus Umklapp négligés, couplage nul avec les modes transversaux..), on obtient He-ph k k+q -q q composante de Fourier du pseudopotentiel vps M(q) Probabilités de transition Evolution des populations simulation de la dynamique

Échanges d’énergie entre les électrons et les ions connexion avec « le modèle à 2 températures » gros système isotropie des distributions hypothèse de thermalisation Ti(t)T0 TD<T0 évolution en exp(-t/e-ph) Ci Ce(Te) g

f(E,t) collisions e-e seules collisions e-e et e-ph f(E,t) Évolution des populations électroniques f(E,t) f(E,t) EF t=100, 80 60,40, 20 fs t=1000, 800 600, 400 200 fs échelle différente collisions e-e seules EF collisions e-e et e-ph f(E,t) transfert d’énergie aux phonons énergie E(eV)

e-ph Transfert de l’énergie des électrons aux phonons électrons Extraction de e-ph aux temps longs (décroissance exponentielle) distribution athermale transfert plus lent (confirmé expérimentalement) Conditions expérimentales idéales pour mesurer e-ph photons pompe et sonde dans l’IR

Evolution temporelle des populations des phonons N(q,t) Modèle de Debye 1ère zone de Brillouin du réseau réciproque  sphère de rayon qD TD=215 K pour Ag Température équivalente Teq (K) temps (fs) 0,1 0,2 x=0,5 0,6 x=1 E(q) (meV) t=100 fs t=500 fs t=300 fs  évolution régulière des populations N(q,t)  distribution fortement athermale  phonons de grande énergie sont les plus « chauds »  couplage e-ph : création de phonons de grande valeur de q  nécessité d’inclure les « collisions » ph-ph pour assurer la thermalisation des ions  pas d’influence sur le temps e-ph

« Collisions » électron-photon absorption de la lumière transitions interbandes ( bande d  s-p ) transitions intrabandes Calcul de modèle de Drude force visqueuse  taux de collision un électron libre ne peut pas absorber un photon k E absorption intrabande  « collisions » à 3 corps (absorption assistée par….) et Umklapp collision électron-électron (He-las et Hee) collision électron-phonon (He-las et He-ph) électron-défaut électron-surface (loi en 1/R)

Expérience ? s Temps de thermalisation électronique EF Le photon pompe (IR) excite sélectivement le gaz des électrons de conduction Sensibilité maximale lorsque s  ib EF Bande d s pompe s< ib  T/T négatif s> ib  T/T positif si Im[d(s)] domine

signal dominé par ib(s) interbande expérience simulation Thèse C. Voisin (2001), groupe de F. Vallée signal dominé par ib(s) interbande expérience simulation film d’argent EF Bande d photon pompe dans l’IR photon sonde au voisinage de ib4 eV reflète la thermalisation des électrons reflète la thermalisation électrons-ions Structure de bandes, au seuil, incluse

Corrélation croisée pompe-sonde Thèse C. Voisin (2001) Corrélation croisée pompe-sonde Film d’argent Texci=75 K s=3,96 eV échauffement global du film B<<A réponse électronique transfert vers les ions ee  350 fs ; e-ph  850 fs AgN (D  3,2 nm) dans Al2O3 sonde IR sonde en résonance Expérience : rapport  1,35 Théorie des liquides quantiques de Fermi Thèse A. Arbouet (2004)

e-ph ee Régime de forte perturbation AgN (D=9 nm); matrice de verre Th. C. Voisin ee e-ph film d’or s=2,5 eV Texci=15 K Texci=1300 K AgN (D=9 nm); matrice de verre pp=1,6 eV; s=3,2 eV  ee : augmentation du nombre d’états finals accessibles lors des processus de diffusion, réduction de l’effet de « blocage de Pauli »  e-ph : Ce(T) augmente  simulation en bon accord avec l’expérience  décroissance non exponentielle, la thermalisation se déroule sur une échelle de temps plus longue Th. A. Arbouet

observation de processus transitoires pp+ s > ib bande d E-EF (eV) pp s pp+ s > ib film d’argent Texci=18 K pp=1,45 eV s=2,9 eV Th. C. Voisin niveaux très excités : durée de vie très courte   (E-EF)-2 pic transitoire (s)  Tph(t)

Cas des nanoparticules : effets de taille finie, de surface film Lorsque R augmente les temps de relaxation mesurés « saturent » vers ceux mesurés pour les films (  25 nm d’épaisseur) film  métal massif ? Les courbes T/T et R/R sont similaires -qualitativement- à celles obtenues pour les films Temps mesurés indépendants de l’environnement Propriétés intrinsèques Décroissance des temps de relaxation lorsque la taille diminue Grosses tailles Mécanismes de relaxation similaires Effets perturbatifs ? Nouveaux processus ? Plus d’invariance par translation (surface, défauts) Modification des états électroniques Spectre de phonons modifié (modes de surface) Modification de l’écrantage Niveaux discrets , etc….. facteurs impliqués

Ag Au Cas des nanoparticules : effets de taille finie PRB 69, p. 195416 (2004) sonde au seuil interbande sonde < seuil interbande Th. C. Voisin Les temps de thermalisation électronique et électron-phonon diminuent lorsque la taille diminue

ee Cas des nanoparticules : effets de taille finie R=94 bohr Cas des nanoparticules : effets de taille finie PRB 69, p. 195416 (2004) ee dépendance approximative du taux de collision e-e importance de l’écrantage Modèle phénoménologique nécessité d’une modélisation plus approfondie taux de collision moyen  ee

e-ph interprétation non résolue à l’heure actuelle Cas des nanoparticules : effets de taille finie interprétation non résolue à l’heure actuelle e-ph problème complexe, même dans la phase massive Couplage avec les modes capillaires de surface ? g=gb+gcap(R) min=(2)1/2d ٱ Ag Au + Cu Th. A. Arbouet

Oscillations acoustiques des nanoparticules modes (théorie de Lamb; milieux continus, élastiques, homogènes) modes (k, l, m) (g=2m+1) l,k sphéroïdaux torsionnels modes Confinement  modification des phonons acoustiques de grande longueur d’onde Observation des modes radiaux isotropes (l=0) l=k=0 : mode « de respiration » AgN/verre D=26 nm contrôle de l’oscillation cohérente  harmonique k=1 observable efficacité de l’excitation

amortissement homogène et inhomogène (du à la distribution de tailles) Modes sphéroïdaux et torsionnels (théorie de Lamb; milieux continus, élastiques, homogènes) modes (k, l, m) (g=2m+1) pulsation (transfert d’énergie acoustique vers la matrice) amortissement homogène calcul amortissement homogène et inhomogène (du à la distribution de tailles)