AIDA Archives Le 17/12/2004 Vers des Familles de Situations d’Interaction Indexées par les compétences algébriques Brigitte Grugeon Lalina Coulange DIDIREM Paris 7 DIDIREM Paris 7 IUFM d’Amiens IUFM de Créteil Jean-Michel Gélis Françoise Chenevotot DIDIREM Paris 7 DIDIREM Paris 7 IUFM de Versailles IUFM d’Arras www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

AIDA Archives Le 17/12/2004 Axe apprentissage Objectif : Élaborer des situations d’apprentissage EIAH en algèbre Pour répondre aux difficultés / profils d’élèves dans PEPITE Envisager des parcours différenciés d’apprentissage Rappel des principaux objectifs de cette partie, rappeler qu’elle vient en réponse à une demande d’enseignants. www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

AIDA Archives Le 17/12/2004 Problématique Comment déterminer les situations d’apprentissage et les paramétrer pour les générer automatiquement, en vue de définir des parcours d’apprentissage différenciés, adaptés aux profils d’élèves en algèbre ? Comment l’articulation entre des résultats de recherche en didactique des mathématiques et en informatique permet-elle d’avancer dans cette recherche ? Demande des enseignants utilisant Pepite de pouvoir proposer des situations d’apprentissage adaptées en fonction des profils révélés par le diagnostic. www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Environnement interactif en algèbre AIDA Archives Le 17/12/2004 Environnement interactif en algèbre PEPITE PEPISTEREO Profils d’élève Enseignant Parcours d’apprentissage PEPITE fournit les profils construits par le logiciel voire modifés par l ’enseignant après le test [Delozanne et al 2002a]. Comment aider les enseignants à proposer des situations d’apprentissages adaptés à leurs élèves  ? À cet effet, nous définissons un environnement logiciel PEPISTEREO destiné au professeur, qui a pour objectif, d’afficher les profils d’élèves, de faire des groupes d’élèves en fonction de leur stéréotype puis de proposer des pistes d’apprentissage adaptées au profil de l’élève. Un profil d’élève étant connu (Cf. la communication sur le projet pépite dans ce volume), notre travail vise à fournir une liste de compétences algébriques à travailler,et leur niveau de priorité et pour chacune d’entre elles, un ensemble de situations adaptées parmi lesquels l’enseignant peut choisir et organiser l’apprentissage de l’élève. Ces situations peuvent être proposées, soit dans l’environnement habituel papier-crayon, soit impliquer d’autres logiciels, soit mettre en jeu un nouvel environnement informatique ENVIDAP. Situations p/c ou logicielles Elève AILE AMICO CIME APLUSIX …. www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Le domaine de l’algèbre élémentaire AIDA Archives Le 17/12/2004 Le domaine de l’algèbre élémentaire dimension objet Objets de l’algèbre : expressions, formules, équations Systèmes de représentation de ces objets, en particulier, le système de représentation symbolique algébrique en articulation avec d’autres systèmes de représentation dimension outil, selon les champs de problèmes Outil de résolution via leur modélisation pour des problèmes arithmétiques formulés en langue naturelle sous forme d’équations et au-delà, pour des problèmes intra ou extra mathématiques sous forme de relations fonctionnelles entre données et variables Outil de généralisation et de preuve dans le cadre numérique Outil de calcul dans les cadres algébrique et fonctionnel Modèle de la compétence algébrique à ce niveau scolaire Le modèle de la compétence algébrique conçu à ce niveau scolaire repose sur une vision de l’algèbre et de sa transposition didactique. Ce champ conceptuel est approché à la fois dans sa dimension objet, incluant les objets de l’algèbre : expressions, formules, équations, et les systèmes de représentation de ces objets, en particulier, Et le système de représentation symbolique algébrique en articulation avec d’autres systèmes de représentation, et dans sa dimension outil avec diverses fonctionnalités selon les champs de problèmes abordés, en particulier, comme outil de résolution via leur modélisation pour : des problèmes arithmétiques formulés en langue naturelle sous forme d’équations mais au-delà des problèmes intra ou extra mathématiques sous forme de relations fonctionnelles entre données et variables mais aussi, comme outil de généralisation et de preuve dans le cadre numérique, comme outil de transformation dans le cadre numérique et fonctionnel. Nous avons donc défini un modèle de la compétence algébrique à ce niveau scolaire pour mettre en relation rapports institutionnel et personnel dans la transition entre deux institutions. www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Dimensions du savoir algébrique AIDA Archives Le 17/12/2004 Dimensions du savoir algébrique Dimension objet Dimension outil Généralisation/ preuve Calcul algébrique Modélisation fonctionnelle Expressions Equations ... Modélisation équationnelle Arithmétique Géométrique … Ce modèle sert de référence sur le savoir algébrique à enseigner au niveau secondaire : il permet de distinguer et de caractériser des objectifs d’apprentissage auxquels se rattacheront les situations d’apprentissage envisagées. Ainsi chacune des situations d’apprentissage sera associée à une ou plusieurs feuilles de la représentation arborescente schématisée ici. www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Famille de situations d’apprentissage en algèbre élémentaire AIDA Archives Le 17/12/2004 Famille de situations d’apprentissage en algèbre élémentaire Point de vue EIAH Point de vue didactique Découpage multidimensionnel du savoir algébrique (Grugeon et al. 2003) Problème (ou tâche) fondamental(e) Variables didactiques : expressions algébriques, problèmes arithmétiques (Bardini 2003, Brousseau 1982, Coulange 2001) Réponses a didactiques du système aux actions d’élèves (Brousseau 1986) Dans ce but, nous reprenons les travaux de Delozanne et Dubourg, qui avaient défini la notion de situation d ’interaction. il nous paraît nécessaire de faire évoluer cette définition vers celle de famille de situations d’interaction, pour les paramétrer et les générer automatiquement, en vue de définir des parcours pédagogiques différenciés, adaptés aux profils d’élèves en algèbre. Il s’agit d’identifier les objets de la situation d’interaction sur lesquels portent les paramètres pertinents à faire varier pour un objectif d’apprentissage relatif à des contenus mathématiques identifiés. Les paramètres en jeu concernent tant la tâche, que les actions et stratégies du système, d’où découleront en partie les actions et stratégies de l’élève Dubourg envisageait des paramètres liés aux tâches et aux interactions (système-élève) et parlait déjà de familles de situations d’interaction, mais sans avoir les moyens théoriques d’en orienter la définition et l’usage vers un objectif d’apprentissage défini a priori. Pour ceci, nous nous appuyons sur des travaux en didactique des mathématiques pour délimiter et de caractériser des situations d’interaction adéquates. Nous partons des concepts de la théorie des situations didactiques, dans leurs développements les plus récents ([Brousseau 1986], [Perrin Glorian 1999], [Coulange 2001]). Ces outils nous permettent d’associer la définition de tâches, d’interactions, et de paramètres aux objets de savoir algébrique en jeu. Tâche et interactions sont englobées dans le concept même de situation didactique et la notion de variable didactique modélise les paramètres pertinents sur lesquels jouer, relativement à ces objets de savoir. Nous serons également en mesure de déterminer les situations d’apprentissages adaptées à des fonctionnements cognitifs d’élèves en algèbre. (Delozanne et Dubourg 1995, Grugeon et al. 2003) www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Un exemple : Bouchons les trous AIDA Archives Le 17/12/2004 www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

« Bouchons les trous » (René de Cotret) AIDA Archives Le 17/12/2004 « Bouchons les trous » (René de Cotret) Relativement à la mise en équation de problèmes écrits, nous nous sommes appuyées sur un environnement informatique déjà existant, nommé « Bouchons les trous », conçu à partir d’une idée originale de René de Cotret ([Lemoyne et al. 2002]). L’interface figurant ci-dessous (figure 7) illustre en quoi consiste la tâche « Bouchons … ». Pour l’élève. Il s’agit soit de compléter le libellé d’un problème lacunaire à partir d’une ou plusieurs équations associées fournies, soit de compléter une équation lacunaire à partir d’un libellé de problème www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Famille de situations :« Bouchons les trous » AIDA Archives Le 17/12/2004 Famille de situations :« Bouchons les trous » Objectif d’apprentissage : Mettre en équation des problèmes Tâche : Compléter le libellé d’un problème à partir d’une ou plusieurs équations données ou l’inverse Paramètres Tâches Interactions (système-élève) associées www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Paramètres Paramètres : AIDA Archives Le 17/12/2004 Paramètres Paramètres : liés aux variables didactiques relatives à l’énoncé via le canevas Nature du problème donné : relations numériques en jeu dans le problème, forme écrite plus ou moins congruente avec les équations. Les équations données : nombre d’équations et d’inconnues, équations de forme plus ou moins congruente avec l’énoncé Le (ou les) trou(s) : nombre de trous, au sein du problème ou de l’équation, contenu du trou (opérateurs, données numériques, etc.)… liés aux variables relatives actions et stratégies du système type de suivi, rétroactions logicielles ( analyse a priori) outils mis à disposition (palette de mots ou de chiffres, feuille de calcul,..) www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Problèmes de type rapport et différence générés automatiquement AIDA Archives Le 17/12/2004 Prototype CIME : Problèmes de type rapport et différence générés automatiquement Les analyses didactiques et EIAH, évoquées ci dessus, nous ont conduit à la rédaction d’un cahier des charges permettant la réalisation d’un prototype CIME relativement à un type de problème arithmétique donné (avec une structure « partage en deux parties inégales connaissant leur rapport et différence »). Ce cahier des charges (joint en annexe) a pu être directement exploité par un intervenant extérieur (Cyrille Lefranc) et le prototype en question est actuellement en phase finale de réalisation. C. Lefranc a ainsi pu développer un programme (JAVA), permettant de générer automatiquement des ensembles d’énoncés (type « rapport-différence ») écrits en langage naturel (avec des habillages concrets divers, dans des contextes dits de mesure et de collection) et les équations associables à ces énoncés. Les deux copies d’écran ci-dessous illustrent le travail réalisé. Ce programme (qui pourra également nourrir l’implémentation de familles de situations plus classiques autour de la mise en équation) a servi de base pour générer automatiquement des tâches type CIME (avec des énoncés en langage naturel et des énoncés algébriques « à trous »), et l’interaction système-élève associée. www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Complète l’énoncé, en étudiant les équations AIDA Archives Le 17/12/2004 Énoncé Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de Pierre. Or Marie en a que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? Équations x = 4 y x - y = 36 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Complète l’énoncé, en étudiant les équations fois moins de plus Continuer www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

x désigne le nombre de billes de y désigne le nombre de billes de AIDA Archives Le 17/12/2004 Énoncé Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de Pierre. Or Marie en a que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? 4 fois plus 36 de moins Équations x = 4 y x - y = 36 x désigne le nombre de billes de y désigne le nombre de billes de Marie Marie Pierre Pierre Revenir à l’énoncé Continuer www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

l’énoncé : se ramène à : Énoncé AIDA Archives Le 17/12/2004 Énoncé Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de Pierre. Or Marie en a que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? 4 fois plus 36 de moins Équations x = 4 y x - y = 36 Avec : x désigne le nombre de billes de Marie et y désigne le nombre de billes de Pierre l’énoncé : Il y a quatre fois plus de billes dans le sac de Marie que dans celui de Pierre. Or Marie en a 36 de moins que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? se ramène à : x = 4 y y -x = 36 Revenir à l’énoncé www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Complète l’énoncé, en étudiant les équations AIDA Archives Énoncé Le 17/12/2004 Il y a de billes dans le sac de Marie que dans celui de Pierre. Or Marie en a que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? Équations x = 4 y x - y = 36 x désigne le nombre de billes de Marie et y désigne le nombre de billes de Pierre 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Complète l’énoncé, en étudiant les équations fois moins de plus Continuer www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Génération d’une famille de situations « Bouchons les trous » AIDA Archives Génération d’une famille de situations « Bouchons les trous » Le 17/12/2004 Formulation en langage naturel d’un problème rapport et différence N fois plus N fois moins P de plus P de moins x = Ny ou x = 1/N y x = y + P ou x = y - P variables didactiques : relations (implicites-explicites : congruence sémantique), équations initiales, équations données, trou(s) Génération de situations et d’interactions, liées aux valeurs des variables didactiques www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Réponse 1er trou et 2e trou Réponse 1er trou et 2e trou AIDA Archives Le 17/12/2004 Énoncé type : Il y a _____ de billes dans le sac de Marie que dans le sac de Pierre. Or Marie en a ______ que Pierre. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? x = 2y x = y + 36 Réponse 1er trou et 2e trou Fois, plus, moins, de, Chiffres Exacte Fausse pour 1er trou Fausse pour 2e trou Fausse pour 1er et 2e trou x désigne… y désigne… Nombre de billes de Marie Nombre de billes de Pierre Contradiction désignation des inconnues réponse fausse 1er/2e trou et système d’équations énoncé correspondant Réponse 1er trou et 2e trou www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Profil et situations d’interaction adaptées AIDA Archives Le 17/12/2004 Profil et situations d’interaction adaptées Une étude de cas www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Une nouvelle modélisation cognitive AIDA Archives Le 17/12/2004 Une nouvelle modélisation cognitive Ancien Pépite : Profil individuel complexe Description quantitative : traitements maîtrisés Description qualitative sur 6 composantes Diagramme de flexibilité entre registre Restructuration des profils : Un Profil = Un stéréotype + Des caractéristiques personnelles leviers fragilités liste des erreurs Pouvoir proposer à partir du diagnostic de Pepite des situations d’apprentissage adaptées en fonction des profils révélés par le diagnostic. La nouvelle modélisation cognitive des profils va permettre de penser l’organisation des parcours d’apprentissage www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Une élève : Blandine Stéréotype Leviers Fragilités AIDA Archives Le 17/12/2004 Une élève : Blandine Stéréotype Outil algébrique peu mobilisé et faiblement maîtrisé (9%) Traduction partiellement maîtrisée (55%) Calculs insuffisamment réalisés et parfois non opératoires (37%) Leviers Interprétation disponible dans le cadre algébrique (55%) Capacités à passer du langage naturel à l’écriture algébrique Fragilités Erreurs de parenthésage, Usage incorrect des opérateurs (linéarisation et assemblage des termes) Stratégie pour déterminer les situations d’apprentissage A partir du stéréotype  Travailler en priorité la dimension outil (modélisation équationnelle ou fonctionnelle) Caractéristiques propres de l’élève  choix de situations d’interaction Une stratégie pour déterminer les situations d’apprentissage susceptibles de faire évoluer les compétences de l’élève s’organise autour de deux étapes : - l’appartenance à une classe de profils permet de déterminer la compétence à travailler avec un fort niveau de priorité, c’est-à-dire l’objectif d’apprentissage à privilégier, - pour un objectif d’apprentissage donné, les caractéristiques propres du profil de l’élève, c’est-à-dire, les cohérences de fonctionnement mises en évidence par le diagnostic, d’une part, les leviers sur lesquels il est possible de s’appuyer d’autre part, permettent de déterminer parmi toutes les situations d’interaction de la famille, celles à travailler, en précisant les valeurs pertinentes des variables didactiques en jeu. Nous présentons ici quelques premiers axes de travail qui vont permettre de corréler profils et situations d’apprentissage. La composante OA, qui qualifie la compétence de l’élève sur le plan de l’utilisation de l’outil algébrique, nous paraît être déterminante. Le niveau de cette composante témoigne en effet de l’entrée de l’élève dans la pensée algébrique et il est légitime d’en faire étroitement dépendre les situations d’apprentissage qui seront proposées à l’élève. Un élève qui ne maîtrise pas l’algèbre en tant qu’outil se verra proposer des situations qui visent prioritairement cette compétence essentielle ou bien une situation relative à l’articulation entre les registres et cadres nécessaire à la fonctionnalité de l’outil algébrique. Dans le cas contraire, cette compétence servira de levier pour renforcer d’autres aspects de la compétence algébrique. La présentation qui suit est donc organisée via la composante OA (outil algébrique) de la classe de profils. Un élève appartenant à une classe de profil mettant en jeu la composante OA4 mobilise encore des démarches et des justifications numériques. Il s’agit donc de déstabiliser cette conception de la preuve par l’exemple en lui proposant des situations qui montrent l’insuffisance du numérique et l’amènent à penser la nécessité de généralisation dans le cadre algébrique. S’il a une maîtrise acceptable des techniques opératoires (présence de TM2 dans sa classe de profils), les situations d’apprentissage proposées mettront en jeu des tâches relatives aux preuves et généralisations (telles que l’exercice dit du « prestidigitateur » dans une version simplifiée). S’il ne maîtrise pas les techniques opératoires (TM3 dans sa classe de profil), des tâches proposées peuvent être des tâches d’interprétation d’expressions algébriques, éventuellement exprimées dans différents cadres. Par exemple, la détermination, dans une liste d’égalités d’expressions, de celles qui sont fausses, est une activité susceptible de faire travailler l’élève sur la notion de contre-exemple. Une seconde activité peut proposer d’identifier les égalités vraies et conduire l’élève à prouver en s’appuyant sur le calcul algébrique. Dans les 2 cas, des tâches de calcul algébrique lui seront également proposées. Les situations données tiendront compte des caractéristiques précises de l’élève et permettront de déstabiliser voire de reconstruire les règles de formation (par exemple règle de concaténation) et de transformations incorrectes qui auront été repérées. www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Situations adaptées à Blandine (1) AIDA Archives Le 17/12/2004 Appartenance à un stéréotype : faible maîtrise de l’outil algébrique Généralisation/ preuve Calcul algébrique Modélisation fonctionnelle Expressions Equations ... Modélisation équationnelle Arithmétique Géométrique… … Caractéristiques personnelles de l’élève Le test diagnostic a permis d’identifier les principaux traits de fonctionnement significatifs d’élèves de profils proches dont Blandine est une représentante. Ils ont le même stéréotype. Les réponses des élèves et de Blandine révèlent d’abord une faible maîtrise globale des outils algébriques. Nous privilégierons donc des activités dans la dimension outil de l’algèbre. De par ses fragilités dans la dimension objet, nous faisons l’hypothèse qu’une situation d’interaction type CIME peut s’avérer pertinente. En effet, il s’agit de proposer à cette élève, de compléter interactivement une mise en équation lui permettant de progresser dans l’acquisition de cette compétence. De plus de par sa position que l’on pourrait qualifier de fausse débutante en mise en équation de problèmes, ce travail de mise en équation inhabituelle par rapport à celles qu’elle semble déjà avoir rencontrées peut renouveler pour elle l’intérêt de l’étude. Mise en équation de problèmes type “partage en parties inégales” www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Situations adaptées à Blandine (2) AIDA Archives Le 17/12/2004 Caractéristiques personnelles de l’élève Situations de type « Bouchons les trous » Réussites Langage Algébrique  Trou dans l’équation Erreurs liées aux opérateurs Réussites Langage Algébrique  Deux problèmes : somme et rapport La donnée des caractéristiques propres du profil de Blandine nous conduit ainsi à attribuer des valeurs aux variables de la famille CIME, et à caractériser les situations d’interaction que l’on pourrait lui proposer dans ce contexte. Pour la tâche concernée de CIME, il s’agit d’abord de choisir la position des « trous » soit dans l’équation soit dans le système d’équations. Ici, pour exploiter dans un premier temps une des forces repérées de Blandine sur le sens privilégié de traduction (langage naturel vers algèbre), nous situons les « trous », côté équation et non côté énoncé du problème. En ce qui concerne la structure des problèmes, nous retenons pour la première situation d’interaction, des problèmes du premier degré, de structure simple (type « somme et rapport »[1]) et une forme écrite de l’énoncé congruente aux équations données. Par exemple : [1] Dans l’énoncé, sont donnés : le rapport entre deux grandeurs inconnues, ainsi que leur somme (tout comme plus haut, étaient donnés le rapport et la différence). Mise en équation et résolution de problèmes somme et rapport… www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Complète l’équation, en étudiant l’énoncé AIDA Archives Le 17/12/2004 Énoncé Marie a huit fois plus de billes que Pierre. Marie et Pierre ont 72 billes ensemble. Combien chaque enfant a-t-il de billes ? Équations x = x + y = 72 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Complète l’équation, en étudiant l’énoncé  + x y / - ( ) Continuer www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Complète l’équation, en étudiant l’énoncé AIDA Archives Le 17/12/2004 Énoncé Le premier tas contient quatre fois plus de cailloux que le deuxième tas. Le troisième tas a six cailloux de plus que le deuxième tas. Les trois tas contiennent ensemble 60 cailloux. Combien y a-t-il de cailloux dans chaque tas? Équations x = 42 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Complète l’équation, en étudiant l’énoncé  + x y / - ( ) Continuer www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA

Complète l’équation, en étudiant l’énoncé AIDA Archives Le 17/12/2004 Énoncé Il y a deux tas de cailloux. Le premier tas contient six fois plus de cailloux que le deuxième tas. Les deux tas réunis contiennent 42 cailloux. Combien y a-t-il de cailloux dans chaque tas? Équations x = 42 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Complète l’équation, en étudiant l’énoncé  + x y / - ( ) Continuer www.math-info.univ-paris5.fr/AIDA