Stabilité des systèmes linéaires continus Définition 1 : un système est stable, si une faible perturbation l'écarte faiblement de sa position d'équilibre: Définition 2 : Un système est stable si, abandonné dans un état quelconque, il atteint son état d'équilibre en un temps raisonnable. A l'inverse, un système est instable si, abandonné dans un état quelconque, il s'éloigne de l'équilibre linéairement, exponentiellement ou par oscillations d'amplitude croissante Définition 3 : un signal est stable si l’application d’un signal t »’entrée bornée produit un signal de sortie bornée. Définition 4 : Un système est asymptotiquement stable, si après une perturbation il revient à sa position d'équilibre:

Stabilité des systèmes linéaires continus La stabilité la plus intéressante pour l'automaticien est celle d'un système en boucle fermée.  On considère la structure générale d’un système asservi : L'analyse de stabilité décrite ici s'applique à un système en boucle fermée dont on connaît la fonction de transfert en boucle ouverte. S'agissant d'un système linéaire, la fonction de transfert en boucle ouverte peut être écrite sous forme de quotient de polynômes multiplié par un paramètre Ko variable.

Stabilité des systèmes linéaires continus FTBF : Réponse libre d'un système d'ordre n = réponse impulsionnelle TL inverse Conclusion Mathématiquement, on définit la stabilité d'un système par la position de ses pôles: Est stable un système qui n'admet aucun pôle à partie réelle positive.

  Pôles Lieu des racines Réponse libre Propriété tous réels négatifs stabilité asymptotique complexes à partie réelle négative un seul pôle nul marginale une seule paire imaginaire Stabilité en fonction de la position des pôles du système en boucle fermée

Au moins une paire complexe à   Stabilité en fonction de la position des pôles du système en boucle fermée Pôles Lieu des racines Réponse libre Propriété Au moins un réel positif instabilité Au moins une paire complexe à partie réelle positive   pôles nuls multiples paires imaginaires multiples  

Étude de la stabilité des systèmes asservis En général, Les critères qui permettent d'évaluer la stabilité d'un système asservi portent soit sur la réponse harmonique en boucle ouverte Go(s) (critère géométrique), soit sur le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée Df(s) (critère algébrique).

CRITÈRES ALGÉBRIQUES 1-Critère de Routh On considère le polynôme dénominateur du système en boucle fermée : Df(s)=ansn+an-1sn-1+….+ a1s+a0 Tableau de Routh (n lignes et (n+1)/2 colonnes) n an an-2 an-4 ….. n-1 an-1 an-3 an-5 …. n-2 b1 b2 b3 n-3 c1 c2 c3  

CRITÈRES ALGÉBRIQUES Critère de routh : Si tous les termes de la première colonne du tableau de Routh sont strictement positifs, les pôles sont à partie réelle négative, le système étudié est stable. S'il y a k changements de signe dans la première colonne, k pôles ont une partie réelle positive, le système étudié est instable. Si tous les termes d'une ligne sont nuls, le système étudié est en limite de stabilité.

CRITÈRES DE ROUTH 3 1 12 2 6 8 64/6 3 2 4 12 1 -2 Exemples Df1(s)= s3+6s2+12s+8 Df2(s)= 2s3+4s2+4s+12 3 1 12 2 6 8 64/6 3 2 4 12 1 -2 Pas de changement de signe 2 changements de signe Système stable Système instable

Application au système asservi K - + u C y 4 5 4.7 K 3 0.5 4K-1 2 14.7-40K 1

Conditions jusqu’à l’ordre 4 CRITÈRES ALGÉBRIQUES Conditions jusqu’à l’ordre 4 Ordre n du système Première condition Deuxième condition 1 a0 , a1>0   2 a0 , a1 , a2>0 3 a0 , a1 , a2, a3>0 (a1a2-a0a3)>0 4 a0 , a1 , a2, a3, a4>0 (a3a2-a4a1)>0 a1(a3a2-a1a4)-a0a32>0

CRITÈRES ALGÉBRIQUES 2-Critère de Hurwitz Construction de la matrice carrée de dimension n : Elle contient les coefficients du polynôme dès le deuxième, en ordre décroissant disposés dans la diagonale principale. Dans une colonne, les termes supérieurs au terme de la diagonale contiennent les coefficients suivants du polynôme en ordre décroissant. Les termes inférieurs à la diagonale contiennent les coefficients suivants du polynôme en ordre croissant. Le système linéaire d'ordre n est stable si les n déterminants contenant le premier terme de la matrice de Hurwitz sont positifs. Si on calcule explicitement les déterminants jusqu'à l'ordre 4, on retrouve les conditions dans le tableau précédent Remarque : On constate que ces deux critères ne donnent qu'une réponse binaire: stable ou instable, mais ne permettent pas d’apprécier s’il est plus ou moins proche de l’instabilité (pas d'information sur la qualité ou le degré de la stabilité).

CRITÈRES HURWITZ Exemples : Df1(s)= s3+6s2+12s+8 Df2(s)= 2s3+4s2+4s+12

CRITÈRES GEOMETRIQUES Critère de Nyquist Le critère de Nyquist résulte de l’application du théorème de Cauchy à l’analyse de stabilité d’une BO.   Théorème Le nombre Z de zéros instable du dénominateur de 1+Go(s) de la FTBF d’un processus asservi est égal au nombre P de pôles instable de la FTBO Go(s) diminué du nombre de tour N du diagramme de nyquist autour de (-1,0). Z=P-N Si P=N : le système en boucle fermée est stable, dans le cas contraire le système est instable +

CRITÈRES GEOMETRIQUES Exemples :   Système stable Système instable

CRITÈRES GEOMETRIQUES Critère de Revers Si le système en BO est à déphasage minimal c’est à dire sans pôles ni zéros à partie réelle positive. Le système en BF est stable si, en parcourant le lieu de Nyquist dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point «(–1,0)» à gauche. Le système est instable si le point (-1,0) reste à droite et juste oscillant si on est sur le point (-1,0).

CRITÈRES REVERS Exemple

CRITÈRE de REVERS Plan de black (–1,0) est équivalent (–180°,0dB) Un système linéaire de FTBF Gf(s) est stable si, en parcourant le lieu de Black de sa réponse harmonique en BO Go(s) dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique (–180°; 0 dB )à droite.

CRITÈRE de REVERS Exemple

CRITÈRE de REVERS Plan de Bode Un système asservi est stable si la courbe du module de sa réponse harmonique en BO |GO(j w)| coupe l'axe de module unité pour une phase arg(GO(j w)) supérieure à –180°. Un système asservi est stable si la courbe du module de sa réponse harmonique en BO coupe l’axe de module unité avec une pente supérieure à –2.

CRITÈRE de REVERS Exemple

Marge de gain & marge de phase La marge de gain permet d'indiquer la qualité de la stabilité en exprimant la distance « sur l'axe réel » par rapport au point critique –1. L'intersection de la réponse harmonique avec l'axe réel a lieu pour une pulsation notée w-p, car la phase pour cette pulsation vaut -p avec Marge de phase La marge de phase permet d'indiquer la qualité de la stabilité en exprimant la distance – angulaire – par rapport au point critique –1. L'intersection de la réponse harmonique avec le cercle unité a lieu pour une pulsation notée w1, car le module pour cette pulsation vaut 1.avec avec

Marge de gain & marge de phase 1/Am jm

Marge de gain & marge de phase Mj Mg

Marge de gain & marge de phase

Exemples K=1 - + u C y 2e cas : 1e cas :

Exemples

Exemples

Critère de Nyquist : Exemple K - + u C