MathSV Licence ST – Biologie Mathématiques pour les Sciences de la Vie Sandrine CHARLES - Dominique MOUCHIROUD Bât. G. Mendel - 1er étage MathSV scharles@biomserv.univ-lyon1.fr

Pourquoi des Mathématiques en Sciences de la Vie ? Analyser et comprendre des phénomènes biologiques simples S’interroger (comprendre le problème - se poser des questions) Formaliser (mettre en équation - mathématiser) Analyser (étudier des fonctions, faire des simulations) Décrire (utiliser des probabilités - statistiques) Interpréter (revenir au problème biologique initial) Acquisition théorique puis pratique d’outils méthodologiques

Objectifs pédagogiques Acquérir des connaissances Revoir ou découvrir des outils mathématiques de base Acquérir des compétences Choisir les outils adaptés à la question biologique, interpréter les résultats Apprendre avec des outils multi-media interactifs Autonomie Auto-évaluation Dialogue enseignants / étudiants

Organisation du semestre Section 33 17/09/04 20/09/02 CC CC CC CC CC E E ANALYSE PROBABILITES - STATISTIQUES Cours magistraux CM Travaux Dirigés TD Travaux Tutorés TT ET janvier 2005

Plan du cours (CM) http://mathsv.univ-lyon1.fr/ 17/09 Étude de fonctions 20/09 Fonctions usuelles 24/09 Intégration 27/09 Équations différentielles – 1 01/10 Équations différentielles – 2 04/10 Questions - Réponses http://mathsv.univ-lyon1.fr/

Variabilité / Déterminisme Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’un phénomène biologique ?

Variabilité / Déterminisme Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’un phénomène biologique ?

Étude de fonction Modéliser le phénomène par une fonction Déterminer les propriétés de la fonction Interpréter en termes biologiques

Sur MathSV http://mathsv.univ-lyon1.fr/ Trois chapitres : Fonctions – Généralités Limites – Continuité Dérivation – Étude de fonctions

Définition d’une fonction Application d’une partie de IR dans IR qui à un point x de IR fait correspondre un point UNIQUE y = f(x) dans IR. x : le temps (t), la température (T), le pH, … f : un nombre d’organismes (N), un poids (p), une concentration (C), une intensité (I), …

A. Domaine de définition Définitions : Df = Domaine de définition  Ensemble de départ (ensemble des antécédents) = l’ensemble des x f (Df ) = Ensemble d’arrivée (ou ensemble des images) = l’ensemble des y f

Plan d’étude d’une fonction Df Symétrie Points particuliers Limites - Continuité Variations : Concavité : Asymptotes Graphe

B. Symétrie : paire ou impaire ? Définitions : On dit que f est paire si f(-x)=f(x) symétrie / axe y exemple f(x)=x 2 On dit que f est impaire si f(-x)=-f(x) symétrie / (0,0) exemple f(x)=x 3 -x x

C. Points particuliers x = 0 alors f (x) = ? f (x) = 0 alors x = ?

D. Limites - Continuité Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. Cauchy, 1821

Opérations sur les limites Formes indéterminées

D. Limites - Continuité Une fonction est continue en un point x0 si la limite en ce point existe : « Une fonction est continue si on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon » Continue en (0,0) Pas continue en (0,0)

Théorème des valeurs intermédiaires Soit f continue sur [a;b]

E. Variations : dérivée La dérivée de f en x0 est la variation de f (x) lorsque x s’approche de x0 Notation :

E. Variations : dérivée f(x) = x2 Dérivable en tout point f(x) = |x | Continue en 0 Non dérivable en 0

E. Variations : dérivée L’équation de la tangente

E. Variations : dérivée Propriétés : f est constante sur [a,b] si la dérivée est nulle sur [a,b] f est croissante sur [a,b] si la dérivée est positive sur [a,b] f est décroissante sur [a,b] si la dérivée est négative sur [a,b] f admet un extremum en x si la dérivée s’annule en x

F. Convexité : f ”(x) Définitions : 1. f est convexe sur un intervalle si sa dérivée seconde est positive (le graphe de f est courbé vers le haut)

F. Concavité : f ”(x) Définitions : 2. f est concave sur un intervalle si sa dérivée seconde est négative (le graphe de f est courbé vers le bas)

F. Point d’inflexion : f ”(x) Définitions : 3. f a un point d’inflexion si la dérivée seconde s’annule ET change de signe en ce point.

Tableau de variation Construire le tableau à partir du signe de la dérivée. Compléter ce tableau en cherchant les limites de f aux bornes des intervalles, et lorsque x tend vers plus ou moins l’infini. 1 10 5 3 x f ’(x) f (x) + _

G. Asymptotes Si il y a une asymptote verticale passant par x = x0 Si il y a une asymptote horizontale passant par y = l Si il y a une asymptote oblique d’équation y = ax+b Si , alors

G. Asymptotes Si la courbe de f s’approche infiniment près d’une droite, celle-ci s’appelle une asymptote : Asymptote verticale Asymptote oblique

H. Graphe

Exemple biologique i0 est appelé la Rhéobase Chronotaxie : temps de passage nécessaire pour qu’un courant électrique d’intensité excite le tissu 

Prochain RDV Lundi 20 septembre 16h

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Tableau de bord

Questionnement : résultats personnalisés

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