Rappels sur les fonctions et les suites aléatoires

Définition Fonction aléatoire = processus stochastique continu Suite aléatoire = processus stochastique discret Application qui associe à chaque instant t d’un ensemble une variable (ou un vecteur) aléatoire processus stochastique continu : t prend un continuum de valeurs Processus stochastique discret : Modélisation de grandeurs pour lesquelles impossible de prédire une valeur exacte à un instant futur.

Fonction de distribution et densité de probabilité Distribution ou fonction de répartition (Cumulative distribution function)

Moments d’un processus stochastique Espérance mathématique Fonction d’autocorrélation Covariance (moment d’ordre 2) Covariance mutuelle

Moments d’un processus stochastique Variance Formule de Koenig Cas scalaire et application à la variance

Processus stochastique Gaussien Cas scalaire Cas vectoriel

Processus stationnaire au sens strict Processus faiblement stationnaire E(x(t)) indépendante de t, variance indépendante de t Stationnaire au sens strict Faiblement stationnaire Inverse pas vérifié sauf pour processus Gaussien

Processus stationnaire Propriétés pour un processus stochastique scalaire

Processus faiblement stationnaire ergodique Moyennes d’ensemble = Moyennes temporelles

Densité spectrale (de la variance) (Spectral density or power spectrum) Transformée de Fourier de la fonction de covariance Cas d’un processus aléatoire discret Origine du terme densité spectrale de la variance

Bruit blanc et suite blanche aléatoires Bruit blanc scalaire (vectoriel) continu processus stochastique continu faiblement stationnaire tel que Densité spectrale ( de la variance)

Bruit blanc et suite blanche aléatoires Suite blanche aléatoire scalaire (vectorielle) Suite aléatoire faiblement stationnaire de covariance

Réponse d’un système linéaire permanent à une sollicitation aléatoire(1) Système décrit en variables d’état par Fonctions de transfert

Réponse d’un système linéaire permanent à une sollicitation aléatoire (2) Densités spectrales de x et y en régime stationnaire Moyenne (espérance mathématique) de x et y en régime stationnaire

Réponse d’un système linéaire permanent à une sollicitation aléatoire(3) Sollicitation par des suites blanches de moyenne nulle et de variance respective

Réponse d’un système linéaire permanent à une sollicitation aléatoire(4) Variance en régime stationnaire

Génération d’un bruit coloré(1) Engendrer une suite aléatoire dont la densité spectrale de la variance est une fraction rationnelle donnée (cas scalaire) Système stable H(z) Suite aléatoire blanche Suite aléatoire colorée

Génération d’un bruit coloré(2) Densité spectrale de la variance en régime stationnaire Entrée w = suite blanche aléatoire de variance 1

Génération d’un bruit coloré(3) Im z 1 Re z

Génération d’un bruit coloré(4) Agencement des pôles possède symétrie identique

Variable aléatoire de distribution chi2 Ensemble de d variables aléatoires indépendantes de distribution normale de moyenne nulle et de variance unitaire N d degrés de liberté Paramètre de non centralité: