La proportionnalité Au cycle 3

Une grandeur est identifiée comme un ensemble d’objets de même nature. Définitions Une situation de proportionnalité se traduit par l’intervention de relations linéaires ou multilinéaires entre des variables qui représentent soit des grandeurs (dans le cas d’une situation physique), soit des nombres (dans le cas d’une situation mathématique) Une grandeur est identifiée comme un ensemble d’objets de même nature. On choisit une unité pour chaque grandeur. Toute relation entre des grandeurs se traduit, une fois les unités choisies, en une relation entre nombres qui mesurent les grandeurs.

Définition d’une situation de proportionnalité Deux suites de nombres réels (ayant le même nombre de termes) sont proportionnelles si on peut passer de chaque terme de la première suite au terme correspondant de la deuxième par un même opérateur multiplicatif.

Du côté des Instructions Officielles La proportionnalité n’apparaît explicitement que dans les programmes de cycle 3, mais elle intervient dés le cycle 2: par exemple, pour construire les premières tables de multiplication. Exploitation de données: L’élève doit être capable de: « résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant des raisonnements personnels appropriés (dont des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d’unités). »

Au cycle 3, il s’agit donc… Non pas d'enseigner la proportionnalité, mais de Résoudre des problèmes, en utilisant des procédures "contextualisées" qui s'appuient implicitement : sur les propriétés de linéarité sur le passage par l'image de l'unité sur le coefficient, lorsqu'il a une signification pour les élèves Dans des situations comme les : Problèmes concrets, Pourcentage, échelle et vitesse

Transposition didactique. En terme de transposition didactique, la proportionnalité est un exemple significatif de la construction sociale du savoir. La proportionnalité est d'abord l'approche élémentaire de la linéarité. L'idée est même d'utiliser nos démarches naturellement linéaires dans certaines situations pour mettre en évidence ce phénomène et l'objectiver : on transforme des "procédures en acte" assurées, un outil naturel inductif en quelque sorte, né de l'expertise personnelle de la multiplication en un objet d'étude en soi.

Des exemples de situations: « Il est important que soient proposées aussi bien des situations qui relèvent de la proportionnalité que des situations qui n’en relèvent pas » Des exemples de situations: Recettes, relation entre quantité de liquide et hauteur atteinte dans un verre cylindrique, placement de nombres sur une droite graduée, …

Typologie des situations de proportionnalité Les situations peuvent mettre en jeu: Une relation entre deux grandeurs de même nature (mélanges, agrandissement/réduction de figures, …) Une relation entre deux grandeurs de natures différentes (vitesse, …) « Dans tous les cas, on s’appuiera sur des situations concrètes: par exemple, sur des expériences en lien avec le programme de sciences.»

Types de tâches La résolution de problème relevant de la proportionnalité se traduit par deux types de tâches: Reconnaître une situation de proportionnalité Traiter une situation de proportionnalité

Méthodes et procédures Reconnaître une situation de proportionnalité L’élève peut faire appel à des connaissances sociales (ex pour la relation entre quantité et prix à payer), avoir recours à une expérience effective. Traiter une situation de proportionnalité Ce sont les propriétés de linéarité qui sont le plus souvent utilisées. On trouve également le passage à l’unité Ou le coefficient de proportionnalité

Différents cadres Cadre des grandeurs : recette de cuisine, vitesse, Cadre numérique : on peut y mettre les pourcentages, les conversions Cadre géométrique: puzzle (agrandissement / réduction donc échelle)

Rappel de quelques propriétés Propriété de linéarité additive Propriété de linéarité multiplicative Utilisation du coefficient de proportionnalité Passage à l’unité

Variables didactiques Elles concernent une situation de proportionnalité où deux listes de nombres sont mises en relation: Nombre de couples en relation Nature des nombres donnés (entiers, décimaux) Présence de l’unité dans les données Nature du coefficient de proportionnalité (entier, décimal, rationnel (fraction)) Taille des nombres donnés Taille du coefficient de proportionnalité (avec, en particulier, le fait qu’il est plus petit ou plus grand que l’unité)

Difficultés et erreurs des élèves L’élève doit: Repérer les grandeurs Repérer les données mises en relation S’organiser pour traiter plus de deux données… Plusieurs stratégies sont souvent possibles pour résoudre la situation. Ce qui peut entraîner les erreurs suivantes: Mauvais choix de procédure Propriété non correcte

Quelques points de repère pour une progression concernant la proportionnalité. Reconnaître une situation de proportionnalité: Fiches oui non Résoudre des problèmes correspondant à des situations de proportionnalité et à des situations de non-proportionnalité en utilisant des procédures personnelles Succession de problèmes Distinguer les situations où on peut utiliser la propriété de linéarité pour la multiplication par un nombre et celles où on ne le peut pas et définir ce que sont deux grandeurs proportionnelles Introduire la notion de coefficient de proportionnalité