Cours 4 Intérêt et équivalence: Applications aux transactions financières GIA 410 Louis Parent, ing., MBA Etienne Portelance, ing., PMP chargé de cours

Êtes-vous analphabète financier? Supposons que vous ayez 100$ dans un compte d’épargne et que le taux d’intérêt est de 2% par année. Après cinq ans, combien croyez-vous avoir dans le compte si vous y laisser l’argent fructifier? Plus que 102$ Exactement 102$ Moins de 102$ Je ne sais pas Imaginez que le taux d’intérêt de votre compte d’épargne est de 1% et que l’inflation est de 2%. Après un an, que seriez-vous en mesure d’acheter avec l’argent du compte? Plus qu’aujourd’hui Exactement la même chose qu’aujourd’hui Moins qu’aujourd’hui Est-ce que la phrase suivante est vraie ou fausse? Acheter des actions d’une seule entreprise procure habituellement un rendement plus sécuritaire qu’un fonds commun de placement comportant des actions de plusieurs entreprises. Vrai Faux

Pourcentage des Canadiens ayant répondu correctement aux trois questions (N = 6 805) Région % Canada 41% Ontario 45% Prairies Colombie Britannique 42% Québec 39% Québec francophone 38% Québec anglophone 57% Atlantique 37% Réponses: 1: a); 2: c); 3: b) Source: Boisclair D., Lusardi A., Michaud, P. C., Financial Literacy and Financial Planning in Canada, Cirano, 2014

Résumé des calculs d’équivalence Concept notation équation sur la TI Valeur future d’un flux unique F=P(F/P, i, N) Valeur présente d’un flux unique P=F(P/F, i, N) Valeur future d’une annuité F=A(F/A, i, N) Valeur présente d’une annuité P=A(P/A, i, N) Annuité équivalente à une valeur future (amortissement) A=F(A/F ,i ,N) Annuité équivalente à une valeur présente (recouvrement) A=P(A/P ,i ,N)

Résumé des calculs d’équivalence (suite) Valeur présente d’un flux quelconque Formule générale pour P sur les calculatrices P = npv(i,F0,{F1..Fn}{f1..fn}) Valeurs équivalentes de gradients linéaires ou géométriques P peut être calculé à partir de la valeur présente d’un flux quelconque comme ci-dessus, puis transformé au besoin en F ou A. Valeur présente d’un gradient géométrique infini

Objectif du cours Retour sur les taux d’intérêts Comment calculer les taux effectifs à partir des taux nominaux Apprendre à calculer les montants du capital et des intérêts d'un prêt. Référence: AIE Chap. 3.1 à 3.7

Équivalence et transaction financière en équilibre: Analogie mécanique Structure en équilibre Transaction financière en équilibre 100 N i = 8% 3 000$ + 2 572$ X (1+.08)-2 1 2 1 X - 2 042$ (1+.08)3 - 2 572$ 25 N 75 N Si la transaction est en équilibre, elle est en équilibre en tout point dans le temps. Par exemple, la somme des valeurs équivalentes (VE) au point "X", à t=3, est de 0: Si la structure est en équilibre, elle est en équilibre en tout point. Par exemple, la somme des moments autour du point "X" est de 0: +

Détermination des taux d’intérêts En théorie: la loi de l’offre et de la demande pour l’argent L’offre: l’épargne La demande: l’investissement L'intérêt est le principal mécanisme d'autorégulation de l'activité économique. $ % Taux d’intérêt L’offre d’argent: Épargne La demande d’argent: Investissement iéquilibre

Détermination des taux d’intérêts En pratique: l’État, par l’entremise de sa banque centrale, intervient lourdement dans le libre- marché de l'argent: La banque centrale manipule les taux d’intérêt et/ou la masse monétaire pour « stimuler » ou « refroidir la surchauffe » de l’économie. Pour baisser les taux d’intérêt, la banque centrale prête à bas taux au gouvernement de l’argent fraîchement imprimé qui le dépense en biens et service ou aux banques qui la prêtent à leur tour. Ceci augmente la quantité d’argent en circulation. Pour faire remonter les taux, la banque centrale augmente le taux auquel elle prête, ce qui a pour effet de faire rentrer de l’argent détenu par le public dans les coffres des banques, « détruisant » ainsi une partie de l’argent en circulation. L'intervention de l’État dans le marché de l'argent peut soulager l'économie et même aider la popularité des politiciens à court terme mais crée toujours des dommages sérieux à long terme. Parmi les effets pernicieux de la création de monnaie à partir de rien ("ex-nihilo", "from thin air"): Inflation La création de monnaie baisse la valeur de l'argent de papier alors en circulation et cause une montée des prix. Bulles économiques: De bas taux d’intérêts encouragent la spéculation et les projets d’investissement dont la rentabilité et la durabilité à long terme est parfois plus que douteuse.

L'actif de la Banque Centrale US (Federal Reserve Bank) Cet actif est ce qui garantit la valeur du passif de la "Fed", c'est-à-dire celle de l'argent de papier en circulation En millions $ Hypothèques « subprime » Liquidités d’urgence aux marchés de crédit Prêts aux institutions financières Obligations à long terme du Gouvernement US Obligations à court terme du Gouvernement US http://www.clevelandfed.org/research/data/credit_easing/index.cfm

1971: Abandon de l'étalon-or (Gold Standard) 1967 1973 1/35 once d'or 1/1 500 once d'or (juillet 2011) 1/1 650 once d'or (janvier 2013)

Cours de l’or (USD/once) Crise financière de septembre 2008 Années 1970: taux d'inflation de 12% à 15%/année 15-09-2015: 1108 USD Début de la crise des subprime Bulle spéculative Abandon du lien entre le $ et l'or Taux d'intérêts portés à 20% + Source: World Gold Council

L'essence à un prix record… maximum ou minimum??? En avril 2011 l'essence atteignit le niveau "record" de 1.45$/litre, soit presque 30 fois le prix le plus bas jamais enregistré qui fut d'environ 5¢/litre en 1931. En 1931, une pièce de 10¢ achetait donc 2 litres d'essence En avril 2011, la valeur intrinsèque du métal contenu dans la pièce de 1931 était parvenu à 2.90$ (contre 7¢ à l'époque) La pièce de 1931 peut donc acheter en 2011: 2.90/1.45 = 2 litres d'essence, soit la même quantité qu'en 1931, alors que son prix était à son minimum historique. La contrefaçon légale de la monnaie par l'État est essentiellement responsable de la hausse du prix de l'essence! Pièce de 10¢ de 1931 Pièces émises entre 1920 et 1967: Poids: 2.33 g Composition: 80% argent, 20% cuivre Valeur intrinsèque du métal en 1931: 7¢ Valeur intrinsèque du métal en 2011: 2.90$ Pièce de 10¢ de 2011 Pièces émises depuis 2000 Poids: 1.75 g Composition: 92% acier, 5.5% cuivre, 2.5% nickel Valeur intrinsèque du métal en 2011: 2¢

Divers types de taux d’intérêts 22 jan. 2014 29 avril 2015 Taux directeur du financement à un jour 1,00% 0.75% Taux du marché monétaire Taux du papier commercial de premier choix à 1 mois 1,14% 0.87% Bons du Trésor à 1 mois 0,87% 0.64% Acceptations bancaires à 1 mois 1,15% 0.90% Taux d'intérêt Taux de base des prêts aux entreprises (prime rate) 3,00% 2.85% Prêts hypothécaires ordinaires à 5 ans 5,24% 4.64% Rendements des obligations Rendements moyens des obligations négociables du gouvernement canadien, plus de 10 ans 2,91% 2.01% Rendements d'obligations types du gouvernement canadien, à 3 ans 1,22% 0.68% Source: Banque du Canada

Taux d’intérêt en fonction du temps (échéance) Source: Banque du Canada, en date du 23 janvier 2014

La courbe de rendement (Yield Curve)

La probabilité de défaut en fonction de la note de crédit (rating) "Investment grade": AAA à BBB "Speculative grade" (i.e. "junk bonds"): BBB– à C

Comment les agences attribuent-ils les notes de crédit? Modèles quantitatifs, par exemple: le Score "Z" de Altman* 2.90 1.23 élevé faible moyen Risque de défaut Z * Source: Altman, Edward I., Predicting Financial Distress of Companies: Revisiting the Z-Score and Zeta Models, New York University, July 2000, http://pages.stern.nyu.edu/~ealtman/Zscores.pdf Jugement qualitatif des analystes sur les perspectives de rentabilité de l'entreprise

La structure des taux d’intérêt en fonction du terme et du risque de défaut Obligation du Gouvernement BBB BB («junk bond») Primes de risque de défaut « le spread » Note Inflation attendue Droit d’usage sans risque Rf En mars 2014

Taux d’intérêt nominal et taux effectif: Pourquoi s’intéresser à ce sujet? Dans tous les exemples fait jusqu’à maintenant, nous avons implicitement supposé que les paiements étaient effectués une fois par année. Le taux d’intérêt utilisé dans les exercices était le « taux effectif annuel ». Mais la plupart du temps, les flux monétaires de remboursement ou la fréquence de composition des intérêts du financement d’un projet sont plus fréquents qu’une fois par année (ex: quotidien, mensuel, trimestriel, semestriel). Il nous donc apprendre comment transformer les taux d'intérêt exprimés en taux annuel nominal en taux d'intérêt effectifs pour une période quelconque ou en taux effectif annuel.

Le taux d’intérêt nominal En général, et même si le mois ou le trimestre sont des périodes de paiements beaucoup plus fréquentes, les institutions financières annoncent leurs taux d’intérêts en terme de taux annuel nominal, se composant sur une fréquence autre qu’annuelle. Exemple: 12% par année, se composant mensuellement. Si la période de composition (ici: un mois) n’est pas la même que celle du taux d’intérêt affiché (ici: un an), le taux annuel est dit « nominal » Le terme « nominal » est la plupart du temps sous-entendu. Le taux annuel ainsi donné est appelé le taux nominal, parce que la période du taux d’intérêt « affiché » ne correspond pas à la fréquence réelle de composition. Exemple: Taux de carte de crédit « 18% par année, se composant mensuellement » Nous sommes supposés comprendre « 18% par année nominal ». Nous verrons que le taux effectif annuel est en fait de 19.56%.

Le taux effectif annuel: 1 Le taux effectif annuel: 1. Calcul du taux effectif sur la période de composition Une première chose facile à faire: Trouver le taux effectif pour la période de composition Exemple: taux nominal de 18% par année, composé mensuellement

Le taux effectif annuel: 2. Calcul du taux effectif annuel Celui qui est toujours utilisé en analyse de rentabilité. Lorsqu’on parle d’un projet qui a un « rendement de 20% », on veut toujours dire un rendement effectif annuel de 20%. Exemple: taux nominal de 18% par année, composé mensuellement Fonction eff(r,M)

Le taux effectif annuel: des exemples

Le taux effectif Le taux effectif à composition continue Quand les flux monétaires sont énormes ou continus, il est fréquent que la composition soit continue Le nombre e ou le "nombre d'Euler" est une constante mathématique donnée par: Geek fact: La première émission d'actions de Google fut d'un montant global de e milliards $ (2 718 281 828$).

Le nombre e

Exemple ia = (1+ 12%/12)12 – 1 = 12.6825% ia = e0.12 – 1 = 12.7497% Prêt d’un an à 12% Composition mensuelle: ia = (1+ 12%/12)12 – 1 = 12.6825% Composition continue: ia = e0.12 – 1 = 12.7497% Si le prêt est de 100 000$, la différence d’intérêt n’est que de 67.18$ Si le prêt est de 100 000 000$, la différence d’intérêt est de 67 182.14$!

Influence de la période de composition sur le taux effectif Composition continue Taux nominal: 12%

Généralisation: le taux effectif sur une période de versement quelconque (i.e. autre qu’une année) Le taux effectif par période de versement:

Généralisation: le taux effectif sur une période quelconque Par exemple: Un prêt à 18% nominal, dont les intérêts sont composés mensuellement, mais payés à tous les trois mois: Fonction "maison" pour Voyage 200 et Nspire disponible sur le site du cours: ieff(r,C,K)

Calcul d’équivalence: Quand les périodes de versement et composition coïncident Une période de versement = une période de composition donc C = 1 Procédure générale Trouver le nombre de versement par année K Ex: Paiements mensuels : K =12 Trouver le nombre de périodes de composition par période versement C Ex: Paiements mensuels, intérêts composés mensuellement: C =1 Calculer le taux d’intérêt effectif i par période de versement: Calculer le nombre total de périodes de versements N N =K x nombre d’années Ce sont les i et N à utiliser dans les formules d’équivalence des page 2 et 3 (AEI, p. 100)

Exemple 3.5: Prêt-auto Mustang 21 599$*, taux de financement de 48 mois à 8.5%!** * Plus 1% de frais de transport et de préparation, plus TPS & TVQ ** Taux nominal, composé mensuellement * Plus 1% de frais de transport et de préparation, plus TPS & TVQ. ** Taux nominal, composé mensuellement P = 20 000$ r = 8.5% K = 12, C =1  M = CK = 12 N = 48 mois i mensuel= r/M = 8.5%/12 = 0.7083% A = P(A/P, i, N) A = 20 000$ (A/P, 0.7083%, 48) A = 492.97$ par mois r imensuel OU: K M

Auto: Comment calculer un prix de location Supposons qu’un contrat de location de 48 mois, à 0$ comptant, au même taux de 8.5% et avec une valeur résiduelle du véhicule de 10 000$ soit offert. Un contrat de location n’est en fait qu’un financement dont la valeur présente de la valeur résiduelle du véhicule à la fin du bail est enlevée du montant du initial. La valeur résiduelle du véhicule revient au locateur et non au locataire Contrairement à un achat, La TPS et la TVQ sont calculées sur le montant des paiements et non sur la valeur initiale du véhicule. Du point de vue du locateur: 10 000 $ 46 47 48 -21 814.99 $ 46 47 48 Montant équivalent du financement= – 21 814.99$ + 10 000$ (P/F, .7083%, 48) = – 21 814.99$ + 7 126.24$ = – 14 688.75$

Auto: Prix d’une location Pour calculer le taux de location, il faut calculer l’annuité pour rembourser le montant équivalent du financement et y ajouter la TPS et la TVQ. Ce montant équivalent est égal au prix initial, moins la valeur présente de la valeur résiduelle :

Auto: Achat ou location L’option de location, en plus de n’exiger aucun comptant, permet d’économiser 80.50$ par mois. Cependant, l’option d’achat permet à l’acheteur de récupérer la valeur résiduelle de 10 000$ dans 48 mois. Est-ce que le paiement comptant de 4 853$ et le déboursé additionnel mensuel de 80$ le justifient? Tout dépend du rendement que l’acheteur pourrait obtenir en plaçant ces montants pendant 48 mois: aurait-il plus ou moins que 10 000$ dans 48 mois? Si on peut placer cet argent à plus que 0,3664% par mois (4.49% effectif par année), on devrait préférer la location: 4 852.73$(F/P, 0.3664%,48)+80.50$(F/A, 0.3664%,48) = 5 783.95$+4 216.05$ = 10 000.00$

Calcul d’équivalence: Quand les périodes de versement et composition diffèrent A: Cas où C>1 i.e. Plus d’une période de composition par période de versement Procédure générale: Trouver le nombre de périodes de versements par année (K) et le nombre de composition par période de versement (C) Calculer le taux d’intérêt effectif i par période de versement: composition discrète: composition continue: Trouver le nombre total de périodes de versements (N): Utiliser i et N dans les formules appropriées des la pages 2 et 3 (AEI p. 100)

i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +12%/12)3 -1 = 3.030% par trimestre Exemple 3.7 Dépôt trimestriels (à tous les trois mois) de 1 000 $ dans un fonds rapportant des intérêts de 12% nominal annuel, se composant mensuellement. Trouvez le solde accumulé à la fin de la deuxième année. Étape 1 K = 4, C = 3  M = CK =12 Étape 2 i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +12%/12)3 -1 = 3.030% par trimestre ieff(12,3,4)=3.03 Étape 3 N = K x Nombre d’années = 4 x 2 = 8 trimestres Étape 4 F = A(F/A, i, N) = 1000 $ (F/A, 3.030%, 8) = 1000 $ x 8.901 808 F = 8 901.81$

i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +12%/12)3 -1 = 3.030% par trimestre Exemple 3.7 avec les TI Méthode du taux effectif Méthode directe itrimestriel r K M Dans un examen la formule du calcul du taux d'intérêt effectif, correspondant aux périodes de versement est exigé, i.e.: i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +12%/12)3 -1 = 3.030% par trimestre Vous pouvez toujours utiliser la méthode directe ou la fonction ieff(r,C,K)pour vérifier votre calcul

C peut être une fraction dans les formules C = 1/3 Calcul d’équivalence: Quand les périodes de versement et composition diffèrent B: Cas où C<1 i.e. Moins d’une période de composition par période de versement Procédure générale B1.Si l'intérêt payé dès que le montant est déposé Procédure générale: même que pour C > 1 C peut être une fraction dans les formules Ex: Dépôts mensuels, intérêt composé trimestriellement C = 1/3 B2.Si l'intérêt n'est pas payé sur un dépôt fait après le début de la période de composition On additionne les dépôts fait au cours de la période de composition et on les reporte à la fin de la période. Ensuite, même procédure générale que pour C = 1

i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +10%/4)1/3 -1 = 0.826% par mois Exemple 3.9 Dépôt mensuels de 500 $ dans un fonds rapportant des intérêts de 10% nominal par année, se composant trimestriellement et calculés à partir du moment où l'argent est déposé. Trouvez le solde accumulé à la fin de la dixième année. Étape 1 K = 12, C = 1/3 M = CK =4 Étape 2 i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +10%/4)1/3 -1 = 0.826% par mois ieff(10,1/3,12)=0.826 Étape 3 N = K x Nombre d’années = 12 x 10 = 120 mois Étape 4 F = A(F/A, i, N) = 500 $ (F/A, 0.826%, 120) = 500 $ x 203.883 47 F = 101 907.89$

i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +10%/4)1/3 -1 = 0.826% par mois Exemple 3.9 avec les TI Méthode du taux effectif Méthode directe itrimestriel r K M Même remarque: le calcul du taux effectif, correspondant aux périodes de versement est toujours exigé lors d'un examen, i.e.: i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +10%/4)1/3 -1 = 0.826% par mois

Exemple 3.10 i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +10%/4)1 -1 = 2.5% par trimestre Dépôt mensuels de 500 $ dans un fonds rapportant des intérêts de 10% nominal par année, se composant trimestriellement, mais aucun intérêt payé si l'argent est déposé après le début de la période de composition. Trouvez le solde accumulé à la fin de la dixième année. Étape 0: Comme il est maintenant devenu inutile de déposer après le début d’une période de composition (aucun intérêt payé), on fait comme si on regroupait les 3 dépôts de la période de composition à la fin de la période de composition: A = 500$ x 3 = 1 500$ par période de composition Étape 1: Donc 4 dépôts par année, 1 période de composition par période de versement: K = 4, C = 1 Étape 2: On procède ensuite comme dans le cas où C=1 i = (1 + r/CK)C– 1 = (1 +10%/4)1 -1 = 2.5% par trimestre ieff(10,1,4)=2.50 Étape 3 N = K x Nombre d’années = 4 x 10 = 40 trimestres Étape 4 F = A(F/A, i, N) = 1 500 $ (F/A, 2.5%, 40) = 1 500 $ x 67.402 55 F = 101 103.83$ (une différence de 804.06$)

Résumé des formules d’intérêt Concept Equation Calcul sur TI Taux effectif par période de composition Taux effectif annuel Taux effectif sur une période de versement quelconque Taux effectif à composition continue

Calcul d’équivalence d'un Versement unique à composition continue Exemple: Valeur dans 5 ans de 1 000$ déposés à r = 8%, composé continuellement: ou

Calculs d’équivalence de flux non conventionnels: Flux continus et composition continue La plupart du temps, lorsque l'on choisit de construire un modèle financier à flux continus, on choisira aussi la composition continue du flux monétaire. f(t)=A t N Note: r est un taux annuel, A doit être un flux par année

Calculs d’équivalence de flux non conventionnels: Versements continus et composition continue (suite) Si le flux continu est constant, plutôt que de transformer les formules de P et F comme dans le manuel, on peut plutôt continuer à utiliser toutes nos formules en transformant le flux continu en un flux de fin de période comme ceci: A 1 1 Flux continu Flux de fin de période Si ce flux A se répète ensuite sur plusieurs périodes N et qu'il est composé de façon continue on peut utiliser tous les facteurs d'équivalence habituels avec i = er – 1

Versements continus et composition continue: Exemple Le Gouvernement du Québec prévoit que son déficit budgétaire fera augmenter la dette de la province de 5 700$ par minute en 2010. Supposons que pour financer cette dette, le gouvernement tire des chèques 24/7 sur une marge de crédit offerte par un syndicat bancaire à un taux nominal de 6% par année, composé continuellement. Si le déficit continue ainsi pendant 3 ans, à combien s'élèvera la marge de crédit utilisée à la fin de la troisième année? On peut approximer ce flux monétaire par un flux monétaire continu car: Une minute = 1.9 x 10-6 année Première chose à faire, exprimer A dans la même unité de temps que r : A = 5 700 $ /minute A = 5 700 $/min x 60 min/hre x 24 hres/jr x 365 jrs/année = 2 995 200 000 $/année

Versements continus et composition continue: Exemple Exercice: vérifier que cette méthode donne le même résultat que celui qui peut être trouvé avec la formule donnée au tableau 3.2, p 155 du manuel.

Taux d’intérêt variables: composition en chaîne Exemple: Montant unique Placement de 1 000$ pour 10 ans rapportant 6% p.a. effectif les deux premières années, 8% les trois années suivantes et 10% les 5 dernières années. Trouver F et le taux d’intérêt moyen des 10 années. P = 1000$ B2 = P(F/P,6%,2) F = B5(F/P,10%,5) B5 = B2 (F/P,8%,3) i = 6% i = 8 % i = 10 % 1 124$ 1 415$ 2 279$

i moyen = (F/P)1 /N – 1 = (2 279$/1000$)1 /10 –1 = 8.59% Taux d’intérêt variables: composition en chaîne Exemple: Montant unique (suite) Calculer le montant d'une annuité équivalente à taux constant à ce placement unique à taux variable. i moyen = (F/P)1 /N – 1 = (2 279$/1000$)1 /10 –1 = 8.59% A = F(A/F, i, N) = 2 279$ (A/F, 8.59%, 10) = 152.97$ ou: A = P(A/P, 8.59%, 10) Signification: Si au lieu de placer 1 000$ à t=0 aux taux variables indiqués, on plaçait 152.97$ à la fin de chaque année pendant 10 ans à un taux constant de 8.59% on obtiendrait le même 2 279$ à la fin de la 10e année.

Taux d’intérêt variable: Séries de flux monétaires AN AN-1 i1 i2 i3 iN iN-1 A2

Taux d’intérêt variable: Séries de flux monétaires Exemple 3.13 Déterminez la série uniforme (annuité) équivalente de: 250$ 200$ 100$ 1 2 3 i 5% 7% 9% Calculer P Calculer A

Taux d’intérêt variable: Séries de flux monétaires Exercice supplémentaire: Quel est le taux d'intérêt unique équivalent (i*)? i 1 2 3 100$ 200$ 250$ 5% 7% 9% 179.54$ i*% P = 477.41$ i*= TRI =IRR(-477.41,{179.54}, {3})= 6.2838%

Taux d’intérêt variable: Séries de flux monétaires Preuve de l'équivalence 250$ 200$ 179.54$ 179.54$ 179.54$ 100$ 1 2 3 1 2 3 i 5% 7% 9% 6.2838% P = 477.41$ P = 477.41$

Prêts commerciaux amortis: calcul du capital et des intérêts Structure de prêt la plus courante Tous les versements sont égaux dans le temps et incluent une portion de remboursement de capital, une portion d’intérêts. Pourquoi cela nous intéresse-t-il? Préparation des états financiers: intérêts affectent l’ER et le bilan, le capital affecte le bilan seulement Les intérêts sont déductibles pour fins d’impôt, pas le capital Le calcul du montant total du paiement s’effectue selon la formule d’annuité: A=P(A /P, i, N) Où: A: Montant du versement, capital et intérêts P: Montant du prêt i: le taux d’intérêt effectif par période de versement N: le nombre total de versements

Prêts commerciaux amortis: calcul du capital et des intérêts Capital + Intérêt = Annuité constante Montant du capital et des intérêts varient d’un paiement à l’autre $ A A Période

Remboursement en 25 ans – 250000 $ r=5% annuel composition mensuelle

Calcul du capital et des intérêts Deux méthodes possibles Méthode tabulaire: Tableau d’amortissement du prêt: Montants du capital et des intérêt à chaque période Méthode analytique: Calcul des montant de capital et d’intérêts pour une période donnée seulement en calculant le solde impayé à la fin de la période précédente.

Méthode tabulaire Bn-1 PPn In A Bn Bn-1 PPn In A Bn Exemple du prêt auto de 20 000$ à 8,5% p.a. nominal, 48 mois. Bn-1 PPn In A Bn Bn-1 PPn In A Bn A = 492.97$ I4 = B4–1 x i = 18 938.62$ x 0.7083% = 134.15$ PP4 = A– I4 = 492.97$ - 134.15$ = 358.82$ B4 = B3– PP4 = 18 938.62$ - 358.82$ =18 579.80$

Bn-1 est la valeur présente des N – n + 1 annuités qui restent à n – 1 Forme analytique Calculer Bn-1 directement: Bn-1 est la valeur présente des N – n + 1 annuités qui restent à n – 1 N A …….. Bn-1 = A(P /A, i, N-n+1) N – n + 1 n-1 n En français: Le solde du capital à la fin de n-1 est la valeur présente des paiements qui restent à faire. Calculer In In est l'intérêt à payer sur Bn-1: In = Bn-1 x i période de composition Calculer PPn PPn est le capital à payer à n: PPn = A - In

Forme analytique: Exemple du prêt auto à n=21 Exemple du prêt auto à n = 21, Paiements: A = 492.97$ B21–1 = B20 = A(P/A, 0.7083%, 48–21+1) = 492.97$(P/A, 0.7083%, 28) = 12 480.67$ I21= B20 x i = 12 480.67$ x 0.7083% = 88.40$ PP21 = A – I21= 492.97$ – 88.40$ = 404.56$

Prêts à taux variables: Exemple Mustang 21 599$*, 0$ comptant, taux de financement de 1%!** * Plus TPS & TVQ, plus 1% de frais de transport et de préparation ** Contrat de crédit de 48 mois, 1% la première année seulement, Taux de 12% par les trois années suivantes.. Taux nominaux, composés mensuellement * Plus TPS & TVQ, plus 1% de frais de transport et de préparation ** Contrat de crédit de 48 mois, 1% la première année seulement. Taux de 12% par année pour les trois années suivantes. Taux nominaux, composés mensuellement Paiements de la première année (K = 12, C = 1): Le prêt est amorti sur 48 mois Solde du prêt à la fin de la première année: Valeur présente à la fin de n =12 des 36 paiements qui restent

Prêts à taux variables: Exemple (suite) Montant des 36 paiements restants (K=12, C=1): Quel plan est le meilleur? La réponse a cette question dépend en grande partie du rendement qu'il serait possible d'obtenir sur le montant comptant de 4 853$. Est-il suffisant pour compenser les paiements plus élevés, compte tenu de leurs distributions dans le temps? Nous verrons comment répondre efficacement à cette question à partir du cours 8.

Plan modifié: le tableau d'amortissement du prêt (aussi nommé calendrier de remboursement du prêt)

Prêt simple: comment construire le tableau d'amortissement Prêt de 10 000$ à un taux nominal de 6%, composé mensuellement, remboursé en 5 paiements annuels égaux, comprenant capital et intérêt, payables en fin d'année. eff(6,12)=6.17% P = 10 000$ A A A A A

Prêt simple: comment construire le tableau d'amortissement

Tableau d'amortissement avec la Nspire La Nspire possède déjà cette fonction: amortTbl(NPmt,N,I,PV,[PMT],[FV],[K],[M],[0,1]) Ne pas entrer FV si FV=0 Ieff=6.17%, K=1, M=1 Inominal=6%, K=1, M=12

Prêt à taux variable mais à paiements égaux Un prêt de 5 000$ porte un intérêt effectif, composé annuellement, de 8% la première année, 10% la deuxième année et 12% la troisième année. Il doit être remboursé en trois paiements annuels égaux. Quel est le montant du paiement et le calendrier de remboursement du prêt, capital et intérêts? P=5 000$ i = 8% i = 10% i = 12% A=? A=? A=?

Prêt à taux variable mais à paiements égaux (suite)

Prêt à paiements égaux mais irréguliers Un prêt de 5 000$ porte intérêt à 8% composé annuellement. Il doit être remboursé sur cinq ans en quatre paiements annuels égaux dus à la fin de la première, deuxième, quatrième et cinquième année. On ne paie rien à la troisième année. P=5 000$ A=? A=? A=? A=?

Prêt à paiements égaux mais irréguliers  Intérêt composé pour 2 ans

Prêt à paiements égaux mais irréguliers Autres méthodes pour trouver A: A P=5 000$ Avec la TI: nsolve(npv(8,5000,{-A,0,-A},{2,1,2})=0,A)=1563.05

Prêt où on ne paie que les intérêts à certaines périodes Un prêt de 5 000$ porte intérêt à 8% composé annuellement. Il doit être remboursé sur cinq ans en quatre paiements annuels égaux dus à la fin de la première, deuxième, quatrième et cinquième année. La troisième année on ne paiera que les intérêts. A=? P = 5 000$ I =?

Prêt où on ne paie que les intérêts à certaines périodes Pour trouver A, on considère pour N que le nombre de paiements où on paie capital et intérêts. Ici N = 4 A=1509.60$ P = 5 000$ A=1 509.60$ I =? A=1509.60$ A=1 509.60$

Fonctions EXCEL Montant du paiement de capital PRINCPER =(taux; période; npm; va; vc; type) taux: taux d’intérêt par période Période: la période pour la quelle on veut connaître l’intérêt npm: nombre de périodes va: valeur actualisée (capital) vc: valeur capitalisée (future) Type: 0 ou omis = fin de période; 1= début de période Montant du paiement d’intérêt INTPER =(taux; période; npm; va; vc; type)