Choix en incertitude 1

Sujets à aborder Définition du risque Préférences face au risque Réductions du risque Assurance Cours 4 2

Définition du risque Pour mesurer un risque on doit connaître: 1) Tous les résultats possibles. 2) La probabilité d’occurrence de chaque résultat. Cours 4 4

Définition du risque Probabilité Possibilité d’occurence d’un événement Probabilité Objective Basée sur une fréquence observée d’événements passés (ex. jours de pluie) Probabilité Subjective Basée sur la perception ou l’expérience, avec, ou non, une fréquence passée observée Différentes informations ou différentes capacités à traiter la même information peuvent influencer la probabilité subjective (ex. cours boursiers) Cours 4 5

Définition du risque Espérance mathématique Moyenne pondérée des payoffs ou des valeurs résultant de tous les résultats (outcome) possibles Les probabilités de chaque outcome sont les coefficients de pondérations L’espérance mathématique mesure la tendance centrale ; la valeur moyenne. Cours 4 7

Définition du risque Exemple Lancement d’un nouveau parfum Deux résultats possibles Succès -- le prix de l’action passe de 30 à 40€ Echec -- le prix de l’action passe de 30 à 20€ Probabilité Objective 20 lancements, 5 succès et 15 échecs Probabilité (Pr) de succès = 1/4 et probabilité d’échec = 3/4 E = 1/4 * 40€ + 3/4 * 20€ = 25€ / action Cours 4 8

Définition du risque Généralisation: Soit deux résultats possibles avec des payoffs X1 and X2 Les probabilités de chaque résultat sont données par Pr1 & Pr2 L’expérance mathématique s’écrit : Cours 4 11

Définition du risque Déviation Ecart-type Difference entre le payoff attendu (la moyenne) et le payoff observé Ecart-type Racine carrée des carrés des déviations des payoffs associés à chaque résultat, par rapport à la moyenne. Cours 4 16

Définition du risque Exemple Soit 2 jobs ayant le même revenu moyen attendu (€1,500) Le premier paie à la commission: 1,000 € si mauvaises ventes (50% proba), 2,000 € si bonnes ventes (50% proba) Le second est salarié : 1,510 € en principe (99%) ou 510 en cas de faillite de l’entreprise (1% proba) Cours 4 12

Définition du risque Calcul des espérances mathématiques Job 1 - Commissions Job 2 - Salaire Cours 4 15

Déviations par rapport aux revenus attendus Définition du risque Déviations par rapport aux revenus attendus Etat 1 Déviation Etat 2 Déviation Job 1 $2,000 $500 $1,000 -$500 Job 2 1,510 10 510 -900 Cours 4 17

Définition du risque Calcul des écarts-types des 2 jobs: Cours 4 22

Définition du risque Prise de décision Un invidividu évitant le risque choisira le job 2: même revenu moyen, mais plus grand risque. Cours 4 28

Définition du risque - Exemple Imaginez une ville voulant éviter les stationnements interdits. Hypothèses: 1) Le parking sauvage “rapporte” 5 € au conducteur en gain de temps. 2) Le conducteur est neutre au risque. 3) La crainte de l’amende est nulle. Dans ce cas, une amende certaine de 5.01 € suffit à éviter l’infraction. Cours 4 63

Définition du risque Accroître l’amende peut réduire le coût de la prévention. La pénalité moyenne de 5 € est la même dans : 50 € avec une probabilité de 0.1 500 € avec une probabilité de 0.01 Plus les conducteurs sont averses au risque, moins l’amende doit être élevée pour être efficace. Cours 4 66

Préférences face au risque Choix parmi plusieurs alternatives risquées Hypothèses Consommation d’un seul bien Le consommateur connaît toutes les probabilités Les payoffs sont mesurés en termes d’utilité La fonction d’utilité est donnée Cours 4 34

Préférences face au risque Exemple : Une personne gagne $15,000, ce qui lui rapporte 13 unités d’utilité. Elle envisage un autre job, plus risqué. Elle a 50% de chance d’accroître son revenu à $30,000, et 50% de chance de le diminuer à $10,000. Cours 4 35

Préférences face au risque Elle déterminera son choix en fonction de l’espérance de l’utilité (E(u)) apportée par le résultat. A savoir: L’espérance de l’utilité s’écrit: E(u) = (1/2)u($10,000) + (1/2)u($30,000) = 0.5(10) + 0.5(18) = 14 E(u) du nouveau job est 14, supérieur à 13, l’utilité actuelle 13. Elle choisira donc le nouveau job. Cours 4 35

Préférences face au risque L’ espérance de l’utilité est la somme des utilités associées à chaque état; pondérées par les probabilités de chaque état. S’écrit E(U) . ! A ne pas confondre avec U (E), qui est l’utilité associé à l’espérance mathématique du résultat, qui néglige l’aspect “risque”. Voir plus loin. Cours 4 36

Préférences face au risque Les préférences sont différentes face au risque : Les gens peuvent être averses, neutres, ou favorables au risque. Averse au risque : préférer un revenu certain à un revenu risqué, de la même expérance mathématique. L’utilité marginale du revenu est décroissante chez les personnes averses au risque. Cours 4 38

Préférences face au risque Aversion au risque U(E) : courbe des revenus certains Utilité E 10 15 20 13 14 16 18 30 A B C D E(U) : courbe des gains moyens Revenu ($1,000) Cours 4 46

Préférences face au risque Mesure de l’aversion au risque : RA (w) = - u’’ (w) u’ (w) où w est la fortune u la fonction d’utilité concave Une personne est neutre au risque si elle ne montre pas de préférence entre un revenu certain, et un revenu incertain de même espérance mathématique. Dans ce cas : E(u)=U(E). Cours 4 47

Préférences face au risque Neutralité au risque E Utilité 18 C 12 A 6 Revenu ($1,000) 10 20 30 Cours 4 49

Préférences face au risque Une personne est dite aimer le risque si elle montre une préférence pour un revenu incertain, par rapport à un revenu certain de même espérance mathématique. Dans ce cas : E(u)>U(E). Exemples: Jeu, certains délits Cours 4 50

Préférences face au risque “L’amour du risque” Utilité E 18 C 8 A 3 Revenu ($1,000) 10 20 30 Cours 4 52

Préférences face au risque La prime de risque est le montant qu’une personne averse au risque est prête à payer pour éviter de prendre un risque. Soit l’exemple du job risqué $30,000 à 50% et probabilité et $10,000 à 50% (revenu moyen = $20,000). L’espérance de l’utilité de cette distribution de revenus vaut: E(u) = .5(18) + .5(10) = 14 Combien l’individu est-il prêt à payer pour éviter le risque? Cours 4 53

Préférences face au risque Prime de risque ici de $4,000 parce qu’un revenu certain de 16,000 donne à l’individu la même utilité qu’un revenu incertain d’espérance mathématique de 20,000 Utilité 20 F Prime de risque 10 18 30 40 20 14 A C E G Revenu ($1,000) 10 16 Cours 4 57

Préférences face au risque La variabilité des payoffs potentiels accroit la prime de risque. Exemple: Un job à 50% de probabilité de rapporter $40,000 (u=20) et 50% de probabilité de rapporter 0 (u=0). L’espérance du revenu reste à $20,000, mais l’espérance de l’utilité (E(u)) tombe à 10. E(u) = .5u(0$) + .5u($40,000)=0 + .5(20)=10 Cours 4 58

Préférences face au risque Prime de risque ici de $10,000 parce qu’un revenu certain de 10,000 donne à l’individu la même utilité qu’un revenu incertain d’espérance mathématique de 20,000 Utilité Prime de risque G 20 18 E C 14 A F 10 Equivalent certain Revenu ($1,000) 10 16 20 30 40 Cours 4 57

Préférences face au risque Le revenu certain apportant la même utilité qu’une loterie est son “équivalent certain”. La concavité des courbes d’utilité indique le trade-off entre risque et espérance mathématique, et donc l’aversion au risque. A noter aussi que la concavité des courbes d’utilité traduit également la décroissance de l’utilité marginale. Cours 4 60

Aversion au risque et courbes d’indifférences Grande aversion au risque: l’accroissement du risque demande beaucoup d’accroissement de revenu pour maintenir le même niveau d’utilité. Espérance de revenu U2 U1 Ecart-type du revenu Cours 4

Aversion au risque et courbes d’indifférences Espérance de revenu Moindre aversion au risque: l’accroissement du risque demande un plus faible accroissement de revenu pour maintenir le même niveau d’utilité. U3 U2 U1 Ecart-type du revenu Cours 4

Managers et choix du risque Etudes sur 464 managers exécutifs: 20% sont neutres au risque 40% sont favorables au risque 20% sont averses au risque 20% n’ont pas répondu Si les gains espérés sont les mêmes, ils optent pour les situations moins risquées. Font des efforts importants pour réduire le risque en reportant des décisions et en rassemblant plus d’informations. Cours 4 61

Réduction du risque Les trois façons pour les individus de réduire le risque sont: 1) La diversification 2) L’assurance 3) L’obtention de plus d’information Cours 4 67

Réduction du risque Diversification Une firme peut réduire son risque en diversifiant ses activités dans des domaines peu liés entre eux. Exemple : vente d’air conditionné et de chauffages. Application : le marché des actions - voir chapitre suivant. Cours 4 73

Réduction du risque Assurance Des individus averses au risque sont prêts à payer pour éviter un risque. Si le coût de l’assurance égale la perte attendue, alors les individus averses ou neutres au risque achèteront suffisamment d’assurance pour couvrir totalement leur perte potentielle. Cours 4 74

Réduction du risque - Assurance Eléments de choix d’une assurance à termes fixes: probabilité du sinistre : “” en cas de sinistre : perte de “l” prime d’assurance = L sans assurance : perte de “l” avec une probabilité , et conservation de la fortune sans sinistre : en 2de période : w1 = w0.(1- ) + (w0-l).  avec assurance : paiement de la prime dans tous les cas et pas de perte en cas de sinistre : en 2de période : w1 = w0-L, avec certitude Cours 4 74

Réduction du risque - Assurance Graphiquement : Prime d’assurance max. pour une couverture complète Utilité U(w0) E U (W0-.l) = U(W0-L) C On voit que, plus l ’aversion au risque croît, plus l’individu est prêt à payer pour une assurance, au-delà de l’espérance mathématique du sinistre. F A U(W0 - l) Revenu ($1,000) W0 - l W0-.l W0 W0-L Cours 4 74

Réduction du risque - Assurance La prise d’une assurance transfère de la richesse et accroît l’utilité attendue. Par la loi des grands nombres et les données historiques, le risque peut être prédit par type d’événement (mortalité, accidents, vols…). Cependant, le comportement de l’assuré, débarassé du risque, peut se modifier et accroître la probabilité de sinistre : problème d’aléa moral et d’asymétrie d’information entre assureur et assuré. Cours 4 76

Valeur de l’information Réduction du risque Valeur de l’information Valeur de l’information complète Difference entre la valeur attendue d’un choix avec information complète, et la valeur attendue avec information incomplète. Cours 4 79

Valeur de l’information - Exemple Réduction du risque Valeur de l’information - Exemple Soit le patron de Zara. Combien de costumes d’automne commander ? Commande 100 costumes 180 €/pièce Commande 50 costumes 200 €/pièce Le prix de vente est de 300 €. Invendus remboursables à 1/2 prix. Probabilité subjective de vente de chaque quantité : 50%. Cours 4 80

Réduction du risque Achat de 50 : Coût = 10,000 Vente de 50 : C.A. = 15,000 Vente de 100: C.A = 30,000 Matrices des profits: Vente de 100 Vente de 50 Achat de 50 5,000 5,000 Achat de 100 1,500 12,000 Cours 4 81

Réduction du risque En information incomplète : Neutralité au risque : achat de 100 costumes (profit max. supérieur) Aversion au risque : achat de 50 costumes Espérance mathématique du profit en incertitude = 0.5*12,000 + 0.5*1,500 = 6,750 En information complète (certitude) Profit = 0.5*5,000 + 0.5*12,000 = 8,500 Valeur de l’information complète = 1,750 Cours 4 82