Les coniques Elles sont obtenues par intersection d’un plan avec un cône infini. Une définition plus précise : Une conique est le lieu géométrique des points du plan dont la distance à un point fixe égale le produit de leur distance à une droite fixe ne comprenant pas ce point par le réel . Une conique est le lieu géométrique des points dont les distances à un point fixe et à une droite fixe ne comprenant pas ce point ont un rapport constant. Foyer : c’est le point fixe Directrice : la droite fixe associée au foyer Excentricité  : rapport constant Axe focal : droite perpendiculaire à la directrice passant par le foyer Sommet : point d’intersection entre la conique et son axe focal

LA PARABOLE Lieu des points situés à égale distance d’un point fixe F et d’une droite fixe d (Fd) L’axe focal est l’axe de symétrie de la parabole Le sommet est le point commun de l’axe focal et de la parabole L’excentricité vaut 1 Pour représenter une parabole, il suffira de construire des cercles de centre F et de rayon variable r ainsi que des droites parallèles à la directrice d’une distance r et d’en prendre les intersections.

EQUATION DE LA PARABOLE = Equation focale Equation cartésienne réduite

L’ELLIPSE : Méthode 1 : un foyer, une directrice et l’excentricité Lieu des points du plan dont la distance à un point fixe F (foyer) vaut le produit de leur distance à une droite d (directrice), Fd, par un réel  (excentricité) avec 0 <  <1. Pour représenter une ellipse, il suffira de construire des cercles de centre F de rayon variable k ainsi que des droites parallèles à la directrice d’une distance k et d’en prendre les intersections.

L’ELLIPSE : Méthode 2 : ses deux foyers Lieu des points du plan dont la distance à deux points fixes F et F’ (foyers) ont une somme constante 2a. Pour représenter une ellipse, il suffira de construire des cercles de centre F de rayon variable r et des cercles de centre F’ de rayon 2a - r et d’en prendre les intersections.

L’ELLIPSE : Propriétés L’axe focal est l’axe de symétrie déterminé par la droite passant par les foyers. L’axe non focal est déterminé par la médiatrice du segment de droite limité aux foyers. Le centre de symétrie correspond à l’intersection des deux axes de symétries. Les sommets qui sont aux nombres de 4, sont les points communs de l’ellipse et des axes de symétrie. La longueur de l’axe focal (distance entre les deux sommets du grand axe) vaut 2a. La longueur du petit axe vaut 2b.

EQUATION DE L’ELLIPSE (méthode 1) Equation focale de l’ellipse Equation cartésienne réduite de l’ellipse

EQUATION DE L’ELLIPSE (méthode 2) Equation cartésienne réduite de l’ellipse

REMARQUES Si l’ellipse possède ses foyers sur l’axe des ordonnées, l’équation devient Si a = b, l’équation devient x² + y² = a² qui est l’équation d’un cercle de centre (0,0) et de rayon a, Un cercle est donc une ellipse particulière.

L’HYPERBOLE : Méthode 1 : un foyer, une directrice et l’excentricité Lieu des points du plan dont la distance à un point fixe F (foyer) vaut le produit de leur distance à une droite d (directrice), Fd, par un réel  (excentricité) avec  > 1. Pour représenter une hyperbole, il suffira de construire des cercles de centre F de rayon variable k ainsi que des droites parallèles à la directrice d’une distance k et d’en prendre les intersections.

L’HYPERBOLE: Méthode 2 : ses deux foyers Lieu des points du plan dont la distance à deux points fixes F et F’ (foyers) ont une différence, en valeur absolue, constante 2a. Pour représenter une hyperbole, il suffira de construire des cercles de centre F de rayon variable r et des cercles de centre F’ de rayon 2a + r et d’en prendre les intersections.

L’HYPERBOLE : Propriétés L’axe focal est l’axe de symétrie déterminé par la droite passant par les foyers. L’axe non focal est déterminé par la médiatrice du segment de droite limité aux foyers. Le centre de symétrie correspond à l’intersection des deux axes de symétries. Les sommets qui sont aux nombres de 2, sont les points communs de l’hyperbole et de l’axe focal. La distance entre les deux sommets vaut 2a.

EQUATION DE L’HYPERBOLE (méthode 1) P(x;y) Equation focale de l’hyperbole Equation cartésienne réduite de l’hyperbole

EQUATION DE L’HYPERBOLE (méthode 2) Equation cartésienne réduite de l’hyperbole

REMARQUE Si l’hyperbole possède ses foyers sur l’axe des ordonnées, l’équation devient ou

SYNTHESE : comment reconnaître la nature d’une conique ? Considérons la parabole de foyer et de directrice associée Définition P  Parabole  (P,F) = (P,d) Equation y² = 2px Sommet un seul sommet : S(0,0) Axe de symétrie un seul axe : OX Excentricité  = 1 La parabole centrée en (xc, yc) a pour équation (y – yc)² = 2p(x – xc)

2 axes de symétrie : OX (axe focal) et OY (axe non focal) Considérons 2 foyers F (c, 0) et F’ (–c, 0) et a > 0.   ELLIPSE HYPERBOLE Définition P  Ellipse  (P, F) + (P, F’) = 2a P  Hyperbole  |(P, F) - (P, F’)| = 2a Conditions a > c ; b² = a² - c² a < c ; b² = c² - a² Equation ou Sommets S1 (a, 0); S2 (–a, 0); S3 (0, b) et S4 (0, –b) S1 (a, 0) et S2 (–a, 0) Centre (0,0) Axes de symétrie 2 axes de symétrie : OX (axe focal) et OY (axe non focal) Distance focale 2c tel que c = Grand axe 2a Petit axe 2b Asymptotes et Excentricité 0 <  = < 1  = > 1 Directrices associées L’ellipse/hyperbole centrée en (xc, yc) a pour équation

Considérons l’équation générale mx² + ny² = p avec m, n 0 et p . Si m et n sont de même signe (mn > 0) p = 0 conique dégénérée en un point (0,0) p  0 signe de p opposé au signe de m et de n conique vide signe de p est celui de m et de n m  n m < n ellipse (d’axe focal OX) m > n ellipse (d’axe focal OY) m = n cercle Si m et n sont de signe opposé (mn < 0) p = 0 conique dégénérée en 2 droites sécantes en (0,0) p 0 signe de p est celui de m hyperbole (d’axe focal OX) signe de p est celui de n hyperbole (d’axe focal OY) m = -n hyperbole équilatère (c.-à-d. asymptotes perpendiculaires)