Cours 4: TP Solutionnaire GIA 410 Louis Parent, ing., MBA Etienne Portelance, ing., PMP, chargé de cours

Exercice 3.27 Dans combien d’années un investissement triplera-t-il si son taux d’intérêt de 9% se compose: Trimestriellement, Mensuellement, Continuellement?

Exercice 3.27 N=? F =3P P a) trimestriellement M = 4 a) trimestriellement M = 4 TI: tvm_n(eff(9,4),-1,0,3)=12.34

c) continuellement M = infini Exercice 3.27 b) mensuellement K = 1; C = 12 M =12 c) continuellement M = infini tvm_N((e^(.09)-1)*100,-1,0,3) =12.21 tvm_N(eff(9,12),-1,0,3)=12.25

Montant du remboursement Exercice 3.17 Vous empruntez 1 000$ à 8% d'intérêt se composant annuellement. Le remboursement est effectué selon le calendrier suivant. Trouvez X, soit le montant nécessaire pour rembourser l'emprunt à la fin de la 4e année. n Montant du remboursement 1 2 3 4 100$ 300$ 500$ X P =1 000$ 100$ X 300$ 500$

Exercice 3.17 Solution 1: Valeur présente des versements pris individuellement P =1 000$ 93$ 100$ 257$ X = 345$ 300$ 500$ 397$ Pversement1 = - 100$(P/F, 8%, 1) = -93$ 747 $ Pversement2 = - 300$(P/F, 8%, 2) = -257$ Pversement3 = - 500$(P/F, 8%, 3) = -397$ Pversement1-3 = -93$ -257$-397$=-747$  Pversement4 = 1000$ - 747$ = 253$ X = 253$(F/P, 8%, 4) = 345$ Ou: npv(8,1000,{-100,-300,-500})= 253

Exercice 3.17 Solution 2: Valeur future des versements pris individuellement F = 1 361$ P =1 000$ F = 126$ 100$ 300$ F = 350$ 500$ F = 540$ Femprunt=1 000$ $(F/P, 8%, 4) = 1 361$ Fversement1 = - 100$(F/P, 8%, 3) = -126$ X = 345$ Fversement2 = - 300$(F/P, 8%, 2) = -350$ Fversement3 = -500$(F/9, 8%, 1) = -540$ Fversement 1-3 = -126$-350$-540$= -1 016$ Fversement4 =1 361$ - 1 016$ = 345$ X = - 345$

Exercice 3.17 Solutions pour les maniaques de la TI (comme moi!): 100$ X 300$ 500$ nsolve(npv(8,1000,{-100,-300,-500,X})=0,X)=-344.60

Exercice 3.31 Une série de dépôts trimestriels de 1 000$ chacun s'échelonne sur 3 ans. On veut calculer sa valeur capitalisée (i.e. future), en fonction d'un intérêt de 12%, se composant mensuellement. Parmi les équation suivantes, laquelle est la bonne? F=4(1000$)(F/A, 12%, 3) F=1000$(F/A, 3%, 12) F= 1000$(F/A, 1%, 12) F=1000$(F/A, 3.03%, 12)

Exercice 3.31 Période de versement: trimestrielle  K = 4 Période de composition: mensuelle  C = 3 TI: ieff(12,3,4)=3.03

Exercice 3.45 À combien doivent s’élever les dépôts trimestriels, A, qui permettront de retirer les montants indiqués dans le diagramme des flux monétaires, si l’intérêt de 8% se compose trimestriellement? 2 500$ 1 500$ A (Dépôt)

Calcul du taux d’intérêt trimestriel Exercice 3.45 Calcul du taux d’intérêt trimestriel ieff(8,1,4)=2.00

Exercice 3.45 A P(retraits) =1385.77$ + 2 133.73$ = 3 519.50$ 2 500$ 2 500$(P/F, 2%, 8) = 2 133.73$ 1 500$ 1 500$(P/F, 2%, 4) = 1 385.77$ A (Dépôt) nsolve(npv(2,A,{A},{7})=3519.49,A)=471.02 Ou: nsolve(npv(2,-A,{-A,1500-A,-A,2500},{3,1,3,1})=0,A)=471.02

Exercice 3.45 Preuve tabulaire

Exercice 3.52 Sam Salvetti désire prendre sa retraite dans 15 ans. Il peut placer de l’argent à un taux d’intérêt de 8% se composant trimestriellement. Quel est le montant du dépôt qu’il doit effectuer à la fin de chaque trimestre, jusqu’au moment de sa retraite, pour pouvoir retirer 25 000$ à tous les 6 mois pendant les 5 premières années de sa retraite? Présumez que son premier retrait aura lieu 6 mois après le début de sa retraite.

Exercice 3.52 A= 25 000$ Épargne Retraite (Trimestres) (Semestres) 1 2 1 2 3 59 60 A =? 1 2 3 9 10 Versement: trimestriel  K = 4 Composition: trimestrielle  C = 1 Versement: semestriel  K = 2 Composition: trimestrielle  C = 2

Exercice 3.52 Épargne Retraite (Trimestres) (Semestres) F= 202 369.22$ A= 25 000$ 1 2 3 59 60 A =? 1 2 3 9 10 1 774.37$ P = 202 369.22$ Combien doit-il déposer à la fin de chaque trimestre pour accumuler 202 369.22$ après 60 trimestres? A = F(A/F, i, N) = 202 369.22$ (A/F, 2%, 60) = 1 774.37$ Combien doit-il avoir au début de sa retraite pour retirer 25 000$ à tous les six mois? P = A(P/A, i, N) = 25 000$ (P/A, 4.04%, 10) = 202 369.22$ tvm_pmt(60,2,0,tvm_pv(10,4.04,25000,0))=1774.37

Exercice 3.53 Émilie Lacy reçoit 250 000$ d’une compagnie d’assurances après le décès de son mari. Elle veut déposer ce montant dans un compte d’épargne rapportant 6%, se composant mensuellement, puis effectuer 60 retraits mensuels égaux s’échelonnant sur 5 ans, de sorte qu’au moment du dernier retrait, le solde du compte d’épargne soit de zéro. Combien peut-elle retirer à chaque mois?

Exercice 3.53 A =? 60 1 2 59 3 P = 250 000$ Versement: mensuel  K = 12 Composition: mensuelle  C = 1 tvmPmt(60,0.5,250000,0))=4833.20

Exercice 3.54 Anita Tardif, une propriétaire d'une agence de voyages, achète une vieille maison où elle veut aménager les bureaux de son entreprise. Elle découvre que le plafond est mal isolé et que l'installation de 15 cm de mousse isolante pourrait atténuer substantiellement les pertes de chaleur. Elle estime que l'isolation lui permettra de réduire les frais de chauffage de 40$ par mois et les frais de climatisation de 25$ par mois. Si on tient pour acquis que l'été (juin, juillet, août) dure 3 mois et l'hiver (décembre, janvier, février) aussi 3 mois, combien peut-elle consacrer à l'isolation si elle s'attend à conserver la maison pendant 3 ans? Présumez que ni le chauffage ni la climatisation sont utilisés le reste de l'année. Les travaux pourraient être exécutés et payés à la fin du mois de mai. On offre à Anita un taux d'intérêt de 9% se composant mensuellement.

Exercice 3.54 Valeur présente des économies du premier cycle d'opération 25$ 25$ 25$ 40$ 40$ 40$ 1 73.89$ mai juin juil. août sep. oct. nov. déc. jan. fév. mars avril 113.04$ 118.22$ 186.93$

Exercice 3.54 Valeur présente des économies des trois cycles d'opération 186.93$ 170.90$ 156.24$ 514.07$ + années Note: npv(9.38,186.93,{186.93},{2})=514.07

Quel est le taux d’intérêt effectif unique applicable aux 4 années? Exercice 3.59 Le diagramme de flux monétaires suivant présente des transactions dont le taux d’intérêt est variable. Trouvez la valeur actualisée. (En d’autres termes, combien doit-on déposer maintenant pour pouvoir retirer 300$ à la fin de la première année. 300$ à la fin de la deuxième année, 500$ à la fin de la troisième année et 500$ à la fin de la quatrième année?) Quel est le taux d’intérêt effectif unique applicable aux 4 années? 500$ 500$ 300$ 300$ 6% composé mensuellement 9% composé mensuellement 6% composé mensuellement P=?

Exercice 3.59 P=? 500$ 500$ 300$ 300$ 6% composé mensuellement eff(6,12)=6.17 eff(9,12)=9.38 eff(6,12)=6.17

Exercice 3.59 P=1305.32$ Calcul de P + + + Calcul de i effectif unique 1385.82$ (P/F, 6.17% ,1) 1187.68$ (P/F, 9.38% ,1) (P/F, 9.38% ,1) 970.95$ (P/F, 6.17% ,1) 1085.82$ 887.68$ 470.95$ 500$ + + + 300$ 300$ 500$ 6.17% 9.38% 9.38% 6.17% P=1305.32$ Calcul de i effectif unique 1 305.32$ 500$ 1 2 3 4 300$ i i i i IRR(-1305.32,{300,500},{2,2})=7.818

Exercice 3.62 M. Simard achète une automobile neuve de 12 500$. Il fait un versement initial de 2 500$ et emprunte le reste à la banque, à un taux d’intérêt de 9%, se composant mensuellement. Il remboursera cet emprunt par des versements mensuels s’échelonnant sur 2 ans. Pour chacune des questions suivantes, choisissez la bonne réponse. Quel est le montant du versement mensuel (A)? A = 10 000$(A/P, 0.75%, 24) A = 10 000$(A/P, 9%, 2)/12 A = 10 000$(A/F, 0.75%, 24) A = 12 500$(A/F, 9%, 2)/12

Exercice 3.62 a) P = 10 000$ A = P(A/P, i, N) A = 10 000$(A/P, 0.75%, 24) A = 456.85$ Réponse i.

Exercice 3.62 b) Immédiatement après avoir effectué le 12e versement, M. Simard veut calculer le solde impayé de son emprunt. À combien s’élève-t-il? 12A A(P/A, 9%, 1)/12 A(P/A, 0.75%, 12) 10 000$ – 12A Rappel: Après avoir fait le 12e versement, on se situe à la période n = 13. L’intérêt de la période 13 sera calculé sur le solde du capital à payer au début de la période 13, soit le solde à la de la fin de la période précédente, soit B12. Sans faire le tableau d'amortissement au complet, on peut connaître B12: c'est la valeur présente des 12 paiements qui restent à faire.

N = nombre de paiements qui restent à faire = 24 -12 = 12 Exercice 3.62 b) Bn-1=B13-1 = B12= ? A=456.85$ N = nombre de paiements qui restent à faire = 24 -12 = 12 B12=A(P/A, i, N) B12 = 456.85$(P/A, 0.75%, 12)  la valeur présente des 12 versements restants B12 = 5 224.01 $ Réponse iii.

Exercice 3.70 Vous achetez une maison 150 000$ et contractez un emprunt hypothécaire de 120 000$, dont le taux nominal est de 9%. Cinq ans plus tard vous revendez la maison 185 000$ (déduction faite de tous les frais de vente). Quelle est la valeur nette (le montant qui reste avant toute taxe et impôt) réalisée en fonction d’un amortissement de 30 ans. Présumez que la capitalisation est semestrielle et que les versements sont mensuels.

Exercice 3.70 P= 120 000$ A= ? A = P(A/P, i, N) 359 360 1 2 A= ? A = P(A/P, i, N) A = 120 000$(A/P, 0.7363%, 360) A = 951.40 $ ieff(9,1/6,12)=0.7363

N= Nombre de paiements qui restent à faire = 360 – 60 =300 Exercice 3.70 P= 120 000$ B60 = ? 59 60 61 359 360 1 2 N= Nombre de paiements qui restent à faire = 360 – 60 =300 B60=A(P/A, i, N) B60 = 951.40$(P/A, 0.7363%, 300)  la valeur présente des 300 versements restants B60 = 114 906.41$ Valeur nette réalisée = Prix de vente net – Solde du capital à payer =185 000$ - 114 906.41$ = 70 093.59$

Exercice 3.70: Question supplémentaire Quel rendement avez-vous obtenu sur votre investissement comptant initial de 30 000$? 1 2 3 P = 30 000$ A = 951.40$ F = 70 093.59$ 59 60

Exercice 3.70: Question supplémentaire Supposons maintenant que l'achat de la maison vous a permis d'économiser un loyer de 800$/mois, mais que le montant des taxes, le chauffage et l'entretien s'élèvent en moyenne à 500$/mois. Quel est le rendement obtenu? 1 2 3 P = 30 000$ A = 651.40$ F = 70 093.59$ 59 60

Exercice 3.74 Dan Harrisson, qui a l’intention de prendre sa retraite dans 25 ans, gagne actuellement un salaire 40 000$ par année. Il s’attend à ce que son salaire annuel augmente de 2 500$ par année (40 000$ la première année, 42 500$ la deuxième année, etc.) et projette de déposer annuellement 5% de son salaire annuel dans une caisse de retraite rapportant un intérêt de 7% se composant quotidiennement. Combien aura-t-il accumulé au moment de sa retraite? Versement: annuel  K = 1 Composition: quotidienne  C = 365 TI: eff(7,365)=7.25

Exercice 3.74 F=? i=7.25% A = -2 000$ G = -125$ 2 000$ etc… 2 125$ 2 250$ 4 750$ 4 875$ Calculons d’abord la valeur présente du gradient linéaire: 5 000$ P = 2 000$(P/A,7.25%,25)+125$(P/G,7.25%,25) Sur la TI: pvgl(N,i,A,G) pvgl(25,7.25,-2000,-125)= -34947.70 Puis la valeur future: F = 34 947.70(F/P, 7.25%, 25) = 201 072$

Exercice 3.75 Catherine Munger désire acheter des meubles valant 3 000$. Elle se propose d’obtenir un financement de 2 ans pour son achat. Le magasin de meubles lui "indique" le taux d’intérêt n’est que de 1% par mois et calcule comme suit le montant de son versement mensuel: Durée des versements = 24 mois Intérêt=3 000$ x 1% x 24 = 720$ Frais de constitution du dossier = 25$ Montant dû= 3 000$ + 720$ + 25$ = 3 745$ Versement mensuel = 3 745$ / 24 mois = 156.04$ par mois Quel est le taux d’intérêt effectif annuel ia du prêt contracté par Catherine? Quel est le taux d’intérêt nominal, en fonction d’une capitalisation mensuelle? Catherine achète les meubles et effectue 12 versements mensuels. Elle veut ensuite rembourser en bloc le reste du prêt (au bout de 12 mois). Combien doit-elle au magasin de meubles?

Exercice 3.75 a) b) Le solde au début de la période 13 est la valeur présente des 12 paiements qui restent à faire à la fin de la période 12:

Exercice 3.79 Un prêt de 10 000$ s’étend sur une période de 24 mois. Le prêteur offre des taux nominaux, se composant mensuellement, de 8% pour les 12 premiers mois, et de 9% pour tout solde impayé après 12 mois. Selon ces taux, calculez le montant des versements égaux qu’il faudrait effectuer à la fin de chaque mois pendant 24 mois pour rembourser le prêt. P = 10 000$ r = 8% r = 9% A = ? ieff(8,1,12)=0.667 ieff(9,1,12)=0.750

Exercice 3.79 i= 0.667% i= 0.750% 11.43$ 11.50$ 10.56$ 22.06$ Ou:

Exercice 3.79: Tableau d’amortissement du prêt

Exercice 3.81 Si vous contactez un emprunt de 120 000$ avec un amortissement de 30 ans et un taux d’intérêt variable de 9% se composant mensuellement et susceptible de changer tous les 5 ans, au début quel sera le versement mensuel? si au bout de 5 ans, le prêteur porte le taux d’intérêt nominal à 9.75%, à combien s’élèvera le nouveau versement mensuel?

au début quel sera le versement mensuel? Exercice 3.81 au début quel sera le versement mensuel? période de versements: mensuelle K = 12 période de composition: mensuelle C = 1

Exercice 3.81 si au bout de 5 ans, le prêteur porte le taux d’intérêt nominal à 9.75%, à combien s’élèvera le nouveau versement mensuel? Le nouveau versement mensuel: Le solde du capital à payer après 60 versements = La valeur présente des 300 paiements restants

Exercice S1 Un prêt de 50 000$ soit être remboursé en 5 paiements égaux, dus à la fin de chaque année. Le taux d’intérêt est de 6% nominal, composé mensuellement. Dressez le tableau d’amortissement du prêt. Période de versement: annuelle  K =1 Période de composition mensuelle  C =12

Les fonctions d'amortissement de prêts sur TI Nspire Accessibles lorsque la calculatrice est en mode calcul ou Scratchpad. c1b813 Touche Syntaxe Ti-nspire Produit 1 amortTbl(Nb,N,i,P,[A],[F],[K],[M],[0,1],[d]) Tableau d'amortissement d'un prêt pour les "Nb" premiers paiements 2 bal(Nb,N,i,P,[A],[F],[K],[M],[0,1],[d]) ou: bal(Nb,Tableau_d'amortissement) Le solde du capital après le nième paiement: 3 ŽInt(Nb1,Nb2,N,i,P,[A],[F],[K],[M],[0,1],[d]) ou: ŽInt(Nb1,Nb2,Tableau_d'amortissement) La somme des intérêts payés entre Nb1 et Nb2: 4 ŽPrn(Nb1,Nb2,N,i,P,[A],[F],[K],[M],[0,1],[d]) ou: ŽPrn(Nb1,Nb2,Tableau_d'amortissement) La somme du capital remboursé entre Nb1 et Nb2: []: paramètres optionnels 0 = fin de période, 1= début de période, Valeur par défaut = 0; d = nombre de décimales, défaut = 2

Exercice S1: Sur TI Nspire amortTbl(Nb,N,i,P,[A],[F],[K],[M],[0,1],[d]) []: paramètres optionnels 0 = fin de période, 1= début de période, Valeur par défaut = 0; d = nombre de décimales, défaut = 2

Solution de l’exercice S1 sur Voyage 200 Les fonctions d'amortissement de prêts Les fonctions d'amortissement de prêts sur Voyage 200 La fonction amortTbl n'est pas incluse dans l'application Finance de la Voyage 200. Un programme semblable nommé "tblamort" est cependant disponible dans le fichier FinanceApps.zip. La syntaxe est la suivante: tblamort(Nb,N,i,P,F,K,M) Solution de l’exercice S1 sur Voyage 200 Les trois autres fonctions (bal, ŽInt, ŽPrn) sont disponibles sur Voyage 200 et y ont la même syntaxe.

Exercice S2 Vous contractez aujourd'hui un emprunt remboursable en 4 paiements égaux de 3 000$, comprenant capital et intérêt et dus en fin d'année. Le remboursement de capital de la quatrième année est de 2 750$. Quel est le montant du prêt et son taux d'intérêt effectif? Établissez le calendrier d'amortissement du prêt.

Exercice S2

Exercice S3 Vous contractez aujourd'hui un emprunt remboursable sur 4 ans de la manière suivante: Taux d'intérêt de 12%, composé trimestriellement 3 paiements égaux comportant capital et intérêts dus à la fin des années 1, 2, et 4 Paiement des intérêts seulement à la fin de l'année 3 Montant des intérêts de l'année 2: 885$ Quel est le montant du prêt et son taux d'intérêt effectif? Établissez le calendrier d'amortissement du prêt.

Exercice S3 3 1 2

Exercice S4 Vous contractez aujourd'hui un emprunt de 10 000$ remboursable sur 4 ans de la manière suivante: Paiements égaux comportant capital et intérêts en fin d'année 1 et 4. Aucun paiement, ni intérêt, ni capital aux années 2 et 3 Montant des intérêts de l'année 1: 1 200$ Établissez le calendrier d'amortissement du prêt.

Exercice S4 P =10 000$ X X Avec les TI: nsolve(npv(12,0,{x,0,0,x})=10000,x)=6543

Exercice S4 Avec une calculatrice financière: Supposez X = 1$ Calculez NPV à 12% NPV = 1.5284$ Faire une règle de 3: