Les fonctions Les propriétés

Chaque fonction possède ses propres caractéristiques: Ainsi l’analyse de ces propriétés permet de mieux cerner chaque type de fonctions. - domaine - codomaine ( ou image ) - variation - signes - coordonnées à l’origine - extrémums

Il est plus facile de décrire les caractéristiques d’une fonction à partir de sa représentation graphique

Le domaine d’une fonction.

Le domaine d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que prend la variable indépendante de la fonction. Ceci veut dire qu’on s’intéresse aux valeurs que prend x ( la variable indépendante ) dans la fonction. Il faut donc lire sur l’axe des x. Ici, dom f :[ -6, 8 ] signifie le domaine de la fonction. Utilisons quelques couples pour bien comprendre. ( -1, ) ( -3, ) ( -5, ) ( -6, ) ( 3, ) ( 4, ) ( 6, ) ( 8, )

Donne le domaine des fonctions suivantes: dom f : [ -5, 8 ]

dom f : [ -9, 3 ]

dom f : [ -5, 5 ]

dom f :[ -7, 7 ]

dom f :[ -7, 9 ]

Le codomaine d’une fonction. ou l’image d’une fonction.

Le codomaine ou l’image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que prend la variable dépendante de la fonction. Ceci veut dire qu’on s’intéresse aux valeurs que prend f(x) ( la variable dépendante ) dans la fonction. Il faut donc lire sur l’axe des y. Ici, ima f : On pourrait aussi écrire: codom f : [ -7, 7 ] [ -7, 7 ] signifie l’image de la fonction. ( -1, ) ( -3, ) ( -5, ) ( -6, ) ( 3, ) ( 4, ) ( 6, ) ( 8, ) Utilisons quelques couples pour bien comprendre.

ima f : [ -8, 8 ] Donne le codomaine des fonctions suivantes:

ima f : [ -3, 4 ]

Remarque:Lorsque l’on donne un intervalle, il faut toujours le faire de la plus petite valeur à la plus grande correctincorrect ima f : [ -3, 4 ]ima f : [ 4, -3 ]

ima f : [ 0, 7 ]

ima f : [ 1, 8 ]

Le domaine et le codomaine (l’image) sont les deux caractéristiques les plus importantes. Elles permettent de décrire les autres propriétés. - variation - signes - coordonnées à l’origine - extrémums

Donne le domaine et le codomaine des fonctions suivantes dom f : [ -5, 8 ]ima f : [ -8, 8 ]

dom f : [ -9, 3 ]ima f : [ -3, 4 ]

dom f : [ -7, 9 ]ima f : [ -4, 3 ]

Variation d’une fonction: - croissance - décroissance - constance

Une fonction est dite croissante sur un intervalle donné si les valeurs de f(x) augmentent: la courbe monte La croissance s’analyse par rapport à l’axe des abscisses ( l’axe des x ). Ici, la fonction est croissante sur [ 0, 10 ]

Une fonction est dite décroissante sur un intervalle donné si les valeurs de f(x) diminuent: la courbe descend La décroissance s’analyse par rapport à l’axe des abscisses ( l’axe des x ). Ici, la fonction est décroissante sur [ 0, 10 ]

Exemple: Lorsque l’on se déplace sur l’axe des x, de -6 à -1, les valeurs de f(x) augmentent. Nous dirons que la fonction est croissante sur l’intervalle [ -6, -1]

Exemple: Lorsque l’on se déplace sur l’axe des x, de -1 à 4, les valeurs de f(x) diminuent. Nous dirons que la fonction est décroissante sur l’intervalle [ -1, 4 ] Les valeurs de y augmentent ou diminuent mais l’analyse se fait par rapport à l’axe des x. Remarque:

Une fonction est dite constante sur un intervalle donné si les valeurs de f(x) ne changent pas. la courbe est horizontale Ici, la fonction est constante sur [ 0, 10 ] La constance s’analyse par rapport à l’axe des abscisses ( l’axe des x ).

Exemple: Lorsque l’on se déplace sur l’axe des x, les valeurs de f(x) ne changent pas. Nous dirons que la fonction est constante sur l’intervalle Attention: La croissance, la décroissance et la constance d’une fonction s’analysent toujours par rapport au domaine donc par rapport à l’axe des x. [ -6, 5 ]

Exemple: Ici, l’intervalle de croissance est: [ -8, -5 ] L’intervalle de décroissance est: L’intervalle de constance est [ -5, 2 ] [ 2, 9]

Étudie la variation des fonctions suivantes Fonction croissante sur : [ 0, 4 ]

Fonction croissante sur : [ -5, 8 ]

Fonction décroissante sur : [ -9, 3 ]

Fonction décroissante sur : Fonction croissante sur : [ -7, 0 ] [ 0, 7 ]

Fonction décroissante sur : Fonction croissante sur : [ -7, 1 ] [ 1, 9 ]

Les signes d’une fonction.

Une fonction est positive lorsque les valeurs de f(x) ( les valeurs de y ) sont positives. Une fonction est négative lorsque les valeurs de f(x) ( les valeurs de y ) sont négatives.

Explication: Au-dessus de l’axe des x, les valeurs de y sont toutes positives. donc les signes de la fonction sont positifs. ( -1, ) ( -3, ) ( -5, ) ( -6, ) ( 3, ) ( 4, ) ( 6, ) ( 8, ) Au-dessous de l’axe des x, les valeurs de y sont toutes négatives. donc les signes de la fonction sont négatifs. Attention: Les signes d’une fonction ( les valeurs de y ) s’analysent toujours par rapport au domaine donc par rapport à l’axe des x.

Exemple: lorsqu’on se déplace sur l’axe des x de -5 jusqu’à 2, les valeurs de f(x) sont négatives. donc les signes de la fonction sont négatifs sur : [ -5, 2 ] lorsqu’on se déplace sur l’axe des x de 2 jusqu’à 8, les valeurs de f(x) sont positives. donc les signes de la fonction sont positifs sur : [ 2, 8 ] Dans cette fonction:

Étudie les signes des fonctions suivantes: négatifs sur : positifs sur : Remarque:0 étant considéré à la fois positif et négatif, cette valeur particulière de f(x) doit être considérée sur les deux intervalles. Les intervalles sont donc fermés. [ -9, -2 ] [ -2, 3 ]

signes positifs sur : [ -5, 5 ]

signes positifs sur : signes négatifs sur : [ -7, -4 ] [ 6, 9 ]  [ -4, 6 ]

Les coordonnées à l’origine d’une fonction: - l’abscisse à l’origine ou zéro(s) de fonction. - l’ordonnée à l’origine ou valeur initiale;

Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. L’ordonnée à l’origine: Ici, l’ordonnée à l’origine est 3. Graphiquement, l’ordonnée à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des ordonnées ( axe des y ).

Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. L’ordonnée à l’origine: L’ordonnée à l’origine est aussi appelée la valeur initiale car souvent elle correspond à la première valeur de la fonction. Graphiquement, l’ordonnée à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des ordonnées ( axe des y ).

Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. 0 L’ordonnée à l’origine: Graphiquement, l’ordonnée à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des ordonnées ( axe des y ). À cet endroit, x = 0. algébriquement, l’ordonnée à l’origine est la valeur de f(x) quand x = 0; Donc, Les coordonnées de ce point sont : ( 0, 3) x = 0 f(0) = 3 c’est-à-dire f(0 )

Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. L’abscisse à l’origine: Ici, l’abscisse à l’origine est -6. Graphiquement, l’abscisse à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des abscisses ( axe des x ).

Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. 0 L’abscisse à l’origine: Graphiquement, l’abscisse à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des abscisses ( axe des x ). À cet endroit, f(x) = 0. algébriquement, l’abscisse à l’origine est la valeur de x quand f(x) = 0. Donc, Les coordonnées de ce point sont : ( -6, 0) x = -6 f(x) = 0 c’est-à-dire f(x ) = 0

Remarque: L’abscisse à l’origine est la valeur de x quand la fonction est égale à zéro. car à ce point précis, f(x) = 0. C’est pourquoi, on appelle aussi l’abscisse à l’origine, le zéro de fonction, Attention: abscisse à l’origine=zéro de fonction

Ordonnée à l’origine : Abscisse à l’origine : Symbole f(0) f(x) = 0

Donne l’ordonnée à l’origine et l’abscisse à l’origine des fonctions suivantes Ordonnée à l’origine: Abscisse à l’origine: 4 2

Ordonnée à l’origine:Abscisse à l’origine:-4-3

Remarque:Une fonction peut avoir plus qu’une abscisse à l’origine. Ordonnée à l’origine:Abscisse à l’origine:-6 et 43

Remarque: Une fonction peut ne pas avoir d’abscisse à l’origine. Ordonnée à l’origine:Abscisse à l’origine:aucune5

Ordonnée à l’origine:Abscisse à l’origine:00

Les extrémums d’une fonction. - maximum - minimum

Le maximum d’une fonction est la plus grande valeur de f(x). Exemple: Maximum: 4 Remarque: Les extrémums se lisent sur l’axe des ordonnées.

Le minimum d’une fonction est la plus petite valeur de f(x). Exemple: Minimum -9

Détermine les extrémums des fonctions suivantes: Minimum : Maximum : 70

Minimum : Maximum : 92

Minimum : Maximum : 3- 4

1 1 Minimum : Maximum : 1- 1

Minimum : Maximum : 4- 8

Remarque: L’axe des abscisses sert de référence pour analyser: - le domaine - la variation : croissance, décroissance et constance - les signes: signes positifs ou négatifs - le(s) abscisse(s) à l’origine ou zéro(s) de fonction L’axe des ordonnées sert de référence pour analyser: - le codomaine ou l’image - les extrémums - l’ordonnée à l’origine

Analyse les propriétés de la fonction suivante: dom f : ima f : fonction croissante sur : signes positifs sur : Ordonnée à l’origine : Abscisse à l’origine (zéro de fonction ) : Extrémum: signes négatifs sur : fonction décroissante sur : [ 0, 9 ] [ 100, ] [ 0, 1 ] [ 3, 4 ] [ 8, 9 ][ 1, 3 ] [ 6, 8 ] [ 0, 9 ] aucun intervalle 400 aucune maximum :1 100 minimum :100 fonction constante sur : [ 4, 6 ]

dom f : ima f : fonction croissante sur : signes positifs sur : Ordonnée à l’origine : Abscisse à l’origine : Extrémum: signes négatifs sur : fonction décroissante sur : [ 0, 30 ] jours [ - 200, 700 ] dollars [ 0, 5 ] [ 25, 30 ] jours [ 10, 25 ] jours [ 0, 20 ] et 30 e jours 200,00 $ 20 e et 30 e jours maximum : 700,00 $ minimum : - 200,00 $ Solde($) Nb de jours Montant dans mon compte pour le mois de novembre fonction constante sur : [ 5, 10 ] jours [ 20, 30 ] jours Analyse cette situation.

Analyse les propriétés de la fonction suivante: f( x ) = 2 x – 6 sur le domaine [ 0, 6 ] Pour t’aider à analyser une fonction à partir de sa règle, remplis une table de valeurs et trace son graphique. x y= 2 x Ici, on ne s’intéresse qu’aux valeurs de x compris entre 0 et 6 car le domaine demandé est [ 0, 6 ]. Donc

f( x ) = 2 x – 6 sur le domaine [ 0, 6 ] dom f : ima f : fonction croissante sur : signes positifs sur : Ordonnée à l’origine : Abscisse à l’origine : Extrémum: signes négatifs sur : fonction décroissante sur : [ 0, 6 ] [ - 6, 6 ] aucun intervalle [ 3, 6 ] -6 3 maximum : 6 minimum : - 6 fonction constante sur : aucun intervalle [ 0, 3 ] [ 0, 6 ]

Aujourd’hui, au Québec, l’unité de mesure utilisée pour calculer la vitesse automobile est le kilomètre/heure ( km/h ). Anciennement, ( et encore aujourd’hui aux USA ) le système était le mille/heure ( MPH ). Dans les voitures, les odomètres représentent les deux systèmes de mesures.

La règle permettant de passer des km/h aux MPH est: f( x ) = 0,625 x dans laquelle: x représente la variable indépendante: km/h et f( x ) représente la variable dépendante: MPH On voudrait convertir en MPH, les km/h compris entre 0 et 160. Détermine le domaine et le codomaine de cette situation.

Le domaine est relié à la variable indépendante donc dom f : [ 0, 160 ] km Le codomaine est relié à la variable dépendante. Pour calculer ce codomaine, il existe une règle : f( x ) = 0,625 x Le codomaine étant en relation avec le domaine: on calcule la première valeur de f( x ) en remplaçant x par la première valeur du domaine soit 0. f( x ) = 0,625 x f(0) = 0,625 X 0 = 0 x représente la variable indépendante: km/h f( x ) représente la variable dépendante: MPH

Puis, on calcule la dernière valeur du codomaine en remplaçant x par 160. f( x ) = 0,625 x f(160) = 0,625 X 160 = 100 codom f : [ 0, 100 ] MPH Convertir en MPH, les km/h compris entre 0 et 160. Règle : f( x ) = 0,625 x dom f : [ 0, 160 ] km codom f : [ 0, 100 ] MPH dom f : [ 0, 160 ] km