Géométrie et communication graphique Cours 4: Longueur, courbure Edouard Rivière-Lorphèvre Edouard.riviere@umons.ac.be

Calcul de la longueur d’une courbe tn-1 tn t2 ti ln l2 t1 l1 t0

Longueur d’une courbe À la limite si Dt tend vers 0, la somme converge vers la mesure de l’arc qui peut être exprimée par: E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

différentielle La différentielle s’établit donc par E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Abscisse curviligne Définir une origine Un sens de parcours positif u0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Rectification de courbe Calculer la longueur d’une courbe: rectification Exemple: courbe décrite par un point fixe d’un cercle qui roule sans glisser sur un plan (cycloïde) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Rectification de courbe 𝑥 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 =𝑅𝜃 𝑦 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 =𝑅 𝑥 𝑃 = 𝑥 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑦 𝑃 = 𝑦 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Rectification de courbe Graphique de la cycloïde (exemple: R=10) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cycloïde E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cycloïde E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cycloïde q=2p s = 8R E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cas de l’ellipse 𝑥=2+2.𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦=1+3.𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠= 0 𝜃 4 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃+9 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃 =−2.𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝑦 𝑑𝜃 =3.𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠= 0 𝜃 −2.𝑠𝑖𝑛𝜃 2 + 3.𝑐𝑜𝑠𝜃 2 𝑑𝜃 𝑠= 0 𝜃 4 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃+9 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝑑𝜃 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cas de l’ellipse Les intégrales de la forme 0 𝜃 𝑎 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃+ 𝑏 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝑑𝜃 n’admettent pas de primitive si a≠b, il est donc nécessaire de les calculer de manière numérique (on parle d’intégrales elliptiques) Le périmètre de l’ellipse s’approche par 𝜋 2 𝑎 2 + 𝑏 2 ou 𝜋 3 𝑎+𝑏 − 𝑎+3𝑏 3𝑎+𝑏 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Courbe donnée sous forme explicite Employer une paramétrisation de la courbe Pour rappel, une paramétrisation simple est E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cercle 𝑥=𝑡 𝑦= 1− 𝑡 2 𝑠= 1+ 𝜕𝑦 𝜕𝑡 2 𝑑𝑡 1 Cercle de rayon 1 𝑦= 1− 𝑥 2 𝑥=𝑡 𝑦= 1− 𝑡 2 1 𝜕𝑦 𝜕𝑡 = 1 2 −2𝑡 1− 𝑡 2 =− 𝑡 1− 𝑡 2 𝑠= 1+ 𝜕𝑦 𝜕𝑡 2 𝑑𝑡 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cercle 𝑠= 1+ 𝜕𝑦 𝜕𝑡 2 𝑑𝑡 𝑠= 1+ − 𝑡 1− 𝑡 2 2 𝑑𝑡 𝑠= 1+ 𝑡 2 1− 𝑡 2 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 = 1 2 −2𝑡 1− 𝑡 2 =− 𝑡 1− 𝑡 2 𝑠= 1+ 𝜕𝑦 𝜕𝑡 2 𝑑𝑡 𝑠= 1+ − 𝑡 1− 𝑡 2 2 𝑑𝑡 𝑠= 1+ 𝑡 2 1− 𝑡 2 𝑑𝑡 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cercle 𝑠= 1+ 𝑡 2 1− 𝑡 2 𝑑𝑡 𝑠= 1 1− 𝑡 2 𝑑𝑡= 1 1− 𝑡 2 𝑑𝑡 𝑠= 1+ 𝑡 2 1− 𝑡 2 𝑑𝑡 𝑠= 1 1− 𝑡 2 𝑑𝑡= 1 1− 𝑡 2 𝑑𝑡 La primitive est arccos (t) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cercle Pour ¼ cercle, t va de 1 à 0, on a: s=arccos(0)-arccos(1)=pi/2, ce qui représente bien le quart du périmètre d’un cercle unitaire y x E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Parabole Calcul de la longueur d’un arc de parabole définie par l’équation y=x²/2 pour x allant de 0 à 1 𝑓 ′ 𝑔 =𝑓𝑔− 𝑓𝑔′ Avec f=x et 𝑔= 1+ 𝑥 2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Parabole 𝐿 1 −𝐿 0 = 1 2 2 + 1 2 𝑙𝑛 1+ 2 =1,588 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Courbure Courbure: traduit l’accélération plus ou moins brusque d’un mobile parcourant une courbe à vitesse constante Définition rigoureuse 1 𝜌 = 𝑑𝜑 𝑑𝑠 𝑆 Variation de l’angle formé par la tangente en fonction de l’abscisse curviligne E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple pratique La notion de courbure est par exemple employée dans la conception de voies de circulation pour véhicules rapides (autoroutes, tgv,…) Si on passe sans transition d’une portion droite à un virage (cercle)  discontinuité de courbure  accélération brusque  vibrations Impact sur le confort Impact sur la tenue du véhicule E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple pratique En pratique, on effectue la transition par l’intermédiaire d’un arc de courbe particulier à courbure variant linéairement : la clothoide E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Calcul de la courbure y Pi+1 Pi j+Dj j x Dj E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cas particulier du cercle E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Calcul de la courbure Courbe définie par son expression explicite 𝑑 arctan 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑓 𝑑𝑥 1+ 𝑓 2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Courbure en formulation explicite E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cercle, forme explicite Calcul de la courbure en d’une courbe définie par 𝑦= 4− 𝑥 2 (cercle centré en 0, rayon 2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 −2𝑥 4− 𝑥 2 =− 𝑥 4− 𝑥 2 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 =− 4− 𝑥 2 −𝑥. − 𝑥 4− 𝑥 2 4− 𝑥 2 =− 4− 𝑥 2 + 𝑥 2 4− 𝑥 2 3 2 =− 4 4− 𝑥 2 3/2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cercle, forme explicite 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 𝑥 4− 𝑥 2 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 =− 4 4− 𝑥 2 3/2 1 𝜌 = − 4 4− 𝑥 2 3/2 1+ − 𝑥 4− 𝑥 2 2 3/2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cercle, forme explicite 1 𝜌 = − 4 4− 𝑥 2 3/2 1+ − 𝑥 4− 𝑥 2 2 3/2 = 4 4− 𝑥 2 3/2 1+ 𝑥 2 4− 𝑥 2 3/2 = 4 4− 𝑥 2 3/2 4− 𝑥 2 + 𝑥 2 4− 𝑥 2 3/2 = 4 4 3/2 =1/2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Courbe sous forme paramétrique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Courbe sous forme paramétrique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cercle, forme paramétrique 𝑥=2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃 =−2𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝜃 2 =−2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑦 𝑑𝜃 =2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝜃 2 =−2𝑠𝑖𝑛𝜃 1 𝜌 = −2𝑠𝑖𝑛𝜃.−2𝑠𝑖𝑛𝜃−2𝑐𝑜𝑠𝜃.−2𝑐𝑜𝑠𝜃 4 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃+4 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 3/2 = 4 4 3/2 =1/2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Forme implicite E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Forme implicite 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑦 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cercle, forme implicite 𝐹 𝑥,𝑦 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 −4=0 𝜕𝐹 𝜕𝑥 =2𝑥 𝜕 2 𝐹 𝜕 𝑥 2 =2 𝜕 2 𝐹 𝜕𝑥𝜕𝑦 =0 𝜕𝐹 𝜕𝑦 =2𝑦 𝜕 2 𝐹 𝜕 𝑦 2 =2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Cercle, forme implicite 1 𝜌 = 2𝑦 2 .2−2.0.2𝑥.2𝑌+2. 2𝑥 2 2𝑥 2 + 2𝑦 2 3/2 1 𝜌 = 8𝑥 2 +8 𝑦 2 8 𝑥 2 + 𝑦 2 3/2 = 1 𝑥 2 + 𝑦 2 =1/2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique