Géométrie et communication graphique Cours 10: géométrie différentielle des courbes et des surfaces Edouard Rivière-Lorphèvre Edouard.riviere@umons.ac.be

Introduction Courbes spatiales Surfaces Etude de la morphologie locale (points singuliers) Rechercher de tangentes Surfaces Plan tangent Vecteur normal E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Fonction vectorielle d’une courbe z 𝑉 (𝑡) x y E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Emploi du développement limité 𝑉 𝑡 − 𝑉 ( 𝑡 0 ) z 𝑉 (𝑡) 𝑉 ( 𝑡 0 ) x y E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Passage à la limite Si 𝑉 ′ 𝑡 0 = 0 , on peut reproduire le même schéma en augmentant l’ordre de dérivation E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

En résumé un vecteur tangent à une courbe peut être obtenu par 𝑉 ′ 𝑡 0 (sauf si 𝑉 ′ 𝑡 0 = 0 ) si 𝑉 ′ 𝑡 0 = 0 on parle de point singulier de la courbe Dans ce cas, un vecteur tangent à la courbe est obtenu en augmentant l’ordre de dérivation ( 𝑉 𝑛 𝑡 0 ≠ 0 𝑛≥2 ) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Points singuliers Branchement Rebroussement E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Tangente à une courbe Les équations paramétriques sont La forme canonique est donc E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Rechercher un vecteur tangent à l’hélice d’équation 𝑥=2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑧= .2 2𝜋 𝜃 en son point d’intersection avec Oxy E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Intersection avez oxy  𝑧= 3 2𝜋 𝜃=0⇒𝜃=0 Le point considéré a donc pour coordonnées (2,0,0) Dérivée première 𝑑𝑥 𝑑𝜃 =−2𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝑦 𝑑𝜃 =2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑧 𝑑𝜃 = .2 2𝜋 Particularisation au point considéré: 𝑑𝑥 𝑑𝜃 𝑃 =−2𝑠𝑖𝑛0=0 𝑑𝑦 𝑑𝜃 𝑃 =2𝑐𝑜𝑠0=2 𝑑𝑧 𝑑𝜃 𝑃 = .2 2𝜋 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Equation de la tangente 𝑡≡ 𝑥= 𝑥 𝑃 +𝜆𝑎 𝑦= 𝑦 𝑃 +𝜆𝑏 𝑧= 𝑧 𝑃 +𝜆𝑐 Ce qui donne: 𝑡≡ 𝑥=2 𝑦=2𝜆 𝑧=𝜆 .2 2𝜋 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Plan tangent à une surface Plan regroupant les tangentes à l’ensemble des courbes de la surface passant par le point Défini uniquement pour les points dits réguliers Point régulier si (cf plus loin) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Plan tangent à une surface Equation de la surface Une ligne de la surface est définie par pour autant que La dérivée de cette expression donne E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Plan tangent à une surface La tangente à la courbe a pour expression (si le point est régulier) Par substitution, on obtient donc Z-zp E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Plan tangent à une surface Or dériver F(x,y,z) par rapport à x, y et z est équivalent à dériver F(f1,f2,f3) par rapport à f1, f2 et f3 Donc: Cette condition est vérifiée quelle que soit la courbe de la surface considérée, il s’agit donc de l’équation du plan tangent à la surfaces (si cette expression ne se réduit pas à 0≡0) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Point singulier d’une surface Si n’est pas vérifié se réduit à 0≡0 On parle alors de point singulier de la surface, on peut démontrer que dans ce cas, on peut définir un cône tangent à la surface E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple de point singulier E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Rechercher l’équation cartésienne du plan tangent à un tore (R=10, r=3) en x=12, y=4, z>0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Coordonnée z du point: z=1,4… Dérivées partielles 12 2 + 4 2 + 𝑧 2 + 10 2 − 3 2 2 − 4.10 2 . 12 2 + 4 2 =0 z=1,4… Dérivées partielles 𝜕𝐹 𝜕𝑥 ≡2 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑅 2 − 𝑟 2 2𝑥−8 𝑅 2 𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ≡2 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑅 2 − 𝑟 2 2𝑦−8 𝑅 2 𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝑧 ≡2 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑅 2 − 𝑟 2 2𝑧 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple Devient donc: Ou encore 2543,1... 𝑥−12 +847,7… 𝑦−4 +1424,7… 𝑧−1.4… =0 Ou encore 2543,1…𝑥+847,7…𝑦+1424,7…𝑧−35914,4…=0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Forme explicite Forme explicite: 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) Se transforme aisément en 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 ≡𝑧−𝑓 𝑥,𝑦 =0  devient donc E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface sous forme vectorielle Définition du plan tangent Un point (P) Deux vecteur On prendra les vecteurs tangents à deux ligne coordonnées E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Surface sous forme vectorielle Ligne coordonnée: ligne pour laquelle un paramètre est constant par exemple Vecteur tangent Plan tangent 𝑉 (𝜆, 𝜇 𝑃 ) Non colinéaires E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Normale à une surface La normale à une courbe en un point s’obtient de manière directe comme le vecteur normal au plan tangent E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

Normale à une surface Forme cartésienne Forme paramétrique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique