Cours 3 L’intérêt et les formules d’équivalence GIA 410 Louis Parent, ing., MBA Etienne Portelance, chargé de cours

Retour sur le film

Êtes-vous analphabète financier? Supposons que vous ayez 100$ dans un compte d’épargne et que le taux d’intérêt est de 2% par année. Après cinq ans, combien croyez-vous avoir dans le compte si vous y laisser l’argent fructifier? Plus que 102$ Exactement 102$ Moins de 102$ Je ne sais pas Imaginez que le taux d’intérêt de votre compte d’épargne est de 1% et que l’inflation est de 2%. Après un an, que seriez-vous en mesure d’acheter avec l’argent du compte? Plus qu’aujourd’hui Exactement la même chose qu’aujourd’hui Moins qu’aujourd’hui Est-ce que la phrase suivante est vraie ou fausse? Acheter des actions d’une seule entreprise procure habituellement un rendement plus sécuritaire qu’un fonds commun de placement comportant des actions de plusieurs entreprises. Vrai Faux

Pourcentage des Canadiens ayant répondu correctement aux trois questions (N = 6 805) Région % Canada 41% Ontario 45% Prairies Colombie Britannique 42% Québec 39% Québec francophone 38% Québec anglophone 57% Atlantique 37% Réponses: 1: a); 2: c); 3: b) Source: Boisclair D., Lusardi A., Michaud, P. C., Financial Literacy and Financial Planning in Canada, Cirano, 2014

Contenu des 2 prochains cours Comprendre la notion d’intérêt Comprendre la notion d’équivalence Comprendre les méthodes de calcul de montants équivalents Références: AEI: Chap. 2

L’intérêt Définition de l’intérêt L’intérêt est le loyer de l’argent L’argent possède une valeur temporelle: sa valeur dépend de la date à la quelle est reçue. Puisque l’argent peut se faire fructifier, un dollar reçu aujourd’hui n’a pas la même valeur qu’un dollar reçu à une date ultérieure. Trois composantes de l’intérêt: Le coût d'opportunité pour le prêteur: La compensation à payer au prêteur pour qu'il remette à plus tard ses propres dépenses de consommation ou qu’il cède le rendement qu'il pourrait obtenir en investissant dans ses propres projets. Une prime pour l’inflation ou la dévaluation de la monnaie. S’il y a de l’inflation, le pouvoir d’achat de l’argent remboursé plus tard vaudra moins que celui de l’argent prêté aujourd’hui Une prime de risque liée à la probabilité de défaut de l’emprunteur Une partie de l’intérêt peut être vue comme une « prime d’assurance » qui va dans un fonds de réserve servant à rembourser le prêteur pour les pertes résultant du défaut de payer de certains emprunteurs.

Éléments des transactions à intérêt Notation Capital initial ou valeur présente (au temps 0) P Taux d’intérêt périodique en % i Nombre total de paiements ou de périodes d’intérêt N La position dans le temps où on se situe dans l’analyse (entre 0 et N) n Le montant d’intérêt total (entre 0 et N) en $ I Le montant d’intérêt en $ de la période n In La valeur future d’un montant P, après N périodes F La valeur future d’un montant P, à la fin de la période n Fn Le montant d'un flux monétaire régulier et constant A à la période n (une annuité) An

Les calculs d’intérêt L’intérêt simple L’ intérêt est calculé sur le capital initial seulement Il n’y a pas d’intérêt sur l’intérêt des périodes précédentes, même si on ne le retire pas. La valeur future de P:

Intérêt simple: Exemple

Les calculs d’intérêt L’intérêt composé L’intérêt est calculé sur le solde de la période précédente, comprenant capital et les intérêts accumulés, si ceux-ci n’ont pas été retirés.

Intérêt composé: Exemple

Diagramme de flux monétaire 1 2 N F 0$ +$ –$ P 3 ………….. n Période temps Conventions: +: Entrée d’argent –: Sortie d’argent Les flux monétaires sont toujours en fin de période

Autre exemple Dépôt (P) de 1000$ dans un placement à 8% par année pendant 10 ans. Quel montant (F) peut-on retirer à la fin de la 10eme année? N = 10 i = 8% F = 1000$(1+.08)10 =2 159$ + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 – P = 1 000$

Illustration (Exemple 2.2) Achat de l’île de Manhattan en 1626 pour 24$. Combien cette somme vaudrait-elle à la fin de 2009 si elle avait été placée dans un compte portant intérêt à 8% par année? Plus de 151 trillions $, soit une augmentation de plus de 75 trillions $ au cours des 9 dernières années! Comparer avec la valeur totale de toutes les entreprises dans les bourses suivantes: NYSE : 19.2 trillions, NASDAQ : 6.9 trillions, Toronto SE: 2 trillions

Intérêt simple vs. intérêt composé

Notions d’équivalence économique Deux flux monétaires sont économiquement équivalents si leur valeur économique actualisée au même moment dans le temps est égale. Si deux flux monétaires sont équivalents, un investisseur sera indifférent à la substitution d’un flux monétaire pour l’autre. Équivalence = Indifférence

Diagramme de flux monétaire: Équivalence et transaction P = 100$ + + - - P = 100$ À 10% d'intérêt composé par année, recevoir 161.05$ dans 5 ans est équivalent à recevoir 100$ aujourd'hui. Une ligne pointillée va signifier une équivalence À 10% d'intérêt composé par année, il faut investir 100$ aujourd'hui pour recevoir 161.05$ dans 5 ans. Une ligne pleine va signifier une transaction

Exemple 2.4: Un exemple simple d’équivalence On vous propose de recevoir 3 000$ en fin de période dans 5 ans ou P $ maintenant. Vous avez la garantie de recevoir le montant de 3 000$ dans 5 ans (risque nul). Vous n'avez pas besoin des P $ maintenant et vous pourriez les déposer à un taux de 8%. Quel est le montant P $ qui vous rendrait indifférent entre recevoir P $ aujourd'hui et 3 000$ à la fin d'une période de 5 ans. F = 3 000$ P = 2 042$ 2 042$ maintenant est équivalent à 3 000$ dans 5 ans 2 042$ maintenant est équivalent à 3 000$ dans 5 ans

Cinq types de flux monétaires Cas généraux: Flux monétaire unique Flux monétaires constants et périodiques: annuités à intervalles réguliers Flux irrégulier ou quelconque Cas particuliers: Flux monétaire à gradient linéaire Flux monétaire à gradient géométrique

Les formules de flux monétaires uniques 1. Capitalisation N Processus de capitalisation F = P(1+i)N P F

Capitalisation d’un flux monétaire unique: Exemple 2.7 Vous possédez 2 000$ que vous investissez à un taux de 10% par année. Combien vaudra cette somme dans 8 ans? Transaction P = 2 000 $ F = ? i =10% N =8

TI nSpire: le "TVM Solver" F = ? i =10% N =8 Les fonction financières des calculatrices (et d'Excel) font toujours les calculs d'équivalence comme s'il s'agissait d'une transaction. Le signe est donc toujours inversé. (sauf pour la fonction npv) N i(%) P A F Nous verrons la signification de K et C au prochain cours K C

TI Nspire: les fonctions TVM Solveur TVM Fonctions TVM Sur Voyage 200: Mettre un "_" après "tvm"

Les formules de flux monétaires uniques 2. Actualisation P Processus d’actualisation P = F (1+i)-N N

Actualisation d’un flux monétaire unique: Exemple 2.9 Quelle somme doit-on investir maintenant pour accumuler une somme de 1 000$ dans 5 ans si le taux annuel est de 12%? P = ? F = 1 000$ i =12% N =5

Effet de divers taux d’actualisation: Exemple 2.10 Montant forfaitaire de 1 millions $ sera reçu dans 50 ans. Quelle est la valeur actualisée équivalente de ce montant à 5%, à 10% et à 25%?

Les formules de flux monétaires uniques: Comment trouver N Connaissant P, F et i, comment trouver N:

Un truc commode pour estimer N ou i si F/P = 2: La règle de 72 Combien de temps met un placement pour doubler en valeur (i.e. F/P = 2) si le taux d’intérêt est de 8%? i en %

Les formules de flux monétaires uniques: Comment trouver i Connaissant P, F et N, comment trouver i: Attention: Vrai seulement pour les flux monétaires uniques!

Comment trouver i: Exemple À quel taux 6 000$ mettra-il 10 ans pour doubler? Règle de 72:

La règle de 72 Estimation de N Estimation de i

Facteur de capitalisation d’une annuité Flux monétaires constants et périodiques: les annuités 1. Capitalisation 1 2 3 N-1 N A F (Eq. 1) (Eq. 2) Facteur de capitalisation d’une annuité Notation: F = A(F/A, i, N)

Capitalisation d’une annuité: Exemple 2.13 Versement de 3 000$ à la fin de chaque année, dans un compte d’épargne offrant un taux annuel de 7%. Quel est le montant accumulé après 10 ans? A = 3 000$ F = ? i = 7%

Facteur d’actualisation d’une annuité Flux monétaires constants et périodiques: les annuités 2. Actualisation A A A A A 1 2 3 N-1 N P Facteur d’actualisation d’une annuité Notation: P = A(P/A, i, N)

Actualisation d’une annuité: Exemple 2.18 Un gagnant de loterie recevra 24 000$ par année pendant 21 ans. Il songe à quitter son emploi pour lancer sa propre entreprise, mais il a besoin de 250 000$ tout de suite. Combien peut-il emprunter maintenant à 10% en promettant à la banque d’endosser en leur faveur ces entrées de fonds futures? 1 2 3 20 A= 24 000$ 21 P= ?$ i= 10%

Actualisation d’une perpétuité (annuité perpétuelle) Si le nombre de périodes N tend vers l’infini: Facteur d’actualisation d’une perpétuité = l’inverse de i Exemple: Quelle est la valeur actualisée de 100$ reçus à la fin de chaque année pour une infinité d’années, si le taux d’intérêt est de 5%?

Facteur d’amortissement d’une annuité Flux monétaires constants et périodiques: les annuités 3. Facteur d’amortissement Facteur d’amortissement: Le facteur pour trouver le montant d’une annuité A qui s’accumulera à une valeur F, étant donné le nombre de période N et le taux d’intérêt i. Facteur d’amortissement d’une annuité Notation: A = F(A/F, i, N)

Amortissement d’une annuité: Exemple Vous désirez accumuler 1 million $ pour votre retraite dans 35 ans. En supposant que vous puissiez obtenir en moyenne un rendement de 8% par année, combien devez-vous épargner à chaque année pour atteindre votre objectif? A =? F =1 M$ i =8% 1 2 3 4 35 34 33

Facteur de recouvrement du capital par annuité Flux monétaires constants et périodiques: les annuités 4. Facteur de recouvrement du capital Facteur de recouvrement: Le facteur pour trouver le montant d’une annuité A étant donné le capital initial (i.e. le montant actualisé P), le nombre de période N et le taux d’intérêt i. Application la plus commune: calcul du montant des paiements d’un prêt Facteur de recouvrement du capital par annuité Notation: A = P(A/P, i, N)

Recouvrement du capital: Exemple 2.16 Emprunt de 250 000$ pour l’achat de matériel de laboratoire, à 8% par année. Remboursable en 6 versements égaux, incluant capital et intérêts, pendant les 6 prochaines années. Quel est le paiement annuel? P = 250 000$ A = ?

Flux monétaires composés Flux monétaires composés de flux monétaires uniques et d’annuités Calculer les valeurs de chacun des flux séparément. Ces valeurs s’additionnent. Exemple: Quelle est la valeur actualisée à 10% d’une annuité de 1 000$ par année pendant 7 ans plus un montant unique de 5 000$ à la fin de la septième année? 1000$ 5000$ P=7434.21$ P=2 565.79$ P=4 868.42$

Flux monétaires composés Les calculatrices financières évaluent les flux monétaires composés d'annuités et de montant uniques en une seule opération. 1000$ 5000$ P=7434.21$ P=2 565.79$ P=4 868.42$

En résumé: TI Nspire/Voyage 200 Les fonctions du "TVM Solver" sont disponibles directement: P = tvmPV(N,i(%),A,F,[K], [M]) = A(P/A. i, N) + F(P/F, i, N) F = tvmFV(N,i(%),P,A,[K], [M]) = A(F/A. i, N) + P(F/P, i, N) A = tvmPmt(N,i(%),P,F,[K], [M]) = P(A/P. i, N) + F(A/F, i, N) N = tvmN(i(%),P,A,F,[K], [M]) = log(F/P)/log(1+i) i(%) = tvmI(N,P,A,F,[K], [M]) = (F/P)1/N-1 si A = 0 Note: Avec la Voyage 200, mettre "_" après "tvm" Note: [K] et [M] sont optionnels

Flux monétaires irréguliers Les flux monétaires irréguliers doivent être décomposés en une série de flux monétaires uniques P1 P2 P3 1 2 3 F1 F2 F3 + = F1 F2 F3 P =P1 +P2 +P3 1 2 3

Formule de flux monétaire irrégulier Calculer le P de chaque flux monétaire futur Fn séparément et les additionner Formule générale:

Flux monétaire irrégulier: exemple Trouver la valeur présente du flux monétaire suivant, à un taux d’intérêt de 10%: 300$ 250$ 100$ 100$ 50$ -200$ P = 360.26$

TI Nspire/Voyage 200: La fonction NPV La fonction NPV donne l’équivalence d’un flux monétaire quelconque: Sur la Voyage 200 et la Nspire: P = npv(i,F0,{F1..Fn},{f1,...,fn}) fn:fréquence des flux monétaires. Optionel si = 1 La fonction npv donne l'équivalence et n'inverse pas le signe de P -200$ 50$ 100$ 250$ 300$ P = 360.26$

Flux monétaires irréguliers: Exemple 2.12 (p.73) Contrat de Troy Aikman Valeur actuelle des versements s’il peut placer son argent à 6%? Pour la prime de signature, devrait-il accepter un montant forfaitaire de 8 M$ au lieu des versements annuels de 1.375 M$? On suppose que les paiements sont faits en début d’année.

Flux monétaires irréguliers: Exemple 2.12 (p.73) Note: Convention de fin d’année. La premier paiement est donc fait à la période 0, le deuxième à la fin période 1, etc. i.e. Fin de l'année 0 = Début de l'année 1

Flux monétaires irréguliers: Exemple 2.12 (p.73) Calcul avec la TI Nspire/Voyage 200. Salaires: P = npv(6,2500,{1750,4150,4900,5250,6200,6750,7500})= 30496 Prime de signature: P = npv(6,1375,{1375},{7})= 9051 Revenu total: P = 30 496$ + 9 051$ = 39 547$ ou: P = npv(6,3875,{3125,5525,6275,6625,7575,8125,8875})= 39547

Exemple 2.12 (p.73): Une preuve tabulaire du résultat Interprétation de la valeur présente de 39 547 $ Si Troy Aikman peut déposer 39 547$ dans un compte de banque payant 6% d’intérêt par année, il pourra retirer de ce compte des montants identiques à ceux prévus dans son contrat et le solde du compte à la fin sera exactement de 0. t Dépôt Intérêts à 6% Retraits Solde du compte 39 547 $ 0 $ (3 875 $) 35 672 $ 1 2 140 $ (3 125 $) 34 687 $ 2 2 081 $ (5 525 $) 31 244 $ 3 1 875 $ (6 275 $) 26 843 $ 4 1 611 $ (6 625 $) 21 829 $ 5 1 310 $ (7 575 $) 15 563 $ 6 934 $ (8 125 $) 8 372 $ 7 502 $ (8 875 $) (0 $) Total 10 453 $ (50 000 $)  

Gradient linéaire strict Définition: Flux monétaire qui augmente ou diminue d'un montant constant G à chaque période G 2G 3G (N-2)G (N-1)G G > 0 1 2 3 4 Le premier mouvement d'un gradient linéaire strict est toujours 0 N -1 N Années (N-1)G N N -1 G 2G 3G (N-2)G G < 0 1 2 3 4

Actualisation d’un gradient linéaire strict Facteur d'actualisation d'un gradient linéaire

Situation pratique Malheureusement, il est très rare dans la pratique que A1 = 0 Dans un modèle financier, la situation suivante est beaucoup plus courante: A1 A1+G A1+2G A1+3G A1+4G Il nous faut recourir à une astuce…

Décomposition en une annuité et un gradient linéaire strict A1+G A1+2G A1+3G A1+4G G 2G 3G 4G + = Un gradient G Une annuité A1 Ces deux flux monétaires peuvent maintenant être analysés algébriquement…

Actualisation d'un gradient linéaire: Exemple 2.20 Une usine de textile vient d'acheter un chariot élévateur dont la durée de vie utile est de 5 ans. L'ingénieur estime que les coûts d'entretien de ce véhicule durant la première année seront de 1 000$. Les coûts d'entretien devraient augmenter à mesure que le chariot élévateur s'use, au rythme de 250$ par année pour le reste de sa durée de vie utile. Supposons que les dépenses d'entretien surviennent à la fin de chaque année. L'entreprise souhaite créer un compte d'entretien qui porte intérêt à un taux (effectif) annuel de 12%. Tous les frais d'entretien seront acquittés à partir de ce compte. Combien l'entreprise doit-elle déposer dans ce compte aujourd'hui. P = ? 1 000$ 1 250$ 1 500$ 1 750$ 2 000$

+ = Exemple 2.20 (suite) Annuité PA P = PA + PG PG Gradient linéaire 1 000$ 2 000$ 1 750$ 1 500$ PA 1 250$ + 1 000$ = 1 000$ 750$ 500$ 250$ P = PA + PG PG Gradient linéaire

Actualisation de l'annuité: PA=A(P/A, i, N) = 1000$(P/A, 12%, 5) Exemple 2.20 (suite) Actualisation de l'annuité: PA=A(P/A, i, N) = 1000$(P/A, 12%, 5) = 3 604$ Actualisation du gradient linéaire PG=G(P/G, i, N) = 250$(P/G, 12%, 5) = 250$ (6.3970) = 1 599$ Valeur actualisée totale P=PA+PG = 3 604$ + 1 599$ = 5 204$ Fonction "maison" sur les TI (disponible sur le site du cours GIA400): pvgl(N,i%,A,G) pvgl(5,12,1000,250)=5204

Méthode du flux quelconque: Exemple 2.20 (suite) On toujours traiter n'importe quel flux monétaire, même un gradient, comme un flux monétaire quelconque et résoudre avec la fonction NPV! P = 5 204$ 1 000$ 1 250$ 1 500$ 1 750$ 2 000$ Méthode du flux quelconque: P = npv(12,0,{1000,1250,1500,1750,2000})=5204$

Formules d'équivalence d'un gradient linéaire: Conversion d'un gradient linéaire en annuité constante Facteur de conversion d'un gradient linéaire en annuité

Conversion d'un gradient linéaire en annuité: Exemple 2.21 Jean et Bernadette ouvrent chacun un compte d'épargne à leur coopérative d'épargne et de crédit. Ces comptes portent intérêt à un taux annuel de 10% (effectif). Jean souhaite déposer 1 000$ dans son compte à la fin de la première année et accroître ce montant de 300$ à chacune des 5 années suivantes, Bernadette veut déposer un montant égal pendant les 6 prochaines années. Quel devra être la valeur du dépôt annuel de Bernadette pour que les deux comptes aient un solde égal à la fin des 6 années? 1 000$ 1 300$ 1 600$ 1 900$ 2 200$ 2 500$ Jean F(Jean) = F(Bernadette) A=? Bernadette i=10%

Exemple 2.21: Première solution Jean = A = 1 000$ + 1 000$ 1 300$ 1 600$ 1 900$ AG= 667.08$ 2 200$ 2 500$ 300$ 600$ 900$ 1200$ 1500$

Exemple 2.21: Première solution Jean: Annuité A = 1 000$ + AG= 667.08$ Jean: Annuité équivalente au gradient ATotal= 1 667.08$ Bernadette: Annuité totale équivalente =

Deuxième solution: Solutionner comme un flux quelconque Jean i=10% Actualisation du gradient pvgl(6,10,1000,300) = 7260.51$ ou npv(10,0,{1000,1300,1600,1900,2200,2500})=7260.51$ 1 000$ 1 300$ 1 600$ 1 900$ P= 7 260.51$ 2 200$ 2 500$ Conversion de la valeur présente en annuité équivalente 1 667$ P= 7 260.51$

Facteur de capitalisation d'un gradient linéaire Formules d'équivalence d'un gradient linéaire: Capitalisation d'un gradient linéaire Facteur de capitalisation d'un gradient linéaire Facteur d'actualisation d'un gradient linéaire Facteur de capitalisation d'un montant unique X

Capitalisation d'un gradient linéaire (décroissant): Exemple 2.22 Vous effectuez une série de dépôts annuels dans un compte bancaire qui porte intérêt à un taux de 10% (effectif). Le dépôt initial à la fin de la première année est de 1 200$. Les dépôts subséquents décroissent de 200$ chacune des 4 années suivantes. De combien disposerez-vous immédiatement après le cinquième dépôt? i = 10% F = ? 400$ 600$ 800$ 1 000$ 1 200$

= – Exemple 2.22 FA F= FA+ FG FG F= FA– FG 200$ 400$ 600$ 800$ – FG 400$ 600$ 800$ 1 000$ 1 200$ F= FA– FG F= A(F/A, i, N) – G(F/G, i, N) F= A(F/A, i, N) – G(P/G, i, N)(F/P, i, N) F= 1 200$ (F/A, 10%, 5) – 200$ (P/G, 10%, 5)(F/P,10%, 5) F= 7 326$ – 200$ (6.862)(F/P, 10%, 5) = 7 326$ – 1 372$(F/P,10%,5) F= 7 326$ – 2 211$ = 5 115$

Exemple 2.22 Solution avec la TI: F = 3176.58$ (F/P, 10%,5) = 5 115.91$ i = 10% 400$ 600$ 800$ 1 000$ 1 200$ P = pvgl(5,10,-1200,200)=-3176.58 F = tvm_fv(5,10,-3176.58,0)=5115.92 En une seule étape: tvm_fv(5,10,pvgl(5,10,-1200,200),0)=5115.92

Gradients géométriques 1 2 3 4 g < 0 N N -1 A1 A1(1+g) A1(1+g)N-1 A1(1+g)2 Années Définition: Flux monétaire qui augmente ou diminue d'un pourcentage constant g à chaque période Une situation très fréquente en modélisation financière

Formules d'équivalence d'un gradient géométrique: Actualisation Facteur d'actualisation d'un gradient géométrique

Actualisation d'un gradient géométrique: Exemple 2.23 Ansell Inc., un fabricant d'appareils médicaux, utilise l'air comprimé pour contrôler divers équipements de production automatisé. Le système de distribution d'air comprimé actuel présente de nombreuses fuites et fonctionne actuellement 70% du temps (24 heures par jour, 250 jours de production par année). La puissance du système est de 260 kW (et non kWh: erreur dans le livre) au tarif de 0.05$/kWh. Si le système n'est pas remis en état, les fuites continueront d'augmenter de sorte que le temps de fonctionnement du compresseur augmentera de 7% par année et ne suffira plus dans 5 ans. Si Ansell décide de remplacer tout le système de distribution aujourd'hui, il en coûtera 28 570$, mais le taux d'utilisation du compresseur diminuera de 23% et se situera donc à 70%x(1-23%) = 53.9% par jour. Si Ansell obtient un taux d'intérêt de 12%, devrait-elle remplacer son système maintenant?

Exemple 2.23 Il faut calculer la valeur présente de la consommation d'énergie des deux options. Si la différence est plus grande que le coût du remplacement, il est avantageux de remplacer Non-remplacement i = 12% A1 = ? g = +7% P = ? Fonction "maison" sur les TI (disponible sur le site du cours): pvgg(N,i%,A1,g) pvgg(5,12,-54600,7)=-222937

Exemple 2.23 Il faut calculer la valeur présente de la consommation d'énergie des deux options. Si la différence est plus grande que le coût du remplacement, il est avantageux de remplacer. Remplacement P = ? A = ? i = 12% Remplacer

Formules d'équivalence d'un gradient géométrique: Capitalisation Facteur de capitalisation d'un gradient géométrique

Capitalisation d'un gradient géométrique: Exemple 2.24 Jérémie Cantin, un travailleur autonome, ouvre un compte de retraite à la banque. Son objectif est d'y accumuler 1 000 000$ d'ici son départ pour la retraite dans 20 ans. Une banque locale lui propose un compte de retraite portant intérêt à 8%, composé annuellement, pendant 20 ans. Jérémie prévoit que son revenu annuel augmentera de 6% par année pendant le reste de sa carrière. Il entend faire un premier dépôt à la fin de la première année et augmenter ses dépôts subséquents de 6% chaque année. Quel devra être le montant de son premier dépôt?

Exemple 2.24 F = 1 000 000$ i =8% g =6% Années 1 2 3 4 N -1 20 A1= ? P = tvm_pv(20,8,0,1000000) P = pvgg(20,8,a1,6)  Nsolve(tvm_pv(20,8,0,1000000) =pvgg(20,8,a1,6),a1) =13756.85

Gradient géométrique composé Quand la croissance du flux monétaire dépend de plusieurs gradients: On calcule le facteur g total en composant les sous-facteurs ainsi: Exemple: Flux monétaire = Unités vendues x Prix de vente unitaire Croissance du volume de vente (unités vendues): 7% par année Croissance du prix de vente: 5% par année Croissance du flux monétaire

Gradient géométrique infini Une des formules les plus remarquables de la Finance!

Résumé des fonctions TVM Il doit y avoir un changement de signe entre PV, A et FV pour être en équilibre On cherche N : TVMN(I,PV,PMT,FV) On cherche I : TVMI(N,PV,PMT,FV) On cherche P: TVMPV(N,I,PMT,FV) On cherche A: TVMPMT(N,I,PV,FV) On cherche F: TVMFV(N,I,PV,PMT) 1 2 3 N-1 N A FV PV Cours TI N i I P PV A PMT F FV

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Valeur actualisée (présente) VA=(taux, npm, vpm, vc, type) Fonctions EXCEL Valeur actualisée (présente) VA=(taux, npm, vpm, vc, type) taux: taux d’intérêt par période npm: nombre de périodes vpm: annuité équivalente vc: valeur capitalisée (future) Type: 0 ou omis = fin de période; 1= début de période Valeur capitalisée (future) VC=(taux, npm, vpm, va, type) va: valeur actualisée (présente) Nombre de période: NPM =(taux,vpm,va,vc,type) Taux d’intérêt: TAUX =(npm,vpm,va,vc,type) Si flux à montant unique, Mettre vpm = 0 ou blanc et vc = le montant unique Si flux à montant unique, Mettre vpm = 0 ou blanc et va = le montant unique Si flux à montant unique, Mettre vpm = 0 ou blanc et va et vc = les montants connus

Fonctions EXCEL (suite) Montant d’une annuité équivalente à P ou F VPM =(taux, npm, va, vc, type) taux: taux d’intérêt par période npm: nombre de périodes va: valeur actualisée (présente) vc: valeur capitalisée (future) Type: 0 ou omis = fin de période; 1= début de période Valeur présente équivalente (PE) d’un flux monétaire irrégulier VAN=(taux, valeur 1, valeur 2,, valeur n) Valeur n: la valeur du flux monétaire à la fin de la période 1, 2, etc. (il n' y pas de période 0) Ne jamais inclure la valeur 0 (Excel croira que c'est la valeur 1) Les valeurs peuvent être un vecteur (ex. C5:C15) Si on connaît P, va = P et vc est omis(,,) Si on connaît F, vc = F et va est omis(,,)

Fonctions EXCEL (suite) Taux de rendement d'un flux monétaire quelconque (i.e. le taux de rendement interne ou TRI) TRI = (valeur 0, valeur 1, valeur 2,… valeur n,[essai]) Résultat TRI: taux d’intérêt par période Valeur n: la valeur du flux monétaire à la fin de la période 0,1, 2, etc. Les valeurs doivent être un vecteur (ex. C5:C15) Essai: il est parfois nécessaire de donner une valeur de départ à l'algorithme d'extraction de racine, car il y a une limite (100?) au nombre d'itérations qu'Excel fait.