Chapitre 6 Cinématique II

1. MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE UNIFORME (MRU) 1.1. Rappel 1.2. Définition 1.3. Equations de mouvement Equations horaires Graphe de l’accélération Graphe de Vitesse Graphe de Position 2. RELATIONS ENTRE POSITION VITESSE ET ACCELERATION : 2.1. Relation entre vitesse v(t) et position x(t) : 2.2. Relation entre accélération a(t) et vitesse v(t) 2.3. Relation entre accélération a(t)et position x(t) : 3. MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE UNIFORMÉMENT VARIÉ (MRUV) 3.1. Définition 3.2. Equations du mouvement Graphe de vitesse Graphe de position 4. MOUVEMENT DE ROTATION : DÉFINITIONS 4.1. Rotation d’un solide 4.2. Vitesse angulaire, ou vitesse de rotation  4.3. Accélération angulaire  5. MOUVEMENT DE ROTATION UNIFORME (MCU) 5.1. Définition 5.2. Equations horaires de mouvement 6. MOUVEMENT DE ROTATION UNIFORMÉMENT VARIÉ (MCUV) 6.1. Définition 6.2. Equations horaires de mouvement 7. VITESSE ET ACCÉLÉRATION D’UN POINT D’UN SOLIDE EN MOUVEMENT DE ROTATION 7.1. Vitesse d’un point 7.2. Accélération

MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE UNIFORME (MRU): Rappel : Lorsqu’un solide S subit un mouvement de translation (quel- conque, rectiligne ou circulaire) par rapport à un repère R, tous les points de ce solide ont la même vitesse par rapport au repère R. Définition : Un mouvement de translation rectiligne uniforme se réalise sans accélération (0 m/s2) et avec une vitesse constante au cours du temps. Il est souvent noté M.R.U ou M.T.U

Equations de mouvement : ou Equations horaires Étudions une voiture qui roule à vitesse constante sur une autoroute complètement rectiligne. Soient : t0 : instant initial (en s); x0 : le déplacement initial (en m), à t=t0 ; v0 : la vitesse initiale (en m/s); x(t) : le déplacement x (en m) à l’instant t.

Equations du mouvement Graphes du mouvement Graphe de l’accélération ou équations horaires Equations du mouvement a Graphe des vitesses t t0 tf v a = 0 m.s-2 v = cste = v0 m.s-1 x = v0 . (t-t0)+ x0 m v0 Graphe de la position t Si le MRU commence à l’instant t0=0s, les équations horaires deviennent: x a = 0 m.s-2 v = cste = v0 m.s-1 x = v0 . t + x0 m x0 t

Variation de position Intervalle de temps RELATIONS ENTRE POSITION ET VITESSE DANS LE CAS D’UN M.R.U: Relation entre vitesse v(t) et position x(t) : Vitesse moyenne, vitesse instantanée : notée vmoy notée v ou v(t) t x déplacement quelconque : Δx Δt représente la vitesse moyenne. Δ x(t) Δ t = ou vmoy = Variation de position Intervalle de temps t x déplacement MRU : la vitesse instantanée (à chaque instant), v(t), est constante et égale à la vitesse moyenne. Δx Δt Relation position/vitesse : Si le mouvement est quelconque peut-on trouver v(t) à partir de x(t)? On va démontrer que :

Dans les 2 cas si je cherche par le calcul, l’expression : a = cste m.s-2 v = a.(t-t0) + v0 m.s-1 x = . (t-t0)2+ v0.(t-t0)+ x0 m a = 0 m.s-2 v = cste = v0 m.s-1 x = v0 . (t-t0)+ x0 m MRUV MRU Dans les 2 cas si je cherche par le calcul, l’expression : - + = v0 – 0 + 0 = v(t) = 1/2.a.( 2.t - 2.t0 + 0 ) + v0 + 0 = a.(t-t0) + v0 = v(t) t x Quelque soit le type de mouvement : on trouve également écrit : À un instant t, la vitesse est égale au coefficient directeur de la tangente.

à noter RELATIONS ENTRE POSITION VITESSE ET ACCELERA- TION : v(t)= d x(t) d t Relation entre vitesse v(t) et position x(t) : v(t)= Δ x(t) Δ t Variation de position Intervalle de temps = Si MRU : a(t)= d v(t) d t Relation entre accélération a(t) et vitesse v(t) : a(t)= Δ v(t) Δ t Si MRUV : a(t)= d x2(t) d t2 Relation entre accélération a(t) et position x(t) :

MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE (MRUV): ou MRUA ou MTUA Définition : Pour ces mouvements, l’accélération reste constante au cours du temps. Il est souvent noté M.R.U.V. a = constante ≠ 0

Equations de mouvement : ou Equations horaires Reprenons notre même véhicule. Le conducteur décide d’écraser (raisonnablement) l’accélérateur. Soient : t0 : instant initial (en s); x0 : le déplacement initial (en m), à t=t0 ; v0 : la vitesse initiale  (en m/s); a0 : l’accélération initiale (en m/s2) x(t) : le déplacement x (en m) à l’instant t.

Equations du mouvement Equation indépendante du temps : Graphes du mouvement Graphe de l’accélération ou équations horaires Equations du mouvement a [m/s2] a0 Graphe des vitesses t t0 tf a = cste m.s-2 v = a.(t-t0) + v0 m.s-1 x = . (t-t0)2+ v0.(t-t0)+ x0 m 1 2 v [m/s] 3 Graphe de la position v0 Equation indépendante du temps  : v2 - v02= 2a.(x- x0) t 4 Utilisée pour résoudre des problèmes où n’est donné qu’un couple de conditions particulières entre v et x. x [m] Si le MRUV commence à l’instant t0=0s, v0 =0 et x0 =0 les équations horaires deviennent: x0 a = cste m.s-2 v = a.t m.s-1 x = . t2 m t

Pour résumer : MRU ou MRUV a   ’’  x .. ( ) Nature du mouvement : Mvt Rectiligne Uniforme Equations du mouvement t a = 0 (m.s-2) v = v0 = cste (m.s-1) x = v0 . (t-t0) + x0 (m) v  ’ . x ( ) Graphes t x   t0, x0, v0 étant les conditions initiales du mouvement, t Avec : Nature du mouvement : Mvt Rect Unifor.. Varié a   ’’  Equations du mouvement a = cste (m.s-2) v = a.(t-t0) + v0 (m.s-1) x = .a.(t-t0)2+v0.(t-t0) + x0 (m) t Graphes v   ’  t Equation indépendante du temps  : v2 - v02= 2 . a . (x- x0) x   t   Avec :

MOUVEMENT DE ROTATION : DÉFINITIONS Rotation d’un solide M 1 2 x q = ( t ) D I nsta n O Pour connaître, à tout instant t, la position d’un solide indéformable subissant un mouvement de rotation, il nous suffit de définir sa position angulaire [rd]. Vitesse angulaire, ou vitesse de rotation  : Entre deux instants t1 et t2 , nous pouvons définir une vitesse angulaire moyenne: s’exprime en [rad/s]

Si l’intervalle de temps (t2 – t1) devient très petit, nous obtenons, à un instant t, la vitesse angulaire instantanée. La vitesse angulaire ω s’exprime en [rd/s] Par conséquent, la vitesse angulaire est la dérivée par rapport au temps de la position angulaire. Accélération angulaire  : En dérivant la vitesse angulaire, nous obtenons l’accélération angulaire : = L’accélération angulaire s’exprime en rad/s2

Equation indépendante du temps : Mouvement Circulaire Uniforme α   ’’  θ .. Equations du mouvement t ( ) α = 0 rd.s-2 ω = ω0 =cste rd.s-1 θ = ω0 . (t-t0) + θ0 rd . θ ω  ’ ( ) Graphes t  t Mouvement Circulaire Uniformément Varié Equations du mouvement α   ’’  α = cste rd.s-2 ω = α.t + ω0 rd.s-1 θ = .α.(t-t0)2+ω0.(t-t0) + θ0 (rd) t Graphes ω   ’  t Equation indépendante du temps  : ω2 - ω02= 2.α .(θ- θ0) θ   t

VITESSE ET ACCÉLÉRATION D’UN POINT D’UN SOLIDE EN MOUVEMENT DE ROTATION Vitesse d’un point : + : M / : tangent à T(M S/R) ou ┴ à OM ↑ : orienté par le sens du Mvt De manière mathématique, l’expression du vecteur vitesse se trouve en : ↔ : V = r . ω notons r = OM T ( M Î S / R ) En dérivant (par rapport au temps) le vecteur position ,   dans le repère , nous obtenons :   = M _ θ(t) O N x

VITESSE ET ACCÉLÉRATION D’UN POINT D’UN SOLIDE EN MOUVEMENT DE ROTATION / : 2 composantes (une tangente et une suivant le rayon) ↑ : orientés par le sens du Mvt pour at , et la courbure pour an De manière mathématique, l’expression du vecteur accélération se trouve en :   notons r = OM T ( M Î S / R ) En dérivant (par rapport au temps) le vecteur vitesse ,   dans le repère , nous obtenons :   = M _ θ(t) O x