Modèle Black-Scholes Merton L’intuition derrière ce modèle D’après David Harper

Comprendre le modèle : Une petite présentation L’importance historique et économique La formule de B & S Les conditions Le modèle en pratique L’extension de la formule

Une petite présentation C’est un modèle utilisé en mathématique financière afin d'estimer en théorie la valeur d'une option financière, du type option européenne.

L’importance historique et économique Inauguration de l’étude en 1900 par Louis Bachelier Publication en 1973 : prolongement de travaux réalisés par Paul Samuelson et Robert Merton L'intuition fondamentale : mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent Influence considérable dans les marchés financiers

Formule de Black-Scholes Objectif : Calculer la valeur théorique d'une option à partir des cinq données suivantes : S0 la valeur actuelle de l'action sous-jacente T le temps qui reste à l'option avant son échéance (exprimé en années) K le prix d'exercice fixé par l'option r le taux d'intérêt sans risque σ la volatilité du prix de l'action

Prix théorique d’un Call : option d’achat : Il donne le droit d'acheter l'actif S à la valeur K à la date T, est caractérisé par son pay off : Le prix de l'option est donné par l'espérance sous probabilité risque neutre du pay off terminal actualisé : On obtient : De même pour un Put, option de vente on a :

Avec : N la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N(0,1), c'est-à-dire : Hypothèse : les rendements de l'actif sous-jacent sont gaussiens  la valeur de l'actif suit une diffusion brownienne géométrique. La volatilité : difficile à évaluer d’où on utilise le prix de l'option coté dans les marchés, On obtient ainsi la « volatilité implicite »

Les conditions le prix du sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique  la volatilité est connue à l'avance et est constante  il est possible d'acheter et de vendre le sous-jacent à tout moment et sans frais  les ventes à découvert sont autorisées (où on emprunte une certaine quantité du sous-jacent pour la vendre)  il n'y a pas de dividende  le taux d'intérêt est connu à l'avance et est constant  l'exercice de l'option ne peut se faire qu'à la date d'échéance, pas avant (option à exercice européen, dite option européenne)

Critique du modèle : Il y’a un écart entre ce modèle et la réalité (T n’est pas continu), qui devient important quand les marchés sont agités avec de fréquentes discontinuités de cours.

Le modèle en pratique En réalité la volatilité dépend du prix d'exercice et de la maturité. En pratique pour une maturité donnée, la volatilité implicite a une forme de sourire : smile La différence entre la volatilité implicite observée et celle à la monnaie s'appelle le skew

Smile & Skew La volatilité est au plus faible at the money. Remarque : le smile n'est souvent pas symétrique sur le marché des actions : plus haut du coté put que du coté call. Car les acteurs de marché sont plus sensibles au risque de baisse qu'au risque de hausse de l'action.

L’extension de la formule Le modèle B & S peut être étendu aux options sur des instruments payant des dividendes Hypothèse : les dividendes sont payés sans interruption. Et on les note : q constant, dans le prix arbitrage-libre est donc :

Cas d’instruments payant des dividendes discrets : proportion δ du prix (cours) d'actions ait payé comme dividende aux dates prédéterminées T1,T2.... Le prix des actions : où n(t ) est le nombre de dividendes qui ont été payés au temps t . Le prix d'une option d'achat sur des telles actions est encore: où maintenant : est le prix en avance des actions payant du dividende.

Réalisé par: Mébarka KAID Afef DRINE Sofia OUCHENE Imad JEBBARI Khalid AARAB