Mathématiques Mise à niveau

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1 Mathématiques Mise à niveau
L3 SPI AGE

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3 Mathématiques Déroulé du cours
I Arithmétique et théorie des ensembles II Bases de calcul matriciel A Définitions B Matrices particulières et opérations de base TD III Notion de rang A Définition B Application ‘drapeaux’ TD sur ordi C Intérêts applicatifs IV Décompositions A Décomposition en matrices de rang 1: formes canonique et matricielle B Décomposition en valeurs singulières C Décomposition en éléments propres TD sur ordi Mathématiques Déroulé du cours 3

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8 Distances, échelle Log

9 I Arithmétique et théorie des ensembles
Valeur réelle A l’échelle Diamètre Soleil 1. 10^6 km distance S-Mercure 50. 10^6 km distance S-T ^6 km 1 U.A. S-Jupiter 5 U.A. S-Saturne 10 U.A. S-Uranus 20 U.A S-Neptune 30 U.A. S-Pluton 40 U.A

10 Valeur réelle A l’échelle Diamètre VY Canis 1. 10^9 km 1 année lumière (L.Y.) ^9 km distance S-Proxima Centaure 4 L.Y. Diamètre Galaxie L.Y. Distance S- Galaxie Andomède 3.10^6 L.Y.

11 Valeur réelle A l’échelle Diamètre Soleil 1. 10^6 km 1 mm distance S-Mercure 50. 10^6 km 50 mm distance S-T ^6 km 1 U.A. 150 mm S-Jupiter 5 U.A. 750 mm S-Saturne 10 U.A. 1500 mm S-Uranus 20 U.A 3000 mm S-Neptune 30 U.A. 4500 mm S-Pluton 40 U.A 6000 mm

12 Valeur réelle A l’échelle Diamètre VY Canis 1. 10^9 km 1 m 1 année lumière (L.Y.) ^9 km 10 km distance S-Proxima Centaure 4 L.Y. 40 km Diamètre Galaxie L.Y. 10^6 km =Diamètre S ou 3 * dist T-Lune Distance S- Galaxie Andomède 3.10^6 L.Y. 30. 10^6 km

13 Théorie des ensembles

14 Théorie des ensembles Nombre de planètes ou étoiles dans ??
Distances dans ??

15 Etoiles R Doradus < Betelgeuse < VY Canis Majoris
Orbites Jupiter < Saturne < Uranus < Neptune < Pluton < Ceinture de Kuiper

16 Fonctions périodiques

17 Fonctions périodiques
Fonctions périodiques: la position des planètes autour du soleil Terre: Sa position autour du soleil reprend la même valeur tous les ans -> période 1 an

18 II Bases de calcul matriciel
A Définition Définition: Une matrice de dimension n x p est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes. Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice.

19 TD ! II Bases de calcul matriciel
B Matrices particulières et opérations de base Un vecteur est une matrice de taille n x 1. Une matrice carrée est une matrice de taille n x n Exemple: application linéaire M de R2 dans R2 TD !

20 Définition: Le rang d'une matrice A est:
III Notion de rang A Définition Définition: Le rang d'une matrice A est: -le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linéairement indépendants; -le nombre minimal de matrices de rang 1 qui, par somme, donnent A.

21 Drapeaux Français et Allemand: matrices de rang ??
III Notion de rang B Exemple des drapeaux Drapeaux Français et Allemand: matrices de rang ??

22 III Notion de rang C Intérêts applicatifs Etudes statistiques

23 Comment décomposer adéquatement une matrice ?
III Notion de rang C Intérêts applicatifs Débruitage d’images Problématique: Comment décomposer adéquatement une matrice ?

24 IV Décompositions A Décomposition en matrices de rang 1 Définition: Une matrice de rang r est égale à la somme de r matrices de rang 1. = * Rang Rang Rang 1

25 Définition: la SVD d’une matrice M: Forme canonique
IV Décompositions B Décomposition en valeurs singulières Définition: la SVD d’une matrice M: Forme canonique M= s1 u1 v1’ + s2 u2 v2’ + … + sr ur vr’ Forme matricielle M= U S V’ U et V: matrices unitaires S est une matrice diagonale. ()’ dénote transpose.

26 Illustration: Intérêt pour les statistiques
IV Décompositions B Décomposition en valeurs singulières Illustration: Intérêt pour les statistiques Largeur (W) et hauteur (L) de visages humains u1 et u2: tendances ou « directions de plus grande variation » de l’étude Obtenus par svd

27 Illustration: Intérêt pour la compression d’images
IV Décompositions B Décomposition en valeurs singulières Illustration: Intérêt pour la compression d’images Image brute Approximation de rang croissant: 1,2, … 128 termes pour la décomposition Par Sharayanan — Self-made, from Image:Antinous

28 TD sur ordi ! IV Décompositions
B Décomposition en valeurs singulières Illustration: Intérêt pour le débruitage d’images Image brute Premier terme de la décomposition TD sur ordi !

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