Jacques Paradis Professeur

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1 Jacques Paradis Professeur
Fonctions Jacques Paradis Professeur Département de mathématiques

2 Département de mathématiques
Plan de la rencontre Réseau de concepts Élément de compétence Définition et représentation graphique d’une fonction Classification des fonctions avec leur domaine (Introduction au domaine d’une fonction) Modélisation de situations simples Département de mathématiques

3 Département de mathématiques
Réseau de concepts Fonction Définition Domaine Types Graphique Composées Limite Dérivée Appli- cation Département de mathématiques

4 Département de mathématiques
Élément de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d’une fonction représentée sous forme d’expression symbolique ou sous forme graphique Reconnaître une fonction sous sa forme symbolique et la représenter graphiquement Trouver le domaine d’une fonction, ses zéros, l’ordonnée à l’origine Classer les fonctions Modéliser certaines situations simples Élément de compétence no 1, en partie. Département de mathématiques

5 Définition de fonction
Une fonction réelle f est une relation de IR vers IR qui fait correspondre à tout élément de IR au plus un élément de IR : f : IR IR x y x (variable indépendante) et y (variable dépendante) On écrit (x , y)  f ou y = f(x) Exemple : y = f(x) = x2 + 4x - 5 où f(2) = = 7, ce qui donne le couple (2 , 7), f(-3) = ? et f(a+h) = ? Département de mathématiques

6 Département de mathématiques
Exemple de fonction A B f Avec Ensemble de départ : { 5, 2/3, , 2, 7/5 } Ensemble d’arrivée : { 1, -9, 5/8 } Domaine de f ( dom f ) : { 5, , 2 } Image de f ( ima f ) : { -9, ⅝ } ⅔  5 2 7/5 1 -9 ⅝ (Graphique sagittal) Département de mathématiques

7 Représentation graphique (1 de 3)
Graphique cartésien : Chaque couple (x , y) est représenté par le point correspondant P(x , y) du plan cartésien Le couple (x1 , y1) x1 est l’abscisse du point et y1, l’ordonnée L’ensemble des couples x y P(x1 , y1) y1 x1 Département de mathématiques

8 Représentation graphique (2 de 3)
Exemple : Soit f(x) = 2x3 + x2 – 5x + 2 Remarque : Une valeur prise par x est « zéro » d’une fonction si on a f(x) = 0. La courbe croisse l’axe des x pour cette valeur. -2, ½ et 1 sont des zéros de f(x). (-1 , 6) (1/2 , 0) (-2 , 0) (3/2 , 7/2) (0 , 2) Ordonnée à l’origine (1 , 0) Remarque : Lorsque la courbe croisse l’axe des x, elle peut changer de signe (+ à – ou – à +). Elle peut également changer de signe pour des valeurs où il y a une discontinuité. Département de mathématiques

9 Département de mathématiques
Exemple Trouver l’ordonnée à l’origine et les zéros de g(x) = 6x2 + 13x – 5. Département de mathématiques

10 Représentation graphique (3 de 3)
Ne représente pas une fonction Représente une fonction Pour vérifier qu’un graphique représente une fonction, une droite perpendiculaire à l’axe des x ne devrait jamais rencontrer le graphique en plus d’un point si on la déplace de gauche vers la droite, par exemple. Exercices : Page 14, exercices 1.1, nos 1 et 3 Page 30, exercices 1.2, no 2 Département de mathématiques

11 Domaine d’une fonction
Déf. intuitive : l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction est bien définie. Ex. Si f(x) = x, alors 4  dom f car 4 est défini et -4  dom f car (-4) est non défini. Déf. formelle : { x  IR | (x , y) existe } Ex. Si f(x) = x, alors dom f = { x  IR | x ≥ 0} = [0 ,  En général, exclure du dom f les valeurs qui annulent le dénominateur (diviseur) donnent une quantité négative sous une racine paire l’ensemble des x appartenant aux réels tel que le couple (x , y) existe (4 , 2), mais (-4 , ?) 3 est aussi bien définie où 3 = 1,732… Département de mathématiques

12 Département de mathématiques
Exemple Déterminer les zéros et le domaine de Département de mathématiques

13 Classification des fonctions algébriques (1 de 5)
Fonctions polynomiales de degré n : f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn Fonctions constantes (degré 0) Ex. f(x) = 3 Fonctions affines (linéaires) (degré 1) Ex. f(x) = 4x – 2 Fonctions quadratiques (degré 2) Ex. f(x) = x2 - x -2 Domaine de ces fonctions : IR On dit de la droite décrite par une fonction constante qu’elle a une pente nulle. La notion de pente intervient également lorsqu’on a une fonction affine [m = 4 (pente positive) dans l’exemple]. Département de mathématiques

14 Classification des fonctions algébriques (2 de 5)
Fonctions rationnelles : , où P(x) et Q(x) sont des polynômes. Ex. : Soit Domaine de ces fonctions : { x  IR | Q(x) ≠ 0 } Ex. : dom f = IR \ { 3/2 , -1/3} Exercice : Trouver le domaine de Département de mathématiques

15 Classification des fonctions algébriques (3 de 5)
Fonctions irrationnelles : Ex. : Soit Domaine de ces fonctions : Si n est impair, alors dom f = dom g Si n est pair, alors dom f = { x  dom g | g(x) ≥ 0 } Ex. : dom f1 = IR \ { 5 } et dom f2 = - , -3] U [3 ,  Exercice : Trouver le domaine de Exercices : page 15, exercices 1.1, no 5, 9a et 9b Exercices : page 30, exercices 1.2, no 3 et 4 Département de mathématiques

16 Classification des fonctions algébriques (4 de 5)
Fonction valeur absolue : f(x) = | x | où Ex. : Soit f(x) = | x -4 | Domaine : dom f = dom g si f(x) = | g(x) | Ex. : dom f = IR où f(x) = | x -4 | x y 4 Département de mathématiques

17 Classification des fonctions algébriques (5 de 5)
Fonctions définies par parties : Exemple 1 : Dom f = IR \ { 0 } Exemple 2 : Dom f = IR 1 x y x y -2 2 4 Exercices : page 34, exercices récapitulatifs, nos 2f et 5 Département de mathématiques

18 Modélisation de situations simples
Exemple : Le point de congélation de l’eau est de 0°C, ou 32°F, et son point d’ébullition est de 100°C, ou 212°F. La fonction qui permet de transformer des degrés Celsius en degrés Fahrenheit est une fonction affine. a) Déterminer l’équation de la droite qui décrit le lien entre C et F. b) Transformer 10°C en degrés F. c) Transformer 350°F en degrés C. (0 , 32) (100 , 212) C F Département de mathématiques

19 Modélisation de situations simples (suite)
Il en coûte 1080 $ pour un voyage entre Montréal et Athènes si l’avion transporte 200 passagers. La société aérienne a calculé que chaque augmentation de 5 passagers lui permet de réduire le prix du billet de 13 $. Donner la fonction qui permet de calculer le revenu de la société en fonction du nombre d’augmentions de 5 passagers et préciser son domaine si la capacité maximale de l’avion est de 345 passagers. Soit x : le nombre d’augmentations N. d’augmentations N. de passagers Prix ($) Revenu 200 1080 200 × 1080 1 (5) 1080-1(13) ( )( ) 2 (5) 1080-2(13) ( )( ) X 200 + x(5) 1080-x(13) ( x)( x) Département de mathématiques

20 Modélisation de situations simples (suite)
Un morceau de carton rectangulaire de 24 cm sur 41 cm doit servir à fabriquer une boîte ouverte sur le dessus. Pour construire cette boîte, on découpe un carré de x cm par x cm dans chacun des quatre coins et on replie les côtés perpendiculaires à la base. Donner la fonction qui représente le volume de cette boîte en fonction de x et donner son domaine. Exercices : page 17, exercices 1.1, nos 2 et 13 Exercices : page 31, exercices 1.2, no 12 Département de mathématiques

21 Département de mathématiques
Devoir Exercices 1.1, p.14, nos 1 à 7, 9, 12 et 13 Exercices 1.2, p. 30, nos 1 à 4, 7, 8, 9, 12 et 13 Exercices récapitulatifs, p.34, # 1, 2, 4(sauf i), 6(sauf e), 16 et 17 Département de mathématiques

22 Département de mathématiques
Devoir (Réponses) 2a) , b) , c) , d) , e) , f) 4g) , h) , j) 6a) y = -4, b) y = 6x + 1, c) y = 7, d) x = -3 17) y = 21x Département de mathématiques

23 Rappel sur la droite (1 de 2)
Soit y = ax + b l’équation d’une droite passant par (x1 , y1) et (x2 , y2), où : b représente l’ordonnée à l’origine : (0 , b) a : pente Exemple : Trouver l’équation de la droite passant par (-2 , 3) et (3 , 1). x1 x2 (x2 , y2) (x1 , y1) y2 y1 b ∆y Exercices : page 14, exercices 1.1, nos 6, 7 et 9 ∆x Département de mathématiques

24 Rappel sur la droite (2 de 2)
Exercices : page 14, exercices 1.1, nos 6, 7 et 9 Département de mathématiques