ALGORITHMES CHEZ LES BABYLONIENS

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1 ALGORITHMES CHEZ LES BABYLONIENS

2 ( x ; y )  ( (x+y)/2 , 2A/(x+y) ) Initialisation: ( 1 ; A ) Arrêt quand Abs(y-x) < epsilon
Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme

3 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme

4 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y 0,001 2 1 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme

5 donc on entre dans la boucle
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme ABS(y-x) = 1 > e donc on entre dans la boucle

6 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y 0,001 2 1 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme 3/2 (x+y) / 2 = 3/2 → x

7 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y 0,001 2 1 3/2 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme 4/3 A / x = 2/(3/2) = 4/3 → y

8 donc on entre dans la boucle
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 3/2 8/3 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme ABS(y-x) = 1/6  0,16 > e donc on entre dans la boucle

9 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y 0,001 2 1 3/2 4/3 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme 17/12 (x+y) / 2 = 17/12 → x

10 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y 0,001 2 1 3/2 4/3 17/12 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme 24/17 A / x = 2/(17/12) = 24/17 → y

11 donc on entre dans la boucle
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 3/2 4/3 17/12 24/17 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme ABS(y-x) = 1/204  0,005 > e donc on entre dans la boucle

12 (x+y) / 2 = (17²+12*24)/(2*12*17) = 577 / 408 → x
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 3 / 2 4 / 3 17 / 12 24 / 17 17/12 24/17 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme 577 / 408 (x+y) / 2 = (17²+12*24)/(2*12*17) = 577 / 408 → x

13 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y 0,001 2 1 3 / 2 4 / 3 17 / 12 24 / 17 577 / 408 24/17 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme 816 / 577 A / x = 2 / (577 / 408) = 816 / 577 → y

14 donc on sort de la boucle
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 3 / 2 4 / 3 17 / 12 24 / 17 577 / 408 816 / 577 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme ABS(y-x) = 1/  < e donc on sort de la boucle

15 La racine carrée de 2 est entre:
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 3 / 2 4 / 3 17 / 12 24 / 17 577 / 408 816 / 577 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme La racine carrée de 2 est entre: 816 / 577 ( 1, ) et / 408 ( 1, )

16 La racine carrée de 2 est entre:
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 3 / 2 4 / 3 17 / 12 24 / 17 577 / 408 816 / 577 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme La racine carrée de 2 est entre: 816 / 577 ( 1, ) et / 408 ( 1, ) Racine de 2  1,414213

17 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – Réalisation sur Algobox
Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme

18 Fin