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Les Nombres Premiers Yves Aubry Cours de I 55 – L3 Info Université du Sud Toulon-Var Septembre 2008.

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2 Les Nombres Premiers Yves Aubry Cours de I 55 – L3 Info Université du Sud Toulon-Var Septembre 2008

3 Quest-ce quun nombre premier ? Cest un entier naturel (élément de N={0,1,2,3,…}) qui vérifie une propriété de divisibilité. Notion de divisibilité à introduire…

4 Domaine de la Théorie des Nombres Cest la reine des Mathématiques A la fois très ancienne et très actuelle

5 Médaille Fields De nombreuses « médailles Fields » en théorie des nombres ; par exemple : -Jean-Pierre Serre (1954) -Alan Baker (1970) -Laurent Lafforgue (2002) -Prix spécial à Andrew Wiles (1998)

6 Divisibilité a divise b sil existe un entier c tel que : b=ac

7 Exemples 2 divise 6 car 6=2 x 3 3 ne divise pas 10 car le reste dans la division euclidienne de 10 par 3 nest pas nul.

8 Remarques Tout entier est divisible par 1. En effet, pour tout entier n, on a: n=1 x n Tout entier est divisible par lui-même. En effet, pour tout entier n, on a : n=n x 1

9 Définition Un nombre premier est un entier naturel qui est divisible par exactement deux entiers naturels : 1 et lui-même.

10 Exemples 1 nest pas premier. 2 est premier (cest le seul entier pair qui soit premier). 3 est premier. 4 nest pas premier (4=2x2). 5 est premier.

11 Théorème Fondamental de lArithmétique Tout entier non nul peut sécrire (de manière unique à lordre des facteurs près) comme produit de nombres premiers.

12 Exemples 6 = 2 x = 2^2 x 5^3 x = ? = 2 x 630 = 2^2 x 315 = 2^2 x 3 x 105 = 2^2 x 3^2 x 35 = 2^2 x 3^2 x 5 x 7. 2^(2^5) +1 = = ?

13 Démonstration Supposons quil existe un entier qui ne sécrive pas comme produit de nbres premiers. Soit N le plus petit tel entier. Puisque N nest pas premier, il sécrit N=nm avec 1

14 Combien y a-t-il de nombres premiers ?

15 Théorème Il existe une infinité de nombres premiers.

16 Démonstration dEuclide Mathématicien grec du IIIe siècle (AV. JC)

17 Démonstration (Euclide) Supposons que la liste p_1=2, p_2=3,…, p_r, des nombres premiers soit finie. Considérons alors lentier P=p_1p_2…p_r +1 Soit p un nombre premier divisant P. Il ne peut être égal à lun des p_i car sinon il diviserait la différence P-p_1p_2…p_r=1, ce qui est impossible. Donc, p est un nombre premier nappartenant pas à la liste.

18 Exercice Démontrer quil existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+1. Indications Commencer par démontrer que si –1 est un carré modulo un premier impair p alors p =1 (mod 4) (la réciproque est même vraie). Considérer un entier n >1 et p un diviseur premier de N=(n!)^2 +1. Montrer que p>n et que p=1 mod 4.

19 Reconnaître les nombres premiers

20 Comment reconnaître quun entier N est premier ? 1ère méthode : on tente de le diviser par les entiers 2,3,4… jusquà la partie entière de N (le plus grand entier inférieur ou égal à N ). Si aucun de ces entiers ne divise N alors il est premier.

21 Exemple 37 est-il premier ? Notons que E(37)=6. On regarde si 37 est divisible par les entiers 2,3,4,5 et 6. Ce nest pas le cas : on en conclut que 37 est premier !

22 Liste des premiers nombres premiers ? On peut faire la liste des premiers nombres premiers en procédant au crible dEratosthène.

23 Eratosthène Mathématicien, astronome et philosophe grec de l'école d'Alexandrie (vers 290 AV. J.-C.)

24 La méthode du crible -On écrit tous les entiers jusquà N. -On raye tous les multiples de 2 supérieurs à 2. -A chaque étape, on raye tous les multiples du plus petit entier p qui na pas été encore rayé, et qui sont supérieurs à p. -On le fait pour les p tels que p^2

25 Crible dEratosthène pour N=

26 Crible dEratosthène : multiples de

27 Crible dEratosthène : multiples de

28 Crible dEratosthène : multiples de

29 Crible dEratosthène : multiples de

30 Nombres premiers jusquà

31 Critères de primalité A-ton des caractérisations des nombres premiers ? Autrement dit, p est premier si et seulement si une formule est vérifiée ?

32 Petit théorème de Fermat (Pierre de Fermat ( )) Si p est premier alors pour tout entier a on a que p divise a^p –a.

33 Congruences On dit que a est congru à b modulo n : a=b mod n si n divise a-b.

34 Nouvelle Formulation du petit théorème de Fermat Si p est premier alors a^p=a mod p pour tout entier a. En particulier, si p (premier) ne divise pas a alors : a^{p-1}=1 mod p

35 Démonstration du petit théorème de Fermat Si a=1 alors 1^p=1 mod p Hypothèse de récurrence : on suppose que pour un certain a>=1, on a : a^p=a mod p. On a : (a+1)^p=a^p+1=a+1 mod p car les coefficients binomiaux C_p^k pour 1<=k<=p-1 sont divisibles par p (exercice!). Donc, le résultat est vrai pour tout entier a.

36 Condition nécessaire On a 2^8=4 mod 9 donc 2^8 not= 1 mod 9 donc 9 nest pas premier. La condition est-elle suffisante ? Autrement dit, la réciproque du théorème de Fermat est-elle vraie ? Autrement dit, est-ce une caractérisation des nombres premiers ?

37 Nombres de Carmichael Il existe des entiers n qui ne sont pas premier et qui vérifient pourtant que a^{n-1}=1 mod n pour tout entier 1

38 Exercice Démontrer le théorème de Wilson qui affirme que si p est premier alors (p-1)!= -1 mod p. La réciproque est-elle vraie ?

39 Tests de Primalité Il existe de nombreux tests de primalité (Miller-Rabin, Solovay-Strassen…) basés sur des propriétés arithmétiques des entiers. Notion de nombres « probablement premiers ».

40 Primalité pour des nombres particuliers : Nombres de Fermat I Considérons les nombres de la forme : 2^m+1 Lemme : Si 2^m+1 est premier alors m est une puissance de 2. Dém : Si m admet un facteur impair r : m=r.2^t, alors 2^m+1=(2^{2^t})^r-(-1)^r est factorisable.

41 Primalité pour des nombres particuliers : Nombres de Fermat II On considère les nombres : F_n=2^{2^n}+1 appelés nombres de Fermat. F_0=3, F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4= Ils sont tous les cinq premiers !

42 Primalité pour des nombres particuliers : Nombres de Fermat III -Fermat a conjecturé que tous les F_n étaient premiers. -Euler a montré que F_5= 641x On ne connaît pas dautre nombre de Fermat qui soit premier en dehors des cinq premiers ! -Ceux dont on connaît la factorisation complète : F_5, F_6, F_7, F_8, F_9 et F_11. -On ne sait pas si F_22 est premier ou non.

43 Primalité pour des nombres particuliers : Nombres de Fermat IV Problème ouvert : existe-t-il une infinité de nombres de Fermat premiers ?

44 Intérêt : Polygones réguliers Théorème (Gauss) : Si n est un entier >2, le polygone régulier à n côtés peut être construit à la règle et au compas seulement si n=2^k p_1…p_h où k>=0, h>=0 et les p_i sont des nombres de Fermat premiers et distincts.

45 Primalité pour des nombres particuliers : Nombres de Mersenne I On considère les nombres de la forme a^m-1

46 Primalité pour des nombres particuliers : Nombres de Mersenne II Lemme : Si a^m-1 est premier alors a=2. Dém : a^m-1=(a-1)(a^{m-1}+…+1) donc si cet entier est premier alors nécessairement a-1=1, cest-à-dire a=2.

47 Primalité pour des nombres particuliers : Nombres de Mersenne III Lemme : Si 2^m –1est premier alors m est premier. Dém : si m=pq alors 2^m-1=(2^p)^q-1^q qui se factorise.

48 Primalité pour des nombres particuliers : Nombres de Mersenne IV Marin Mersenne ( ) Définition : Les nombres M_p=2^p-1 avec p premier sont appelés nombres de Mersenne.

49 Record !! - Le plus grand nombre de Mersenne premier connu est M_ : Cest un nombre à chiffres. - Cest le 41-ème nombre de Mersenne premier trouvé. -Il a été trouvé le 15 mai Cest le plus grand nombre premier connu.

50 Conjecture des nombres premiers jumeaux Des nombres premiers jumeaux sont des couples de nombres premiers dont la différence vaut 2 (par exemple 11 et 13). Conjecture : il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.

51 Problème ouvert…

52 Record !! Le plus grand couple de premiers jumeaux est : · Ils possèdent chiffres ! (Brillhart-Lehmer-Selfridge, 2000)

53 Conjecture de Goldbach Christian Goldbach ( ) Mathématicien prussien 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5,…

54 Conjecture de Goldbach Dans une lettre à Euler en 1742, Goldbach conjecture que : (G) tout entier n>=5 est la somme de trois nombres premiers. Euler lui répond quil est facile de voir que lassertion est équivalente à : (G) tout entier pair 2n>=4 est la somme de deux nombres premiers.

55 Exercice Montrer léquivalence des assertions (G) et (G).

56 Toujours non démontré…

57 Factorisation

58 Difficulté ? La factorisation de grands entiers est un problème difficile.

59 Un vieil exemple F_5=2^(2^5) +1 = = ? Tester sa primalité avec des tables : suppose que lon dispose dune table de nombres premiers jusquà (pas le cas de Fermat). Des années après Fermat, Euler a montré : 2^(2^5) +1 = 641 x

60 Un calcul Divisions successives jusquà racine de n. Daprès Tchebycheff, si pi(x) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à x (cf plus loin), on a, pour x>=11 : pi(x)>(x/ln x)ln(2^(1/2)3^(1/3)5^(1/5)/30^(1/30))

61 Un calcul (suite) Donc la méthode d'Ératosthène, pour factoriser un nombre de 100 chiffres qui serait le produit de deux nombres premiers de 50 chiffres, nécessiterait plus de 10^(50)/ln 10^(50) x 0,92 divisions. A raison de mille divisions par nanoseconde sur un super-ordinateur, il faudrait donc la bagatelle de 2 x 10^(28) années…

62 ce qui est plus que l'âge de l'univers !!…

63 Rivest-Shamir-Adleman

64 R.S.A. Le cryptosystème à clef publique R.S.A. (Rivest-Shamir-Adleman), proposé en 1976, est basé sur cette difficulté. Un entier, connu de tous, est utilisé pour crypter un message. Mais seuls ceux qui connaissent la factorisation de cet entier peuvent déchiffrer les messages.

65 Cest la cryptographie à clef publique

66 Utilisations de la cryptographie Codes secrets des cartes bancaires Transactions financières (transferts de fonds, paiements électroniques,…) Télévision à péage …

67 Comment se répartissent les nombres premiers ?

68 Nombres premiers inférieurs à Il y en a 26.

69 Théorème des nombres premiers Si lon note pi(x) le nombre de premiers <=x, on a : pi(x) équivalent à x/log x i.e. lim (x : infini) pi(x)/(x/log x) =1 Hadamard et De La Vallée Poussin, 1896

70 Une meilleure approximation Une meilleure approximation de pi(x) que x/log x est donnée par la fonction intégrale logarithmique : Li(x)=int_2 ^x dt/log t

71 Résultat conjectural Sous lHypothèse de Riemann (qui dit quune certaine fonction (la fonction zêta de Riemann introduite en 1859) na des zéros non triviaux que sur une certaine droite (la droite Re(s)=1/2)), on a : pi(x) = Li(x)+O(sqrt{x} log x) (pi(x)-Li(x) est une fonction dominée par sqrt{x}log x, i.e. quil existe une fonction u bornée au voisinage de linfini telle que pi(x) – Li(x) = u(x)sqrt{x}log x au voisinage de linfini ) Bernhard Riemann

72 Postulat de Bertrand Entre tout entier n>1 et 2n, il y a toujours un nombre premier. Autrement dit : pi(2n)-pi(n)>=1 pour n>=2. (démontré par Tschebycheff en 1852)

73 Deux corollaires au théorème des nombres premiers

74 Le n-ième nombre premier Si p_n désigne le n-ième nombre premier, le théorème des nombres premiers donne : p_n équivalent à n log n

75 Probabilité de tirer un premier Soit n un entier. Puisque n/log n des n entiers inférieurs à n sont premiers (théorème des nombres premiers), la probabilité que lun dentre eux soit premier est donc : 1/log n Par exemple : un nombre de 100 chiffres a une chance sur log 10^100 =230 dêtre premier.

76 Une formule pour pi(n) (Willians, 1964) : Posons : F(j)=[cos^2 pi ((j-1)!+1)/j] Par Wilson, pour j>1, F(j)=1 si j est premier et 0 sinon (F(1)=1). Doù : pi(n)=-1 + sum_{j=1}^n F(j)

77 Espacements entre nombres premiers consécutifs Que peut-on dire de la différence d_n=p_n+1 –p_n entre deux nombres premiers consécutifs ? d_n peut être arbitrairement grand : en effet, pour tout N>1, il existe une succession dau moins N entiers consécutifs non premiers ; par exemple : (N+1)!+2, (N+1)!+3,…, (N+1)!+(N+1)

78 Nombres premiers en progression arithmétique Dirichlet a démontré en 1837 quil y en a une infinité (théorème dit de la progression arithmétique) Plus précisément :

79 Théorème de Dirichlet Si d>=2 et a not=0 sont premiers entre eux alors la progression arithmétique a, a+d, a+2d, a+3d,… contient une infinité de nombres premiers.

80 Curiosité : un polynôme ayant une longue série de valeurs premières

81 Le polynôme dEuler Le polynôme X^2 + X + 41 prend des valeurs premières pour les 40 valeurs 0, 1, 2, …, 39. (pour 40, la valeur est 41^2) Leonhard Euler

82 Sujet inépuisable… Fin

83 Annexes : solutions des exercices

84 Annexe : p divise C_p^k Soit 1<=k<=p-1. On a : p!=C_p^k k! (p-k)! Puisque C_p^k est un entier et que p divise p!, on en déduit que : p divise C_p^k k! (p-k)! Or, p est premier avec k! (p-k)! (car 1<=k<=p-1) ; daprès le théorème de Gauss, on en déduit donc que p divise C_p^k.

85 Annexe : Théorème de Wilson Soit p premier. Il sagit de démontrer que (p-1) ! = -1 mod p. Daprès le petit Th. de Fermat, 1, 2, …, p-1 sont racines de X^{p-1} –1 mod p. Ce polynôme ne peut avoir plus de racines modulo p (p premier !) que son degré. Donc X^{p-1} –1 = (X-1)(X-2)…(X-(p-1)) mod p. En comparant les termes constants, on obtient : -1 = (-1)^{p-1} (p-1)! mod p = (p-1)! mod p (car ou bien p=2 ou bien p impair).

86 Annexe : réciproque Wilson Par contraposée. Si N>1 est non premier alors N=nm avec 1

87 Annexe : réciproque Wilson bis Une autre façon de démontrer la réciproque du Th. De Wilson consiste à remarquer que si (n-1)!= -1 mod n alors –1.(n-1)!=1 mod n, que lon peut aussi écrire : (-1)(1)(2)…(n-1) = 1 mod n. Cela montre que tout élément non nul est inversible modulo n (donc Z/nZ est un corps) et donc que n est premier.

88 Annexe : équivalence Goldbach (G) Tout entier n>=5 est la somme de trois nombres premiers. (G) Tout entier pair 2n>=4 est la somme de deux nombres premiers. (G) implique (G) : 2n-2=p+poù p et p sont premiers. Ainsi 2n=2+p+p et 2n+1=3+p+p, ce qui démontre (G). (G) implique (G) : si 2n>=4 alors 2n+2=p+p+p où p,p,p sont premiers. Un de ces premiers est alors nécessairement pair, par exemple : p=2 ; donc 2n=p+p, doù (G).

89 Annexe : les carrés modulo p premier impair Proposition : Un élément x est un carré modulo un premier p impair ssi x^{(p-1)/2}=1. Dém : Il y a au plus (p-1)/2 éléments vérifiant cette égalité car ce sont les racines dun polynôme de degré (p-1)/2 dans un corps. Dautre part, si x est un carré alors il vérifie cette équation car : si x=a^2 mod p alors x^{(p-1)/2}=a^{p-1}=1 mod p (par Petit Fermat). De plus, il y a (p-1)/2 carrés non nuls modulo p (car x donne x^2, pour x non nul modulo p, a pour noyau {1,-1}).

90 Annexe :-1 carré modulo p Proposition : –1 est un carré modulo p premier impair ssi p=1 mod 4. Dém : -1 est un carré modulo p ssi (-1)^{(p-1)/2}=1 mod p (propostion précédente) ssi (p-1)/2 est pair ssi p = 1 mod 4.

91 Annexe : Premiers p=1 mod 4 Proposition : Il existe une infinité de premiers de la forme 4m+1. Dém : Soit n un entier>1 et p un diviseur premier de N=(n!)^2+1. Si p n. On a : -1=(n!)^2 mod p donc –1 est un carré modulo p, donc p=1 mod 4 par la proposition précédente. Conclusion : pour n aussi grand que lon veut, on peut trouver un premier p plus grand que n et de la forme 4m+1. CQFD.

92 Annexe : Liste des nombres premiers inférieurs à 1010


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