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Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 1 Les nombres en Chine ancienne : représentation et algorithmes.

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1 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 1 Les nombres en Chine ancienne : représentation et algorithmes

2 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 2 La tradition mathématique en Chine ancienne La forme algorithmique Calculs avec baguettes Multiplication - division Extraction de la racine carrée Calculs avec labaque: ruptures et continuités Les nombres en Chine ancienne : représentation et algorithmes

3 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 3 Qin Han Three Kingdoms Jin Northern & Southern Dynasties Sui Tang Song Ming Qing 5 Dynasties Sui Yuan Gnomon of Zhou (Zhoubi) Nine Chapters on Mathematical Procedures 263: Liu Huis commentary to the Nine Chapters Zu Chongzhi 355/113) Ten Books of Mathematical Classics Jia Xian Mei Wending, Ming Antu Yang Hui Li Ye Qin Jiushao Guo Shoujing Zhu Shijie Ruan Yuan Qian-Jia-School: Dai Zhen, Wang Lai, Li Rui, Jiao Xun Li Shanlan Xu Guangqi, Li Zhizao 2nd introduction of Western mathematics Movable-type printing 1st introduction of Western mathematics Wang Xiaotong 1st Unification of Chinese Empire B.C. A.D. Woodblock printing Matteo Ricci Cheng Dawei

4 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 4 « Jadis il y eut Baoxi, qui, tout dabord, traça les huit trigrammes pour se mettre en communication avec les capacités de clairvoyance et dillumination, pour classer les situations de tous les existants, puis créa la procédure de la table de multiplication pour quelle soit en concordance avec les mutations des six lignes [les hexagrammes du Yi Jing ]. Les origines légendaires La tradition mathématique en Chine ancienne Cela arriva jusquà Huangdi, qui les métamorphosa [en oeuvrant au niveau de linsondable, en agrandit [lextension] en les allongeant], et qui, alors, instaura la structure du calendrier, accorda les tubes musicaux, et en fit usage pour étudier la source de la voie (dao ). Par la suite, les qi [fluide énergétique] subtils et infimes des deux yi [la ligne pleine et la ligne brisée] et des quatre xiang [configurations] purent être pris comme modèles. » (Préface de Liu Hui aux Neuf chapitres sur les procédures mathématiques, 263)

5 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 5 Découvert en 1983 dans un tombe dun prince des Han (env. 2ème siècle av. J.C); Problèmes et procédures mathématiques sur 190 planches en bambou ; Le plus ancien document des mathématiques en Chine préservé aujourdhui. Un livre sur les mathématiques (Suan shu shu ) La tradition mathématique en Chine ancienne

6 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 6 La forme algorithmique Les algorithmes comme liste dopérations Algorithmes (procédures) := une suite finie dopérations dénués dambiguïté, à exécuter dans lordre dans lequel elles se présentent, parfois interrompues par des décisions à prendre, laquelle part de valeurs données et produit des valeurs cherchées. Cest la forme canonique des mathématiques en Chine sous laquelle on délivre les connaissances mathématiques jusquau XIXe siècle. Les modes de description des algorithmes varient grandement dun problème à lautre. Les procédures reprennent à lénoncé auquel ils font suite ou: les éléments de situation ; les valeurs numériques; Les noms des données. Rien. Ils sont abstraites. Exigence de généralité.

7 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 7 La forme algorithmique Préliminaires: Calculs avec baguettes Représentation (ambivalente ?) des nombres par un système décimale & positionnelle ; Position vide correspond au zéro. Alternance de baguettes horizontales et verticales dune position à lautre; …

8 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 8 Manuscrit de Dunhuang (Licheng suanjing ), dynastie Tang

9 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 9 La forme algorithmique Exercices: =367 =2678 =432 =6437 =23607=72290 =12650=10301

10 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 10 Exemple de multiplication Effectuons le produit de 23 par 57 On place dans un premier temps 23 et 57 sur la surface à calculer dans les lignes du dessus. Puis on décale 23 vers la gauche jusquà ce que le chiffre des unités soit sous le chiffre de rang le plus élevé de 57. Puis on multiplie 2 et 3 successivement par 5 et lon ajoute les résultats à la ligne du milieu, juste là-dessus du chiffre que lon a multiplié. On enlève 5, on décale 23 dun cran vers la droite. La forme algorithmique

11 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 11 Exemple de multiplication (cont.) Effectuons le produit de 23 par 57: Et lon recommence: on multiplie 2 et 3 par 7; On ajoute les produits successifs à la ligne du milieu; on élimine 7. Aspects algorithmiques: Itération pour chaque puissance de 10; On sintéresse aux changements sur la surface de calcul; Chaque étape rédigée en opposition par rapport à la division. La forme algorithmique

12 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 12 Exemple de division Effectuons la division de 1311 par 23 On place dans un premier temps 1311 dans la ligne du milieu et 23 dans la ligne du dessous. Puis on décale 23 vers la gauche jusquà ce que les chiffres de gauche des deux nombres soient lun au-dessus de lautre. Si 23 peut diviser le nombre qui est au- dessus de lui, on prend le quotient qui convient; sinon (comme cest le cas dans notre exemple), on décale 23 dun cran vers la droite et lon cherche à nouveau le quotient qui convient. Ici, le premier chiffre du quotient est 5; il est placé dans la colonne des dizaines au- dessus du dividende. La forme algorithmique

13 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 13 La forme algorithmique Exemple de division (cont.) Effectuons la division de 1311 par 23 : 23 est multiplié chiffre à chiffre par 5 et les produits successifs sont retranchés du dividende. Puis on décale 23 dun cran vers la droite. On cherche le chiffre suivant du quotient; on trouve 7 dans le cas présent; on le met à droite de 5, dans la colonne des unités au- dessus du dividende. Le produit de 23 par 7 est retranché du dividende; il ny a pas de reste. Lopération est terminée. Et lon est revenu au point de départ de la multiplication.

14 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard x 63 position des unités 2 x 6 = 12 2 x 3 = 6 7 x 6 = 42 7 x 3 =

15 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 15 Classique mathématique de Zhang Qiujian (, env. 400) Avec cinquante-huit et une de deux parts on divise six mille cinq cent quatre-vingt- sept, deux de trois parts et trois de quatre parts. On demande combien on obtient ? La réponse est : cent douze et quatre cent trente-sept de sept cent deux parts. La procédure dit : Placer six mille cinq cent quatre-vingt-sept en haut. En outre, placer trois parts en bas à droite, ses deux à gauche. En outre, placer quatre parts en dessous des trois, ses trois à gauche. Multiplier mutuellement ceci. On obtient un dénominateur de douze, un numérateur de dix-sept. Avec le dénominateur diviser le numérateur donne un, reste cinq. Un rajouté à la position en haut donne six mille cinq cent quatre-vingt-huit. Avec le dénominateur douze multiplier ceci, intégrer le numérateur 5, donne soixante-dix-neuf mille soixante et un. En outre, multiplier ceci avec deux, le dénominateur du nombre qui divise, donne cent cinquante-huit mille cent vingt-deux. En outre, placer le nombre qui divise cinquante-huit en dessous. Celui-ci multiplié avec deux, et le numérateur un intégré donne cent dix-sept. En outre, multiplier ceci avec douze, le dénominateur du nombre qui multiplie, on obtient mille quatre cent quatre comme diviseur. Avec ceci diviser le dividende, on obtient cent douze. Le diviseur et le reste, tous les deux en faire la moitié, on obtient quatre cent trente-sept de sept cent deux parts. La forme algorithmique

16 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 16 Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques (Jiu zhang suan shu ) Extraction de la racine carrée

17 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 17 B C 1 C 2 C B 2 F 1 D 2 E 2 B 1 D 1 E 1 G 1 A D A 1 A 2 [a] Placer le nombre 459,684 sur la ligne (4) de la surface à calculs: ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) ligne (1) Géométriquement : placer laire ABCD

18 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 18 [c]Déplacer la baguette (1) vers la gauche en sautant 1 position tant que les positions ne soient pas vides sur la ligne (4); déplacer chaque fois dune position le marqueur (*) dans la ligne (5). *ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1ligne (1) [b] Placer 1 dans la position des unités de ligne (1); placer un marqueur (*) dans la position des unités de la ligne (5) *ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1ligne (1)

19 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 19 B C 1 C 2 C B 2 F 1 D 2 E 2 B 1 D 1 E 1 G 1 A D A 1 A 2 Géométriquement : trouver le maximum de n tel que AB 1 = a·10 n soit plus petit ou égal à AB; dans notre cas: n = 2. *ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1ligne (1)

20 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 20 [d] Trouver pour la position * de la ligne (5) un nouveau (premier) chiffre du résultat (a), le multiplier avec (1) et placer ceci dans (2) 6ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) 6ligne (2) 1ligne (1) [e] multiplier ce nouveau chiffre (6) par la ligne (2): 6·6 = 36 et placer le résultat dans la ligne (3) 6ligne (5)-résultats ligne (4) 36ligne (3) 6ligne (2) 1ligne (1)

21 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 21 Géométriquement: trouver le maximum de a tel que AB 1 = a·10 2 soit plus petit ou égal à AB. B C 1 C 2 C B 2 F 1 D 2 E 2 B 1 D 1 E 1 G 1 A D A 1 A 2

22 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 22 Géométriquement: enlever laire AB 1 E 1 A 1 de laire du carré ABCD. B C 1 C 2 C B 2 F 1 D 2 E 2 B 1 D 1 E 1 G 1 A D A 1 A 2 [f] soustraire (3) de la ligne (4) et effacer les données sur la ligne (3) 6ligne (5)-résultats 99684ligne (4) ligne (3) 6ligne (2) 1ligne (1)

23 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 23 Géométriquement: calculer B 1 E 1 + A 1 E 1 B C 1 C 2 C B 2 F 1 D 2 E 2 B 1 D 1 E 1 G 1 A D A 1 A 2 [g] rajouter le nouveau chiffre (a = 6) à la ligne (2) 6ligne (5)-résultats 99684ligne (4) ligne (3) 12ligne (2) 1ligne (1)

24 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 24 [h] décaler les unités en (1) de deux positions vers la droite, jusquà ce quil y ait un/des élément(s) non-zéro sur la ligne (4) au-dessus de la nouvelle position de lunité ou à sa gauche; déplacer le nombre sur la ligne (2) et le marqueur sur la ligne (5) dautant de positions que de nombre de sauts de lunité sur la ligné (1). 6*ligne (5)-résultats 99684ligne (4) ligne (3) 12ligne (2) 1ligne (1)

25 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 25 B C 1 C 2 C B 2 F 1 D 2 E 2 B 1 D 1 E 1 G 1 A D A 1 A 2 Géométriquement : trouver un m tel que B 1 B 2 = b ·10 m soit moins que B 1 B; Dans notre cas m = 1.

26 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 26 [i] répéter létape [d] pour le chiffre quon vient de trouver (b=7): 67ligne (5)-résultats 99684ligne(4) ligne (3) 127ligne (2) 1ligne (1)

27 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 27 Géométriquement : B 1 B 2 est égal au nouveau nombre (b=7) multiplié par 10 m =10; laddition de ce chiffre à la ligne (2) est effectuée pour trouver la longueur du rectangle composé des rectangles B 1 B 2 F 1 E 1 et A 1 A 2 G 1 E 1, et le carré E 1 F 1 E 2 G 1. B C 1 C 2 C B 2 F 1 D 2 E 2 B 1 D 1 E 1 G 1 A D A 1 A 2

28 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 28 [j] répéter létape [e] pour le nouveau chiffre (b=7): 67ligne (5)-résultats 99684ligne (4) 889ligne (3) 127ligne (2) 1ligne (1) Géométriquement : trouver laire du rectangle composé de rectangles B 1 B 2 F 1 E 1 et A 1 A 2 G 1 E 1, et le carré E 1 F 1 E 2 G 1. B C 1 C 2 C B 2 F 1 D 2 E 2 B 1 D 1 E 1 G 1 A D A 1 A 2

29 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 29 [k] répéter létape [f]: 67ligne (5)-résultats 1784ligne (4) ligne (3) 127ligne (2) 1ligne (1) Géométriquement : enlever les rectangles B 1 B 2 F 1 E 1, A 1 A 2 G 1 E 1, et le carré E 1 F 1 E 2 G 1 de la figure B 1 BCDA 1 E 1 B C 1 C 2 C B 2 F 1 D 2 E 2 B 1 D 1 E 1 G 1 A D A 1 A 2

30 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 30 [l] répéter létape [g]: 67ligne (5)-résultats 1784ligne (4) ligne (3) 134ligne (2) 1ligne (1) Géométriquement : calculer B 2 E 2 + A 2 E 2 B C 1 C 2 C B 2 F 1 D 2 E 2 B 1 D 1 E 1 G 1 A D A 1 A 2

31 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 31 [m] répéter létape [h]: 67*ligne (5)-résultats 1784ligne (4) ligne (3) 134ligne (2) 1ligne (1) [n] répéter létape [i] pour le nouveau chiffre (c=8): 678ligne (5)-résultats 1784ligne (4) ligne (3) 1348ligne (2) 1ligne (1)

32 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 32 Géométriquement: laddition de ce chiffre à la ligne (2) est effectué pour trouver la longueur du rectangle composé de rectangles B 2 BC 2 E 2, A 2 DD 2 E 2, et le carré E 2 C 2 CD 2. B C 1 C 2 C B 2 F 1 D 2 E 2 B 1 D 1 E 1 G 1 A D A 1 A 2

33 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 33 [o] répéter létape [j] pour le nouveau chiffre (c=8): 678ligne (5)-résultats 1784ligne (4) 1784ligne (3) 1348ligne (2) 1ligne (1) Géométriquement : trouver laire du rectangle composé des rectangles B 2 BC 2 E 2, A 2 D 2 D 2 E 2, et le carré E 2 C 2 CD 2. B C 1 C 2 C B 2 F 1 D 2 E 2 B 1 D 1 E 1 G 1 A D A 1 A 2

34 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 34 [p] répéter létape [k] pour le nouveau chiffre (c = 8): 678ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) 1348ligne (2) 1ligne (1) Géométriquement : enlever les rectangles BB 2 E 2 C 2, A 2 E 2 D 2 D, et Le carré E 2 C 2 CD 2 de la figure B 2 BCDA 2 E 2 B C 1 C 2 C B 2 F 1 D 2 E 2 B 1 D 1 E 1 G 1 A D A 1 A 2

35 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 35 La ligne (4) est vide, donc la procédure a abouti. La valeur quon trouve sur la ligne (5) est la valeur exacte de La racine carré.

36 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 36 Neuf chapitres sur les procédures mathématiques Chap. 9, n°19 Supposons quon ait une ville carrée...

37 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 37 Au centre de chaque côté de laquelle souvre une porte

38 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 38 À 20 bu à lextérieur de la porte nord, il y a un arbre, N S WE 20 et si, après avoir fait 14 bu, à lextérieur de la porte sud, on tourne et quon marche 1775 bu vers louest, on voit cet arbre On demande combien fait le côté de la ville carrée.

39 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard A B C D E F G HM J K L 2AB·DE = « le dividende » CD+AB = « le diviseur rejoint » « On divise par extraction de la racine carrée, ce qui donne le côté de la ville.»

40 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard A B C D E F G HM J K L Commentaire de Liu Hui (263): Les rectangles ADJM et ABGH sont de la même surface. Aire de ABGH = AB·DE Considère PJMQ: P Q aire de PJMQ = 2 x aire de ADJM = 2 · AB·DE

41 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 41 x y x·y = le dividende y - x = le diviseur rejoint Données ici : x·y = 2 ·1775 ·20, et y-x = = 34

42 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 42 a a a a+34 b b b b

43 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 43 *71341*71341 *71341*71341

44 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 44 *71341*

45 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard * *

46 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard Réponse : 250 bu.

47 Stage PAF Ruptures et continuités Pratiques algorithmiques en Chine ancienne A. Bréard 47 sdf Calculs avec labaque: ruptures et continuités


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