Les nombres en Chine ancienne : représentation et algorithmes

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1 Les nombres en Chine ancienne : représentation et algorithmes

2 Les nombres en Chine ancienne : représentation et algorithmes
La tradition mathématique en Chine ancienne La forme algorithmique Calculs avec baguettes Multiplication - division Extraction de la racine carrée Calculs avec l’abaque: ruptures et continuités

3 Han Tang Song Yuan Ming Qing
221 1st Unification of Chinese Empire Qin Han 206 Gnomon of Zhou (Zhoubi) B.C. Nine Chapters on Mathematical Procedures A.D. Three Kingdoms 220 263: Liu Hui’s commentary to the Nine Chapters Jin 265 420 Northern & Southern Dynasties Zu Chongzhi (= 355/113) Sui 581 618 Woodblock printing Tang Wang Xiaotong Sui Ten Books of Mathematical Classics 5 Dynasties 907 Jia Xian 960 Song Li Ye Movable-type printing Qin Jiushao Guo Shoujing Yang Hui Zhu Shijie Yuan 1279 Ming 1368 Cheng Dawei 1st introduction of Western mathematics Matteo Ricci Xu Guangqi, Li Zhizao Mei Wending, Ming Antu Qing 1644 Ruan Yuan Qian-Jia-School: Dai Zhen, Wang Lai, Li Rui, Jiao Xun 2nd introduction of Western mathematics Li Shanlan 1911

4 La tradition mathématique en Chine ancienne
Les origines légendaires « Jadis il y eut Baoxi, qui, tout d’abord, traça les huit trigrammes pour se mettre en communication avec les capacités de clairvoyance et d’illumination, pour classer les situations de tous les existants, puis créa la procédure de la table de multiplication pour qu’elle soit en concordance avec les mutations des six lignes [les hexagrammes du Yi Jing易經]. Cela arriva jusqu’à Huangdi, qui les métamorphosa [en oeuvrant au niveau de l’insondable, en agrandit [l’extension] en les allongeant], et qui, alors, instaura la structure du calendrier, accorda les tubes musicaux, et en fit usage pour étudier la source de la voie (dao 道). Par la suite, les qi [fluide énergétique] subtils et infimes des deux yi [la ligne pleine et la ligne brisée] et des quatre xiang [configurations] purent être pris comme modèles. » (Préface de Liu Hui aux Neuf chapitres sur les procédures mathématiques, 263)

5 La tradition mathématique en Chine ancienne
Un livre sur les mathématiques (Suan shu shu 算數書) Découvert en 1983 dans un tombe d’un prince des Han (env. 2ème siècle av. J.C); Problèmes et procédures mathématiques sur 190 planches en bambou ; Le plus ancien document des mathématiques en Chine préservé aujourd’hui.

6 La forme algorithmique
Les algorithmes comme liste d’opérations Algorithmes (procédures) := une suite finie d’opérations dénués d’ambiguïté, à exécuter dans l’ordre dans lequel elles se présentent, parfois interrompues par des décisions à prendre, laquelle part de valeurs données et produit des valeurs cherchées. C’est la forme canonique des mathématiques en Chine sous laquelle on délivre les connaissances mathématiques jusqu’au XIXe siècle. Les modes de description des algorithmes varient grandement d’un problème à l’autre. Les procédures reprennent à l’énoncé auquel ils font suite ou: les éléments de situation ; les valeurs numériques; Les noms des données. Rien. Ils sont abstraites. Exigence de généralité.

7 La forme algorithmique
Préliminaires: Calculs avec baguettes Représentation (ambivalente ?) des nombres par un système décimale & positionnelle ; Position vide correspond au zéro. Alternance de baguettes horizontales et verticales d’une position à l’autre; …

8 Manuscrit de Dunhuang (Licheng suanjing 立成算經), dynastie Tang

9 La forme algorithmique
Exercices: =367 =432 =2678 =6437 =23607 =72290 =12650 =10301

10 La forme algorithmique
Exemple de multiplication Effectuons le produit de 23 par 57 On place dans un premier temps 23 et 57 sur la surface à calculer dans les lignes du dessus . Puis on décale 23 vers la gauche jusqu’à ce que le chiffre des unités soit sous le chiffre de rang le plus élevé de 57. Puis on multiplie 2 et 3 successivement par 5 et l’on ajoute les résultats à la ligne du milieu, juste là-dessus du chiffre que l’on a multiplié. On enlève 5, on décale 23 d’un cran vers la droite.

11 La forme algorithmique
Exemple de multiplication (cont.) Effectuons le produit de 23 par 57: Et l’on recommence: on multiplie 2 et 3 par 7; On ajoute les produits successifs à la ligne du milieu; on élimine 7. Aspects algorithmiques: Itération pour chaque puissance de 10; On s’intéresse aux changements sur la surface de calcul; Chaque étape rédigée en opposition par rapport à la division.

12 La forme algorithmique
Exemple de division Effectuons la division de 1311 par 23 On place dans un premier temps 1311 dans la ligne du milieu et 23 dans la ligne du dessous . Puis on décale 23 vers la gauche jusqu’à ce que les chiffres de gauche des deux nombres soient l’un au-dessus de l’autre. Si 23 peut diviser le nombre qui est au-dessus de lui, on prend le quotient qui convient; sinon (comme c’est le cas dans notre exemple), on décale 23 d’un cran vers la droite et l’on cherche à nouveau le quotient qui convient. Ici, le premier chiffre du quotient est 5; il est placé dans la colonne des dizaines au-dessus du dividende.

13 La forme algorithmique
Exemple de division (cont.) Effectuons la division de 1311 par 23 : 23 est multiplié chiffre à chiffre par 5 et les produits successifs sont retranchés du dividende. Puis on décale 23 d’un cran vers la droite. On cherche le chiffre suivant du quotient; on trouve 7 dans le cas présent; on le met à droite de 5, dans la colonne des unités au-dessus du dividende. Le produit de 23 par 7 est retranché du dividende; il n’y a pas de reste. L’opération est terminée. Et l’on est revenu au point de départ de la multiplication.

14 1701 27 x 63 position des unités 2 x 6 = 12 2 x 3 = 6 7 x 6 = 42

15 La forme algorithmique
Classique mathématique de Zhang Qiujian (張邱建算經, env. 400) “Avec cinquante-huit et une de deux parts on divise six mille cinq cent quatre-vingt- sept, deux de trois parts et trois de quatre parts. On demande combien on obtient ? La réponse est : cent douze et quatre cent trente-sept de sept cent deux parts. La procédure dit : Placer six mille cinq cent quatre-vingt-sept en haut. En outre, placer trois parts en bas à droite, ses deux à gauche. En outre, placer quatre parts en dessous des trois, ses trois à gauche. Multiplier mutuellement ceci. On obtient un dénominateur de douze, un numérateur de dix-sept. Avec le dénominateur diviser le numérateur donne un, reste cinq. Un rajouté à la position en haut donne six mille cinq cent quatre-vingt-huit. Avec le dénominateur douze multiplier ceci, intégrer le numérateur 5, donne soixante-dix-neuf mille soixante et un. En outre, multiplier ceci avec deux, le dénominateur du nombre qui divise, donne cent cinquante-huit mille cent vingt-deux. En outre, placer le nombre qui divise cinquante-huit en dessous. Celui-ci multiplié avec deux, et le numérateur un intégré donne cent dix-sept. En outre, multiplier ceci avec douze, le dénominateur du nombre qui multiplie, on obtient mille quatre cent quatre comme diviseur. Avec ceci diviser le dividende, on obtient cent douze. Le diviseur et le reste, tous les deux en faire la moitié, on obtient quatre cent trente-sept de sept cent deux parts.

16 Extraction de la racine carrée
Les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques (Jiu zhang suan shu 九章算術)

17 B C1 C C B F D2 E2 B D1 E G1 A D A1 A2 [a] Placer le nombre 459,684 sur la ligne (4) de la surface à calculs: ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) ligne (1) Géométriquement : placer l’aire ABCD

18 [b] Placer 1 dans la position des unités de ligne (1); placer un marqueur
(*) dans la position des unités de la ligne (5) * ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1 ligne (1) [c]Déplacer la baguette (1) vers la gauche en sautant 1 position tant que les positions ne soient pas vides sur la ligne (4); déplacer chaque fois d’une position le marqueur (*) dans la ligne (5). * ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1 ligne (1)

19 * ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1 ligne (1) Géométriquement : trouver le maximum de n tel que AB1= a·10n soit plus petit ou égal à AB; dans notre cas: n = 2. B C1 C C B F D2 E2 B D1 E G1 A D A1 A2

20 [d] Trouver pour la position * de la ligne (5) un nouveau (premier)
chiffre du résultat (a), le multiplier avec (1) et placer ceci dans (2) 6 ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) 6 ligne (2) 1 ligne (1) [e] multiplier ce nouveau chiffre (6) par la ligne (2): 6·6 = 36 et placer le résultat dans la ligne (3) 6 ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) 6 ligne (2) 1 ligne (1)

21 Géométriquement: trouver le maximum de a tel que AB1 = a·102 soit
plus petit ou égal à AB. B C1 C C B F D2 E2 B D1 E G1 A D A1 A2

22 [f] soustraire (3) de la ligne (4) et effacer les données sur la ligne (3)
6 ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) 6 ligne (2) 1 ligne (1) Géométriquement: enlever l’aire AB1E1A1 de l’aire du carré ABCD. B C1 C C B F D2 E2 B D1 E G1 A D A1 A2

23 [g] rajouter le nouveau chiffre (a = 6) à la ligne (2)
6 ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1 ligne (1) Géométriquement: calculer B1E1+ A1E1 B C1 C C B F D2 E2 B D1 E G1 A D A1 A2

24 [h] décaler les unités en (1) de deux positions vers la droite, jusqu’à ce
qu’il y ait un/des élément(s) non-zéro sur la ligne (4) au-dessus de la nouvelle position de l’unité ou à sa gauche; déplacer le nombre sur la ligne (2) et le marqueur sur la ligne (5) d’autant de positions que de nombre de sauts de l’unité sur la ligné (1). 6 * ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1 ligne (1)

25 Géométriquement : trouver un m tel que B1B2 = b ·10m soit moins
que B1B; Dans notre cas m = 1. B C1 C C B F D2 E2 B D1 E G1 A D A1 A2

26 [i] répéter l’étape [d] pour le chiffre qu’on vient de trouver (b=7):
6 7 ligne (5)-résultats ligne(4) ligne (3) ligne (2) 1 ligne (1)

27 Géométriquement : B1B2 est égal au nouveau nombre (b=7) multiplié
par 10m =10; l’addition de ce chiffre à la ligne (2) est effectuée pour trouver la longueur du rectangle composé des rectangles B1B2F1E1 et A1A2G1E1, et le carré E1F1E2G1. B C1 C C B F D2 E2 B D1 E G1 A D A1 A2

28 [j] répéter l’étape [e] pour le nouveau chiffre (b=7):
6 7 ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1 ligne (1) Géométriquement : trouver l’aire du rectangle composé de rectangles B1B2F1E1 et A1A2G1E1, et le carré E1F1E2G1. B C1 C C B F D2 E2 B D1 E G1 A D A1 A2

29 [k] répéter l’étape [f]:
6 7 ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1 ligne (1) Géométriquement : enlever les rectangles B1B2F1E1, A1A2G1E1, et le carré E1F1E2G1 de la figure B1BCDA1E1 B C1 C C B F D2 E2 B D1 E G1 A D A1 A2

30 [l] répéter l’étape [g]:
6 7 ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1 ligne (1) Géométriquement : calculer B2E2+ A2E2 B C1 C C B F D2 E2 B D1 E G1 A D A1 A2

31 [m] répéter l’étape [h]:
6 7 * ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1 ligne (1) [n] répéter l’étape [i] pour le nouveau chiffre (c=8): 6 7 8 ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1 ligne (1)

32 Géométriquement: l’addition de ce chiffre à la ligne (2) est effectué
pour trouver la longueur du rectangle composé de rectangles B2BC2E2, A2DD2E2, et le carré E2C2CD2. B C1 C C B F D2 E2 B D1 E G1 A D A1 A2

33 [o] répéter l’étape [j] pour le nouveau chiffre (c=8):
6 7 8 ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1 ligne (1) Géométriquement : trouver l’aire du rectangle composé des rectangles B2BC2E2, A2D2D2E2, et le carré E2C2CD2. B C1 C C B F D2 E2 B D1 E G1 A D A1 A2

34 [p] répéter l’étape [k] pour le nouveau chiffre (c = 8):
6 7 8 ligne (5)-résultats ligne (4) ligne (3) ligne (2) 1 ligne (1) Géométriquement : enlever les rectangles BB2E2C2, A2E2D2D, et Le carré E2C2CD2 de la figure B2BCDA2E2 B C1 C C B F D2 E2 B D1 E G1 A D A1 A2

35 La ligne (4) est vide, donc la procédure a abouti.
La valeur qu’on trouve sur la ligne (5) est la valeur exacte de La racine carré.

36 Neuf chapitres sur les procédures mathématiques Chap. 9, n°19
Supposons qu’on ait une ville carrée ...

37 Au centre de chaque côté de laquelle s’ouvre une porte

38 À 20 bu à l’extérieur de la porte nord, il y a un arbre,
et si, après avoir fait 14 bu, à l’extérieur de la porte sud, on tourne et qu’on marche 1775 bu vers l’ouest, on voit cet arbre. 1775 14 N S W E On demande combien fait le côté de la ville carrée. 20

39 A B C D E F G H M J K L 1775 14 20 2AB·DE = « le dividende » CD+AB =
« le diviseur rejoint » « On divise par extraction de la racine carrée, ce qui donne le côté de la ville.» 20

40 A B C D E F G H M J K L P 1775 14 20 Q Commentaire de Liu Hui (263):
Les rectangles ADJM et ABGH sont de la même surface. 14 Aire de ABGH = AB·DE Considère PJMQ: aire de PJMQ = 2 x aire de ADJM = 2 · AB·DE 20 Q

41 x·y = le dividende y - x = le diviseur rejoint y Données ici : x·y = 2 ·1775 ·20, et y-x = = 34 x

42 b b a a+34 a

43 * 7 1 3 4 1 * 7 1 3 4 1

44 * 7 1 3 4 1 7 1 1 2 4 6 8 2 3 4

45 2 2 4 2 2 3 4 1 4 2 * 2 4 2 4 3 4 1

46 2 5 2 4 2 4 3 4 1 2 4 2 8 Réponse : 250 bu.

47 Calculs avec l’abaque: ruptures et continuités
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