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Le Problème des fusiliers 1 Encadrants : Sébastien VEREL, Manuel CLERGUE Groupe : BOUHLEL Oualid, CASANOVA Pierre, FULCONIS Angélique, BENOUALI Hamine.

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1 Le Problème des fusiliers 1 Encadrants : Sébastien VEREL, Manuel CLERGUE Groupe : BOUHLEL Oualid, CASANOVA Pierre, FULCONIS Angélique, BENOUALI Hamine

2 Description du sujet Définition : Automate cellulaire Problématique et état de lart Les différentes approches Les métaheuristiques à solution unique : Hill Climbing Recherche tabou Recuit Simulé Algorithme évolutionnaire Le backtracking Lapproche par signaux Les approches combinées Meilleurs résultats obtenus Conclusion 2

3 « Comment synchroniser une ligne de fusiliers de façon à ce quils se mettent à tirer en même temps ? » Résolution : Modélisation sous forme dun automate cellulaire Recherche des règles de transition Etude pour 5 états 3 Ligne de fusiliers Ligne de fusiliers synchronisés

4 4 Repos Général Feu Etats intermédiaires Etats des cellules Général Feu Etats intermédiaires Repos 2N-2 La grille de N cellules (ici N = 4) 2N-2 : temps optimal pour synchroniser N cellules

5 5 règles de transition : Diagramme espace temps Motif initial Valeur suivante Configuration initiale Configuration finale Mise à jour par règle locale.

6 Types dordinateurs en plein essor : les machines en réseaux Parallélisme simple et universel : les automates cellulaires Nombre détats Temps optimalTemps non optimal 3 étatsPas de solution :BalzerPas de solution :Yunes, étatsPas de solution :Balzerouvert 5 étatsOuvert 6 étatsUne seule solution:Mazoyer,1986 ouvert 7 étatsSolution :Mazoyer,1986Solution :Yunes, étatsSolution :Balzer,1967Solution Yunes,1993 plusieurs milliers détats Solution :E.Goto 6

7 Métaheuristiques à solution unique : Hill Climbing, Recuit Simulé, Recherche Tabou Algorithme évolutionnaire Le backtracking Approche par signaux Approches combinées 7

8 Heuristique : algorithme de résolution basé sur lexpérience sans fournir pour autant une solution optimale Métaheuristique : ensemble dheuristiques Métaheuristique de recherche locale : Algorithme à solution unique Hill Climbing, Recuit Simulé … Algorithme à population de solutions Algorithme évolutionnaire, algorithme de fourmis … 8

9 Espace de recherche : S ensemble des solutions Voisinage : sous ensemble de solutions obtenues par transformations données Fonction objectif : évaluation pour la meilleure solution 9... S0 Un voisin de S0

10 Choisir solution initiale s S Répéter Choisir s V(s) telle que f(s) est maximale s Jusquà s optimum local 10 Opérateur local de base de métaheuristique Heuristique dexploration maximale Opérateur local de base de métaheuristique Heuristique dexploration maximale

11 Introduite par Glover en 1986 But: Échapper aux optima locaux Principe :Introduction dune mémoire dans stratégie dexploration Introduite par Glover en 1986 But: Échapper aux optima locaux Principe :Introduction dune mémoire dans stratégie dexploration 11 Choisir une solution s S Initialiser tabou T Répéter Choisir s V(s) telle que (f(s) meilleure solution de V(s) et Critère daspiration vérifié) Ou f(s) meilleure solution de V(s) non tabou s Update Tabou T Jusquà Critère darrêt vérifié

12 Utilisé depuis les années 80 Inspiré de la physique (thermodynamique ) But: Echapper aux optima locaux Principe: probabilité non nulle de sélection dune solution voisine dégradée Utilisé depuis les années 80 Inspiré de la physique (thermodynamique ) But: Echapper aux optima locaux Principe: probabilité non nulle de sélection dune solution voisine dégradée 12 Choisir solution initiale s S et température initiale T Répéter Choisir aléatoirement s V(s), =f(s)-f(s) Si > 0 alors ss Sinon u nombre aléatoire de [0,1] Si u < alors s Fin si Update température T Jusquà critère darrêt vérifié

13 13 Nombre dexécutions en fonction de taille du problème résolu Résultat obtenu pour: 5000 itérations 5000 exécutions La moyenne = 5,27 Lécartype = 1,36 Meilleure solution de taille = 12 Résultat obtenu pour: 5000 itérations 5000 exécutions La moyenne = 5,27 Lécartype = 1,36 Meilleure solution de taille = 12

14 14 Temps moyen pour chaque taille de ligne de fusiliers synchronisés

15 15 Nombre dexécutions en fonction de taille du problème résolu Résultat obtenu pour: 5000 itérations 5000 exécutions La moyenne = 7,1 Lécartype = 2,19 Meilleure solution de taille = 13 Résultat obtenu pour: 5000 itérations 5000 exécutions La moyenne = 7,1 Lécartype = 2,19 Meilleure solution de taille = 13

16 16 Temps moyen pour chaque taille de ligne de fusiliers synchronisés

17 17 Nombre dexécutions en fonction de taille du problème résolu Résultat obtenu pour: 5000 itérations 75 exécutions La moyenne = 4,24 Lécartype = 0,43 Meilleure solution de taille = 5 Résultat obtenu pour: 5000 itérations 75 exécutions La moyenne = 4,24 Lécartype = 0,43 Meilleure solution de taille = 5

18 MéthodeNb iterations Nb runTemps pour un run Temps total MoyenneÉcartypeMeuilleur résultat Hill Climbing s (38h53) 5,271,36 12 Recherche Tabou s27517s (7h38) 7,12,19 13 Recuit Simulé S32021 (8h53) 4,240, Recherche Tabou

19 19 Principe : basé sur la théorie de lévolution (Darwin) Population composée dindividus Evaluation sélection, croisement, mutation

20 Utilisation des librairies du package Paradiseo-eo Fonction objectif et voisinage Résultats : synchronisation de 2 à 8 20 Exemple de croisement en un point Génération initialeGénération suivante

21 21 Constat : Augmentation du nombre de fusiliers synchronisés en fonction de la taille de la population Meilleurs résultat : lorsque le taux de croisement et de mutation est proche de 1.0 Taux de croisement peu influent sur les résultats

22 22 Technique permettant déviter l'énumération exhaustive de l'espace de recherche. Etapes : Choisir une valeur pour une règle Retourner en arrière en cas de conflit Choisir lalternative suivante (attribution dune nouvelle valeur à la règle) Attribution de règle B bord Ordre dattribution des valeurs : B bord Règle non affectée Etat repos Etat général Etat intermédiaire (1) Etat intermédiaire (2) Etat feu uniquement si on a atteint 2N-2 itérations B bord

23 23 Création Règle Conflit et retour en arrière Attribution dune nouvelle valeur Points faisant échouer une solution : L'état feu symbolisant la synchronisation n'est pas obtenu au bout de 2N-2 itérations. L'état feu est obtenu avant ce nombre précis d'itérations. Les règles ne synchronisent pas les automates ayant une taille plus petite. Règle prédéfinie à linitialisation : … Cette règle provoque le conflit Règle non affectée

24 24 Ce sont les meilleurs résultats obtenus avec cette méthode : synchronisation des automates de taille allant de 2 à 12.

25 25 Croissance exponentielle pour une taille de lautomate > 9 P ériode de temps importante, pour obtenir synchronisation avec taille = 13

26 26 Solution de Mazoyer :Stratégie « diviser pour régner » :

27 On désigne par signal la propagation continue dune information élémentaire au sein dune ligne dautomates. 27

28 Signal vers la droite : la vitesse doit être maximale Seulement deux possibilités : Une période de 1 : Une période de 2 : 28 ? Comportement avec une période de 2 :

29 29

30 30

31 Des résultats inédits : De nombreuses solutions en temps optimal Un meilleur résultat à 16 fusiliers Des perspectives prometteuses : Outils développés performants et à disposition sur le site Probabilité de découverte de nouveaux résultats 31

32 32 Merci de votre attention


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