Comparaison de deux pourcentages.

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1 Comparaison de deux pourcentages

2 A) Pourcentage observé et pourcentage théorique :
une population donnée ( ex France) , dont on connaît le pourcentage de sujets (p) ayant une caractéristique particulière (variable dichotomique = Fumeur) X = 1 fumeur ou X=0 non fumeur variable de Bernouilli

3 position du problème (2) :
échantillon n extrait de la population ( ex Picardie): proportion p0 de personnes ayant la caractéristique X=1, fumeur la proportion de fumeurs en Picardie (p0 observé) diffère t-elle de celle observée au niveau national (p théorique)

4 B) Hypothèses de départ :
H0 : p = p0 H1 : p  p0 (test bilatéral) Sous H0 , X N (p, p q / n) l ’écart-type de la distribution d ’échantillonnage

5 C) Choix du test statistique à appliquer :
test de l’écart-réduit : D) Conclusion (= table de l ’écart réduit) : si |  1,96 on rejette au risque 5%, l ’hypothèse H si | < 1,96 on retiendra H0 Conditions d ’application : n p et n q  5 +++

6 2 - Comparaison de deux pourcentages observés
variable X dichotomique ( ex : X=malade ou non) on a deux échantillons indépendants A et B de nA et nB observations dans échantillon A, une proportion pA de X =1 dans échantillon B, une proportion pB de X =1

7 X suit une loi de Bernouilli :
- de paramètre PA, dans la population A - de paramètre PB , dans la population B 1 - Formulation des hypothèses à vérifier : H0 : pA = pB H1 : pA  pB (cas d’un test bilatéral)

8 on construit un test basé sur la distribution de pA- pB sous H0
sous l ’hypothèse H0 : on construit un test basé sur la distribution de pA- pB sous H0 on estime p, la proportion totale de X=1 sur les deux échantillons : on forme le test de l ’écart réduit COURS N°6

9 Exemple : 70 patients avec A : 22 ont guéri (pA = 31% ) patients avec B : 25 ont guéri (pB = 50 %) question à résoudre ? hypothèses à poser H0 : H1 :

10 Exemple (1) : application numérique
nA =70 nB = 50 pA =0,31 pB = 0,50 on estime p : conditions de validité étant vérifiées :

11 donc on rejette H0 conclusion : les taux de guérison avec les deux traitements sont significativement différents (au risque 5%) degré de signification: table de l ’écart réduit : p < 0,04

12 3- Cas des séries appariées :
Dans le cadre de la comparaison de 2 médicaments ( essai thérapeutique) : deux méthodes principales de comparaison : 1- méthode dite en parallèle groupe 1 (n = 50) > traitement A groupe 2 (n = 50) > traitement B

13 2- Méthode dite en cross-over : les sujets sont leurs propres témoins
séries appariées groupe traitement A x groupe traitement B période période 2

14 100 malades, ont pris A puis B ( ou B puis A) successivement
COURS N°6

15 Pas deux séries indépendantes+++
à la question posée : quel est le meilleur médicament ? les réponses concordantes ++ et -- n ’apportent rien (35-- et 45++) réponses discordantes + - et - + les effectifs observés de paires discordantes sont-ils compatibles avec l ’hypothèse H0 d ’équivalence des deux traitements ? COURS N°6

16 si a et b désignent les paires divergentes +- et -+ il faut comparer à 1/2 et à 1/2
on forme l ’écart-réduit : conclusion du test : si | | < 1,96 = les pourcentages ne différent pas ( risque 5%) si | | 1,96 = les pourcentages différent au risque 5% a b a + b a + b e e COURS N°6

17 e Exemple : a et b paires divergentes + - et - + a = 5 et b = 15
on forme l ’écart-réduit : conclusion du test : si | | 1,96 = les pourcentages différent au risque 5% e