Ali Gannoun Médiane et Quantiles Conditionnels multivariés. Application à la Modélisation des Processus Workshop : Des Mathématiques à leurs Applications.

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1 Ali Gannoun Médiane et Quantiles Conditionnels multivariés. Application à la Modélisation des Processus Workshop : Des Mathématiques à leurs Applications 18 juin 2008

2 Paris, 18 juin 2008 2 Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnel multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion

3 Paris, 18 juin 2008 3 Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnel multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion

4 Paris, 18 juin 2008 4 Introduction : Médiane et Quantiles Conditionnels (X,Y) couple de variables aléatoires, (X i,Y i ) i=1,n n observations de (X,Y) n n est (la) racine de léquation

5 Paris, 18 juin 2008 5 Introduction : Médiane et Quantiles Conditionnels nDéfinition équivalente : solution dun problème doptimisation nPropriétés - Faible sensibilité aux points aberrants - Point de rupture à 50% - Invariante par transformation affine nGénéralisation aux quantiles conditionnels

6 Paris, 18 juin 2008 6 Introduction : Médiane et Quantiles Conditionnels nExemple

7 Paris, 18 juin 2008 7 Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnelle multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion

8 Paris, 18 juin 2008 8 Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée nMédiane arithmétique un vecteur aléatoire, une suite dobservations de Y Propriétés : non équivariante sous les rotations non équivariante sous des transformations affines générales

9 Paris, 18 juin 2008 9 nMédiane géométrique ou spatiale Soit la fonction, dite fonction coût ou de perte, définie sur par La médiane est définie comme suit 1.Résultat : si le support de Q nest pas inclus dans une droite et si la norme utilisée est euclidienne, existe et est unique. 2.Estimation : n-observations de Y, n un estimateur de tel que Un estimateur n de est obtenu Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée

10 Paris, 18 juin 2008 10 Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée nExemple n = = 1.01 1.01-0.96 n = n = 1.04 1.04-1.02

11 Paris, 18 juin 2008 11. nMédiane spatiale conditionnelle (X,Y), -Définition : la médiane spatiale conditionelle est définie -Estimation : n-observations de (X,Y) un estimateur de Q(.|x) et n de – Médiane (spatiale) conditionnelle multivariée

12 Paris, 18 juin 2008 12 Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnelle multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion

13 Paris, 18 juin 2008 13 Quantiles conditionnels multivariés nQuantiles spatiaux -Définition : -Estimation :

14 Paris, 18 juin 2008 14 Quantiles conditionnels multivariés nQuantile spatiaux conditionnels -Définition : -Estimation :

15 Paris, 18 juin 2008 15 Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnelle multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion

16 Paris, 18 juin 2008 16 TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels n ( resp. n (.)) est équivariante sous les transformations orthogonales mais non équivariante sous les transformations affines èConséquence (Chakraborty, Chaudhuri, Gosh): Modélisation non efficaceModélisation non efficace covariables corrélées covariables exprimées dans des échelles différentes Prédiction non efficacePrédiction non efficace èComment combler cette défaillance? !

17 Paris, 18 juin 2008 17 TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nCas de la médiane spatiale 1.Etape 1 : Transformation des données (n> d+1 et c - on définit la matrice Y(t) inversible si les Y i sont iid ayant une distribution absolument continue. - on note - on calcule la médiane spatiale des Z i (t) telle que nEtape 2 : Retransformation de lestimateur

18 Paris, 18 juin 2008 18 TR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nCas de la médiane spatiale conditionnelle 1.La procédure Tansformation : 2. La procédure de Retransformation nGénéralisation aux quantiles spatiaux conditionnels 1.La procédure de Transformation 2.La procédure de Retransformation

19 Paris, 18 juin 2008 19 Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnelle multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion

20 Paris, 18 juin 2008 20 Mise en oeuvres des estimateurs nParamètres à choisir le noyeau K la fenêtre h n la matice de transformation Y(T) nMéthodes Noyau : Choix optimal (mais couteux) pour h n et Y(T) Choix effectif : Validation croisée (on se fixe lun des paramètres et on choisit lautre)

21 Paris, 18 juin 2008 21 Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnelle multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion

22 Paris, 18 juin 2008 22 Ajustement de la pression artérielle (diastolique et systolique) en fonction de lâge et du poids dune population of afro-americainen ( Maywood, Illinois). n=720, d=2, âge [11,85], poids [30,170] Application Systolic blood pressure DBP SBP Blood pressure DBP SBP Weight n n ^ ^ n ^ n ^ Diastolic blood pressureAge

23 Paris, 18 juin 2008 23 Comparaison de 3 méthodes destimation de la médiane spatiale Application * Critère: erreur quadratique

24 Paris, 18 juin 2008 24 Plan nIntroduction : Médiane et quantiles conditionnels univariés nMédiane (spatiale) conditionnelle multivariée nQuantiles conditionnels multivariés nTR-estimation des quantiles spatiaux conditionnels nMise en oeuvres des estimateurs nApplication nConclusion

25 Paris, 18 juin 2008 25 Conclusion nMéthodes –robustes –invariantes –Bien adaptées à la modélisation et à la prédiction –Belles propriétés mathématiques nRéférences –Duffet, C., Gannoun, A., Guinot, C., Saracco, J. (2005). An affine equivariant estimator of conditional spatial median, Preprint. –Gannoun A., Saracco J., Yuan A., Bonney G. E. (2003). On adaptive transformation- retransformation estimate of conditional spatial median, Communications in Statistics Theory and methods, 32, 1981-2011. –Berlinet A., Cadre B., Gannoun A., (2001). On the conditional L 1 -median and its estimation, Journal of Nonparametric Statistics, 13, 631-645 –Chakraborty, B., Chaudhuri, P. (1999). A note on the robustness of multivariate medians, Statistics and Probability letters, 45, 269-276.