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Émergence du calcul des probabilités (II ter) De lespérance pascalienne à la théorie laplacienne.

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1 Émergence du calcul des probabilités (II ter) De lespérance pascalienne à la théorie laplacienne

2 4 - Laplace, philosophe et théoricien Le déterminisme dans lEssai philosophique Ce quen pense René Thom Le statut subjectif de la probabilité Les 10 principes de la théorie laplacienne Résolution du problème de Bernoulli Conclusion de lEssai philosophique

3 Pierre-Simon de Laplace, Bourgeois, professeur, académicien, citoyen, comte dempire, puis marquis « Ce que nous connaissons est peu de chose, ce que nous ignorons est immense ». « Le hasard na donc aucune réalité en lui- même: ce nest quun terme propre à désigner notre ignorance… » ( Mémoires de mathématiques et de physique présentés par divers savants, ) « La probabilité est relative en partie à cette ignorance, en partie à nos connaissances… …La théorie des hasards consiste à réduire tous les événements du même genre à un certain nombre de cas également possibles, cest-à-dire tels que nous soyons également indécis sur leur existence, et à déterminer le nombre de cas favorables à lévénement dont on cherche la probabilité ». ( Introduction à lEssai philosophique sur les probabilités, rédigé de 1795 à 1825).

4 Laplace historien « Depuis longtemps on a d é termin é dans les jeux les plus simples les rapports des chances favorables ou contraires aux joueurs les enjeux et les paris é taient r é gl é s d'apr è s ces rapports. Mais personne, avant Pascal et Fermat, n'avait donn é des principes et des m é thodes pour soumettre cet objet au calcul, et n'avait r é solu des questions de ce genre un peu compliqu é es. C'est donc à ces deux grands g é om è tres qu'il faut rapporter les premiers é l é ments de la science des probabilit é s, dont la d é couverte peut être mise au rang des choses remarquables qui ont illustr é le XVII è me si è cle, celui de tous qui fait le plus d'honneur à l'esprit humain ». (Note historique sur le calcul des probabilit é s, Essai philosophique, 1825)

5 Laplace déterministe « Tous les événements, ceux mêmes qui par leur petitesse semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions du soleil. Dans l'ignorance des liens qui les unissent au système entier de l'univers, on les a fait dépendre des causes finales, ou du hasard, suivant qu'ils arrivaient et se succédaient avec régularité, ou sans ordre apparent … » « … Les événements actuels ont avec les précédents une liaison fondée sur le principe évident, qu'une chose ne peut pas commencer d'être, sans une cause qui la produise. Cet axiome, connu sous le nom de principe de la raison suffisante, s'étend aux actions mêmes que l'on juge indifférentes… » (Introduction à lEssai philosophique sur les probabilités, 1812) … Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. René Thom: « En science, l'al é atoire pur, c'est le processus markovien, o ù toute trace du pass é s'abolit dans la gen è se du nouveau coup ; à chaque é preuve se r é it è re le « big bang » cr é ateur … L'al é atoire pur exige un fait sans cause, c'est- à -dire un commencement absolu. Or, il n'y a d'autre exemple de commencement absolu que celui de la Cr é ation … Dans ce conflit : d é terminisme - hasard, la science est d é terministe - pour raison de principe : la science vise à la constitution d'un savoir à validit é permanente, sur lequel le temps n'a plus de prise ». (Préface à lEssai philosophique, 1986)

6 Laplace probabiliste « La théorie des probabilités tient à des considérations si délicates, quil nest pas surprenant quavec les mêmes données deux personnes trouvent des résultats différents, surtout dans les questions très compliquées ». « La théorie des hasards consiste à réduire tous les événements du même genre à un certain nombre de cas également possibles, c'est-à- dire tels que nous soyons également indécis sur leur existence, et à déterminer le nombre de cas favorables à l'événement dont on cherche la probabilité. Le rapport de ce nombre à celui de tous les cas possibles est la mesure de cette probabilité qui n'est ainsi qu'une fraction, dont le numérateur est le nombre des cas favorables et dont le dénominateur est le nombre de tous les cas possibles. » (Introduction aux principes, Essai philosophique sur les probabilités) Dix principes pour fonder le calcul des probabilités PREMIER PRINCIPE « Le premier de ces principes est la d é finition même de la probabilit é qui, comme on l a vu est le rapport du nombre des cas favorables à celui de tous les cas possibles ». DEUXI È ME PRINCIPE « Mais cela suppose les divers cas é galement possibles. S'ils ne le sont pas, on d é terminera d'abord leurs possibilit é s respectives dont la juste appr é ciation est un des points les plus d é licats de la th é orie des hasards. Alors la probabilit é sera la somme des possibilit é s de chaque cas favorable ».

7 TROISIEME PRINCIPE : conjonctions d é v é nements ind é pendants « Un des points les plus importants de la Th é orie des Probabilit é s, et celui qui prête le plus aux illusions, est la mani è re dont les probabilit é s augmentent ou diminuent par leurs combinaisons mutuelles. Si les é v é nements sont ind é pendants les uns des autres, la probabilit é de l'existence de leur ensemble est le produit de leurs probabilit é s particuli è res. G é n é ralement, la probabilit é qu'un é v é nement simple dans les mêmes circonstances arrivera de suite, un nombre donn é de fois, est é gale à la probabilit é de cet é v é nement simple, é lev é e à une puissance indiqu é e par ce nombre ». QUATRI È ME PRINCIPE : probabilit é s compos é es « Quand deux é v é nements d é pendent l'un de l'autre, la probabilit é de l' é v é nement compos é est le produit de la probabilit é du premier é v é nement, par la probabilit é que cet é v é nement é tant arriv é l'autre arrivera ». P(A et B) = P(A)xP(B/A) CINQUI È ME PRINCIPE : probabilit é conditionnelle (approche chronologiste) « Si l'on calcule a priori la probabilit é de l' é v é nement arriv é, et la probabilit é d'un é v é nement compos é de celui-ci et d'un autre qu'on attend, la seconde probabilit é divis é e par la premi è re sera la probabilit é de l' é v é nement attendu, tir é e de l' é v é nement observ é ». P(A 1 et A 2 )/P(A 1 ) = P(A 2 /A 1 ) Principes 3 à 5 : probabilités conditionnelles

8 Principes 6 et 7 : probabilités des causes SIXI È ME PRINCIPE : "Chacune des causes, auxquelles un é v é nement observ é peut-être attribu é, est indiqu é e avec d'autant plus de vraisemblance, qu'il est plus probable que cette cause é tant suppos é e exister, l' é v é nement aura lieu ; … » Si C 1 et C 2 sont deux causes qui peuvent produire un é v é nement E avec les probabilit é s respectives P(E/C 1 ) et P(E/C 2 ) et si P(E/C 1 ) > P(E/C 2 ), alors les probabilit é s des causes C 1 et C 2 sachant qu'on a observ é E, sont dans le même ordre : P(C 1 /E) > P(C 2 /E).... « la probabilit é de l'existence d'une quelconque de ces causes est donc une fraction dont le num é rateur est la probabilit é de l' é v é nement, r é sultante de cette cause, et dont le d é nominateur est la somme des probabilit é s semblables relatives à toutes les causes : … »... « si ces diverses causes consid é r é es a priori sont in é galement probables, il faut au lieu de la probabilit é de l' é v é nement, r é sultante de chaque cause, employer le produit de cette probabilit é, par la possibilit é de la cause elle-même ».

9 Formule des probabilités totales et formule de « Bayes » SEPTI È ME PRINCIPE : « La probabilit é d'un é v é nement futur est la somme des produits de la probabilit é de chaque cause, tir é e de l' é v é nement observ é, par la probabilit é que, cette cause existant, l' é v é nement futur aura lieu. » C'est la formule des probabilit é s totales: P(E) = P(C 1 )P(E/C 1 ) + P(C 2 )P(E/C 2 ). Remarquons qu'avec la formule des probabilit é s compos é es : P(A et B) = P(A/B).P(B) elle contient la formule dite de Bayes donn é e au sixi è me principe : Pasteur protestant non conformiste à Tunbridge Wells (Kent), élève de de Moivre. Ardent défenseur des idées de Newton, élu à la Royale Society en Il sest intéressé avant tout aux probabilités mais ses notes nont été publiées quen 1764 par son ami Price sous le titre: An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances

10 Principes 8 et 9 : Espérance mathématique « La probabilit é des é v é nements sert à d é terminer l'esp é rance ou la crainte des personnes int é ress é es à leur existence. Le mot esp é rance a diverses acceptions il exprime g é n é ralement l'avantage de celui qui attend un bien quelconque dans des suppositions qui ne sont que probables. Cet avantage, dans la th é orie des hasards, est le produit de la somme esp é r é e par la probabilit é de l'obtenir c'est la somme partielle qui doit revenir lorsqu'on ne veut pas courir les risques de l' é v é nement, en supposant que la r é partition se fasse proportion-nellement aux probabilit é s. Cette r é partition est la seule é quitable, lorsqu'on fait abstraction de toutes circonstances é trang è res, parce qu'un é gal degr é de probabilit é donne un droit é gal sur la somme esp é r é e. Nous nommerons cet avantage, esp é rance math é matique ». HUITI È ME PRINCIPE « Lorsque l'avantage d é pend de plusieurs é v é nements, on l'obtient, en prenant la somme des produits de la probabilit é de chaque é v é nement par le bien attach é à son arriv é e ». NEUVI È ME PRINCIPE « Dans une s é rie d' é v é nements probables, dont les uns produisent un bien et les autres une perte, on aura l'avantage qui en r é sulte, en faisant une somme des produits de la probabilit é de chaque é v é nement favorable, par le bien qu'il procure, et en retranchant de cette somme celle des produits de la probabilit é de chaque é v é nement d é favorable, par la perte qui y est attach é e. Si la seconde somme l'emporte sur la premi è re, le b é n é fice devient perte et l'esp é rance se change en crainte ».

11 Principe 10 : Espérance morale de Daniel Bernoulli DIXI È ME PRINCIPE. « La valeur relative d'une somme infiniment petite est é gale à sa valeur absolue divis é e par le bien total de la personne int é ress é e. Cela suppose que tout homme a un bien quelconque dont la valeur ne peut jamais être suppos é e nulle. En effet, celui même qui ne poss è de rien, donne toujours au produit de son travail et à ses esp é rances une valeur au moins é gale à ce qui lui est rigoureusement n é cessaire pour vivre ». « Si l on applique l'analyse au principe que nous venons d'exposer, on obtient la r è gle suivante. En d é signant par l'unit é, la partie de la fortune d'un individu, ind é pendante de ses expectatives ; si l'on d é termine les diverses valeurs que cette fortune peut recevoir en vertu de ces expectatives, et leurs probabilit é s, le produit de ces valeurs é lev é es respectivement aux puissances indiqu é es par ces probabilit é s, sera la fortune physique qui procurerait à l'individu le même avantage moral qu'il re ç oit de la partie de sa fortune, prise pour unit é, et de ses expectatives ; en retranchant donc l'unit é de ce produit, la diff é rence sera l'accroissement de la fortune physique, d û aux expectatives nous nommerons cet accroissement, esp é rance morale. Il est facile de voir qu'elle co ï ncide avec l'esp é rance math é matique, lorsque la fortune prise pour unit é devient infinie par rapport aux variations qu'elle re ç oit des expectatives ».

12 Laplace et le problème de Bernoulli : vers la loi normale « La probabilit é que le rapport du nombre des boules blanches extraites au nombre total des boules sorties ne s é carte pas, au-del à d un intervalle donn é, du rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules contenues dans l'urne, approche ind é finiment de la certitude par la multiplication ind é finie des é v é nements, quelque petit que l'on suppose cet intervalle », nous rappelle Laplace, notant que Bernoulli « attachait une grande importance à sa d é monstration », et il ajoute: « Moivre a repris dans son ouvrage le th é or è me de Bernoulli … Il ne se contente pas de faire voir, comme Bernoulli, que le rapport des é v é nements qui doivent arriver approche sans cesse de leurs possibilit é s respectives, il donne de plus une expression é l é gante et simple de la probabilit é que la diff é rence de ces deux rapports est contenue dans des limites donn é es … ». Laplace fait alors ce commentaire: « Ce th é or è me indiqu é par le bon sens é tait difficile à d é montrer par l'Analyse... Le calcul des fonctions g é n é ratrices appliqu é à cet objet, non seulement d é montre avec facilit é ce th é or è me, mais de plus il donne la probabilit é que le rapport des é v é nements observ é s ne s' é carte que dans certaines limites du vrai rapport de leurs possibilit é s respectives »… … « L'analyse qu'elles exigent est la plus d é licate et la plus difficile de la th é orie des probabilit é s : c'est un des principaux objets de l'ouvrage que j'ai publi é sur cette th é orie, et dans lequel je suis parvenu à des formules de ce genre, qui ont l'avantage remarquable d'être ind é pendantes de la loi de probabilit é des erreurs ».

13 « Il est remarquable qu une science qui a commenc é par la consid é ration des jeux se soit é lev é e aux plus importants objets des connaissances humaines. J ai rassembl é toutes ces m é thodes dans ma Th é orie analytique des Probabilit é s … » « … On voit par cet Essai que la th é orie des probabilit é s n'est au fond que le bon sens r é duit au calcul : elle fait appr é cier avec exactitude, ce que les esprits justes sentent par une sorte d'instinct, sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte. Elle ne laisse rien d'arbitraire dans le choix des opinions et des partis à prendre, toutes les fois que l'on peut, à son moyen, d é terminer le choix le plus avantageux. Par l à, elle devient le suppl é ment le plus heureux à l'ignorance et à la faiblesse de l'esprit humain. Si l'on consid è re les m é thodes analytiques auxquelles cette th é orie a donn é naissance, la v é rit é des principes qui lui servent de base, la logique fine et d é licate qu'exige leur emploi dans la solution des probl è mes, les é tablissements d'utilit é publique qui s'appuient sur elle, et l'extension qu'elle a re ç ue et qu'elle peut recevoir encore par son application aux questions les plus importantes de la Philosophie naturelle et des sciences morales ; si l'on observe ensuite que dans les choses mêmes qui ne peuvent être soumises au calcul, elle donne les aper ç us les plus s û rs qui puissent nous guider dans nos jugements, et qu'elle apprend à se garantir des illusions qui souvent nous é garent, on verra qu'il n'est point de science plus digne de nos m é ditations, et qu'il soit plus utile de faire entrer dans le syst è me de l'instruction publique. » Conclusion de lEssai philosophique

14 Ma conclusion : Affaire à suivre…


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