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Congrès MATh en JEANS Méthode dApprentissage de la Théorie des mathématiques en Jumelant des Etablissements pour une Approche Nouvelle du Savoir.

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1 Congrès MATh en JEANS Méthode dApprentissage de la Théorie des mathématiques en Jumelant des Etablissements pour une Approche Nouvelle du Savoir

2 Le Labyrinthe des Lemmings

3 Les Lemmings Les Lemmings sont des petits rongeurs de lEurasie septentrionale, voisins des campagnols, pullulant tous les deux à quatre ans et effectuant alors des migrations massives vers le sud.

4 … Le Labyrinthe est un tableau composé dune suite de cases alignées et numérotées de 0 à linfini : Chaque case est associée à une flèche représentant une direction : la gauche ou la droite. Seules les cases 0 et 1 nont pas de flèche. Le Labyrinthe

5 Initialement, les flèches sont toutes orientées vers la gauche … Les Lemmings entrent dans le Labyrinthe au niveau de la case 2. Ils sont envoyés les uns après les autres, cest-à-dire quun Lemming nentre que lorsque le précédent est sorti du Labyrinthe. Lorsquun Lemming passe par une case avec une flèche, il suit la direction de la flèche puis la retourne.

6 n-1n-2...…n+1 Le Labyrinthe Le déplacement du Lemming varie selon le sens de la flèche : - Lorsque la flèche est vers la gauche, le Lemming se déplace de deux cases vers la gauche. n - Lorsque la flèche est vers la droite, le Lemming se déplace dune case vers la droite.

7 Le Labyrinthe Les sorties du Labyrinthe sont les cases 0 et 1. La case 0 correspond au paradis et la case 1 à lenfer. Lorsque le Lemming atteint une de ces deux cases, il sort du Labyrinthe et le Lemming suivant entre … Lemming au paradisLemming en enfer

8 Faisons un essai sur les premiers Lemmings pour mieux comprendre. Sortir si lon a atteint la case 0 ou la case … Se déplacer de deux cases vers la gauche Se déplacer dune case vers la droite ou Retourner la flèche Le Labyrinthe

9 Les Questions Est-ce que tous les Lemmings vont sortir du Labyrinthe ? Quelle proportion va rejoindre le paradis? Quelle proportion va rejoindre lenfer ?

10 Est-ce que tous les Lemmings vont sortir du Labyrinthe ? On peut essayer de répondre à cette question en trouvant une décomposition du trajet du Lemming. Mouvement : suite de déplacements dans le même sens (soit vers la gauche, soit vers la droite) Trajet : suite de tous les mouvements dun Lemming

11 Théorème de laller-retour Prenons la première case du tableau dont la flèche est orientée vers la gauche, juste avant quun nouveau Lemming entre dans le tableau (case c). Toutes les cases précédentes sont donc vers la droite et le Lemming va donc suivre ces cases et aller jusquà la case c (premier mouvement). Comme la case c est orientée vers la gauche, le Lemming va initier un nouveau mouvement c-1cc+1…

12 Théorème de laller-retour Or pour arriver à la case c, le Lemming aura retourné chacune des cases précédentes donc, le Lemming en suivant la consigne « vers la gauche » de la case c, va se retrouver sur une case de consigne « vers la gauche » aussi. Ainsi, comme toutes les cases avant c sont « vers la gauche » au moment ou le Lemming atteint c c-1cc+1…

13 Théorème de laller-retour Le Lemming va donc retourner au départ du Labyrinthe en changeant la flèche de certaines cases et tomber sur une des cases de sorties c-1cc+1… Notons que la sortie quil emprunte dépend de la parité de la case c.

14 Théorème de laller-retour Le mouvement « vers la gauche » correspond à un déplacement de deux cases vers la gauche, donc, lors du retour, le Lemming ne retombera que sur une case sur deux. Ne tombant que sur une case sur deux, le Lemming ne retournera quune flèche sur deux, et de la case 2 à la case c, le sens des flèches sera alterné c-1cc+1…

15 Quelle proportion va rejoindre lenfer ? c-1cc+1… Nous avons vu que lorsquun Lemming allait en enfer, les flèches étaient alternées jusquà la case la plus lointaine quil a atteinte : les flèches des cases impaires étaient tournées vers la droite et celles des cases paires vers la gauche.

16 Quelle proportion va rejoindre lenfer ? c-1cc+1… La case 2 étant paire, sa flèche est tournée vers la gauche. Le Lemming suivant ira donc directement au paradis. Lorsquun Lemming va en enfer, le suivant va forcément au paradis. La proportion de Lemmings en enfer est donc inférieure ou égale à ½.

17 Quelle proportion va rejoindre le paradis ? Après larrivée dun Lemming au paradis, il y a deux cas possibles. Soit le Lemming suivant va en enfer, soit il va au paradis. Nous avons démontré que sil va au paradis, le suivant va forcément en enfer, mais la démonstration est longue et compliquée.

18 Quelle proportion va rejoindre le paradis ? En résumé : Lorsquun Lemming va en enfer, le suivant va forcément au paradis. La proportion de Lemmings au paradis est donc supérieure ou égale à ½. Lorsque deux Lemmings vont au paradis, le suivant va forcément en enfer. La proportion de Lemmings au paradis est donc inférieure ou égale à.

19 Quelle proportion va rejoindre le paradis ? En résumé : La proportion de Lemmings en enfer est comprise entre et ½. La proportion de Lemmings au paradis est comprise entre ½ et.

20 La suite de Fibonnacci

21 LemmingSortieMaxSupermaxDurée du cycle ˙˙˙ Case max : Case la plus lointaine atteinte par un Lemming. Case supermax : case la plus lointaine quait atteinte lensemble des Lemmings

22 La suite de Fibonnacci On constate que le nombre de Lemmings nécessaire au passage dune case supermax n à la case supermax n+1 correspond aux nombres de la suite de Fibonnacci. Ce nest quune conjecture, mais un programme informatique nous a permis de la vérifier pour les premiers Lemmings.

23 La suite de Fibonnacci Daprès cela, nous avons observé que la proportion de Lemmings au paradis tend vers Φ -1. Φ est le nombre dor, nombre aux étranges propriétés, étroitement lié à la suite de Fibonnacci. 2 Φ = 1+5 1,618

24 Pour finir … Ce travail nous a amené a nous poser dautres questions : Au bout de combien de temps un Lemming sort-il en moyenne ? Quen serait-il dun Labyrinthe en plusieurs dimensions ?

25 Le Labyrinthe des Lemmings …

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