Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète.

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1 Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio Théorie de Morse discrète

2 Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares. Théorie de Morse discrète Introduction Fonctions de Morse classique Liens avec la topologie Théorie de Morse discrète Champs de gradient discret Comparaison avec la théorie classique 3 points de vue Optimalité Algorithme Applications 2 Laboratório Mat&Mídia Introduction Eléments de la théorie de Morse classique Eléments de théorie de Morse discrète Construction de fonctions de Morse discrètes Applications

3 Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares. Théorie de Morse discrète Introduction Fonctions de Morse classique Liens avec la topologie Théorie de Morse discrète Champs de gradient discret Comparaison avec la théorie classique 3 points de vue Optimalité Algorithme Applications 3 Laboratório Mat&Mídia Fonctions de Morse classique Fonction différentiable f définie sur une variété différentielle X, à valeurs réelles. Points critiques de f : x X tais que f(x)=0. f est une fonction de Morse ssi ses points critiques ne sont pas dégénérés.

4 Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares. Théorie de Morse discrète Introduction Fonctions de Morse classique Liens avec la topologie Théorie de Morse discrète Champs de gradient discret Comparaison avec la théorie classique 3 points de vue Optimalité Algorithme Applications 4 Laboratório Mat&Mídia Liens avec la topologie m(k) : nombre de points critiques dindice k (k) : k-ième nombre de Betti (calcule sur un anneau quelconque) Inégalité forte de Morse (k) - (k-1) + … (0) m(k) - m(k-1) + … m(0) Inégalité faible de Morse (k) m(k) Caractéristique dEuler (n) - (n-1)+… (0) = m(n) - m(n-1) +… m(0) Déformation continue hors des points critiques

5 Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares. Théorie de Morse discrète Introduction Fonctions de Morse classique Liens avec la topologie Théorie de Morse discrète Champs de gradient discret Comparaison avec la théorie classique 3 points de vue Optimalité Algorithme Applications 5 Laboratório Mat&Mídia Théorie de Morse discrète (Forman 1995) Complexe cellulaire arbitraire Théorie entièrement combinatoire Indépendante dun plongement géométrique

6 Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares. Théorie de Morse discrète Introduction Fonctions de Morse classique Liens avec la topologie Théorie de Morse discrète Champs de gradient discret Comparaison avec la théorie classique 3 points de vue Optimalité Algorithme Applications 6 Laboratório Mat&Mídia Champs de gradient discret Un champs de vecteurs combinatoire V est une collection disjointe de paire de cellules incidentes Un champs de vecteurs est de Morse sil nexiste pas de V-chemin trivial Les cellules critiques sont celles qui n'appartiennent à aucune paire de V.

7 Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares. Théorie de Morse discrète Introduction Fonctions de Morse classique Liens avec la topologie Théorie de Morse discrète Champs de gradient discret Comparaison avec la théorie classique 3 points de vue Optimalité Algorithme Applications 7 Laboratório Mat&Mídia Comparaison avec la théorie classique

8 Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares. Théorie de Morse discrète Introduction Fonctions de Morse classique Liens avec la topologie Théorie de Morse discrète Champs de gradient discret Comparaison avec la théorie classique 3 points de vue Optimalité Algorithme Applications 8 Laboratório Mat&Mídia 3 points de vue Fonction de Morse sur un complexe cellulaire Champs de gradient discret: matching acyclique Hyperforets

9 Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares. Théorie de Morse discrète Introduction Fonctions de Morse classique Liens avec la topologie Théorie de Morse discrète Champs de gradient discret Comparaison avec la théorie classique 3 points de vue Optimalité Algorithme Applications 9 Laboratório Mat&Mídia Optimalité Une fonction f définie par f( )=dim( ) est une fonction de Morse discrète ou tous les points sont critiques Une fonction de Morse est dite optimale si elle atteint le nombre minimum de points critiques Le nombre minimum de points critiques est un invariant topologique pour les variétés de dimension 3 Atteindre loptimum est un problème MAX- SNP hard (à partir de la dimension 2)

10 Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares. Théorie de Morse discrète Introduction Fonctions de Morse classique Liens avec la topologie Théorie de Morse discrète Champs de gradient discret Comparaison avec la théorie classique 3 points de vue Optimalité Algorithme Applications 10 Laboratório Mat&Mídia Algorithme Construction de fonctions de Morse proches de loptimum en dimension quelconque Optimal pour les variétés en dimension 2 Linéaire en dimension 2 Quadratique en dimension quelconque Ajouts de contraintes géométriques

11 Thomas Lewiner, Helio Lopes e Geovan Tavares. Théorie de Morse discrète Introduction Fonctions de Morse classique Liens avec la topologie Théorie de Morse discrète Champs de gradient discret Comparaison avec la théorie classique 3 points de vue Optimalité Algorithme Applications 11 Laboratório Mat&Mídia Applications Démonstration élégante dalgorithmes (EdgeBreaker Grow&Fold) Minimiser les glue faces de Grow&Fold Résolution de flots discrets Lien avec les surfaces normales?