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Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D.

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1 Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2013 © Guy Gauthier ing. Ph.D

2 Équations différentielles Les systèmes industriels peuvent être représentés par une série déquations différentielles ordinaires. Cette série déquation peut être mise sous une forme matricielle. Cette représentation matricielle est appelée représentation dans lespace détat. 2(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

3 Forme générale des modèles dymanique Ensemble déquations différentielles du 1 er ordre : Variables détat Variables dentrées Paramètres 3(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

4 Représentation vectorielle Équation : Si les paramètres sont constants, on peut écrire : Sil ny a pas dentrées (u=0), le système est dit « autonome ». 4(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

5 Solutions en régime permanent Les solutions sont très simples, puisquen régime permanent le système névolue plus (ce qui implique que les dérivées sont nulles): Donne les valeurs des états x s, des entrées u s et des paramètres p s. 5(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

6 Exemple Soit un pendule modélisé par: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.6 Paramètre Couple Angle

7 Exemple Soit un pendule modélisé par: États: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.7 Position (Angle) Vitesse

8 Exemple Équations détat: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.8

9 Exemple Si T(t) = 0, on trouve deux positions déquilibre, en posant f 1 et f 2 égaux à 0. Ce qui mène à: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.9

10 Exemple Si T(t) = T s a 2, on trouve la position déquilibre, en posant f 1 et f 2 égaux à 0. Ce qui mène à: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.10

11 Les sorties de ce système Les p sorties du système dynamique sont représentées par ces équations: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.11 Sorties Variables dentrées Paramètres

12 Les sorties de ce système On peut mettre les équations des sorties sous forme vectorielle: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.12

13 Diagramme bloc du système Cest un schéma bloc général, puisque f et g peuvent être non-linéaires. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.13

14 LINÉARISATION Il peut arriver que f(x,u,p) et/ou g(x,u,p) ne soient pas linéaires. Comment analyser un tel système ? (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.14

15 Linéarisation Permet de transformer une équation non- linéaire en une équation linéaire applicable autour dun point dopération donné : En x s, u s 15(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

16 Cas avec une seule variable Équation non-linéaire : La série de Taylor permet de linéariser : On néglige les termes dordre plus élevés ! On néglige les termes dordre plus élevés ! 16(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

17 Cas avec une seule variable (suite) Le point dopération autour duquel on linéarise le système est le point atteint en régime permanent, donc : En conséquence : 17(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

18 Cas avec une seule variable (suite) Comme : On peut poser : Et écrire : Puisque x s constant 18(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

19 Cas une entrée/une variable détat Équation non-linéaire : La série de Taylor permet de linéariser : Les termes dordre supérieur seront négligés 19(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

20 Cas 1 entrée/1 variable détat (suite) On pose : Donc : 20(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

21 Cas 1 entrée/1 variable détat (Ajout dune sortie) Équation non-linéaire : La série de Taylor permet de linéariser : Les termes dordre supérieur seront négligés La sortie en régime permanent 21(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

22 Cas 1 entrée/1 variable détat (Ajout dune sortie - suite) En posant : On obtient pour la sortie linéarisée : 22(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

23 Exemple #1 Réservoir cylindrique dont on mesure le niveau: 23(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

24 Exemple #1 Hauteur dun réservoir avec écoulement de sortie non-linéaire : Série de Taylor : Négligeant les termes dordre supérieur 24(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

25 Exemple #1 (suite) En dérivant : En régime permanent : Permet dobtenir h s à partir de F s et des paramètres… 25(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

26 Exemple #1 (suite) Donc : Ou encore : a a b b Écart 26(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

27 Cas une entrée/deux variables détat/une sortie Équations non-linéaires : 27(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

28 Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Pour linéariser lensemble : Les termes dordre supérieur seront négligés 28(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

29 Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Pour linéariser lensemble : Avec : 29(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Les termes dordre supérieur seront négligés

30 Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Comme : On écrit : 30(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

31 Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Et : 31(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

32 Exemple du pendule Rappel de léquation détat non-linéaire (avec entrée nulle): (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.32

33 Exemple du pendule À x 1s = x 2s = 0 (pendule vers le bas): (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.33

34 Exemple du pendule À x 1s = π, x 2s = 0 (pendule vers le haut): (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.34

35 Généralisant Système ayant n états, m entrées et p sorties: 35(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

36 Définitions des éléments des matrices de linéarisation Élément de la matrice Jacobienne (A) : Élément de la matrice B : 36(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

37 Définitions des éléments des matrices de linéarisation Élément de la matrice C : Élément de la matrice D : 37(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

38 Forme après la linéarisation Équation détat : Équation de sortie: Forme habituelle: 38(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

39 Exemple #2 Deux réservoirs en interaction : 39(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

40 Exemple #2 (suite) Équations du système : Si la sortie h 2 nous intéresse : 40(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

41 Exemple #2 (suite) Posons : Calcul de la Jacobienne : 41(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

42 Exemple #2 (suite) Calcul de la Jacobienne : 42(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

43 Exemple #2 (suite) Calcul de la matrice B : 43(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

44 Exemple #2 (suite) Calcul de la matrice C : 44(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

45 Exemple #2 (suite) Bilan : 45(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

46 Solution pour des entrées nulles Léquation générale dun modèle dans lespace détat est : Si lentrée est nulle (u = 0), alors on peut écrire : 46(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

47 Cas à une variable Pour un système représenté par : La solution est : Elle converge si a<0. – Alors, le système est dit stable. 47(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

48 Cas multivariable Par extension, la solution dun système ayant plusieurs variables détat sera : Problème : – Comment calculer lexponentielle dune matrice ? 48(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

49 Méthode de la transformation de similarité Prenons en exemple une matrice A de taille 2x2. Les valeurs propres de cette matrice (eigenvalue) sont les racines de léquation caractéristique de la matrice A. Cette équation caractéristique est obtenue comme suit: 49(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

50 Valeurs propres (Exemple) Soit la matrice A suivante : Léquation caractéristique est : 50(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

51 Valeurs propres (Exemple - suite) Les valeurs propres de A sont –1 et –5. – Fonction sur MATLAB : eig(A) 51(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

52 Méthode de la transformation de similarité (suite) Associé à la valeur propre i, il y a le vecteur propre i. Un vecteur propre est un vecteur i qui est solution de : pour la valeur propre correspondante i. 52(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

53 Vecteurs propres (Exemple - suite) Pour λ 1 = -1, le vecteur propre sera la solution de : Une solution possible est : 53(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

54 Vecteurs propres (Exemple) Pour λ 2 = -5, le vecteur propre sera la solution de : Une solution possible est : 54(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

55 Méthode de la transformation de similarité (suite) On peut généraliser en écrivant : Avec : 55(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

56 Méthode de la transformation de similarité (suite) On peut écrire : En multipliant par t et en faisant lexponentielle, on trouve : Avec : 56(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

57 Solution du système Ainsi : Toutes les valeurs propres de A doivent être inférieures à 0 pour que la réponse soit stable. 57(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

58 Fin de lexemple Solution : Ou encore 58(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

59 Effet de la direction de la condition initiale Pour faciliter lanalyse, on peut sassurer que les variables détat soient indépendantes les unes des autres. Ainsi, définissons une nouvelle variable détat z, en posant : 59(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

60 Solution de ce système La solution est (si 2x2) : 60(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

61 Condition initiale #1 Si la condition initiale est de la forme : Alors la réponse est : 61(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

62 Condition initiale #1 La condition initiale : – Donne une réponse dont la vitesse est associée à λ 1. La réponse est dite « dans la direction de λ 1 ». 62(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

63 Condition initiale #1 Si on revient dans la variable originale : De même pour λ 2 63(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

64 Exemple Solution : Si z(0) = [1 0] T : 64(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

65 Exemple Si z(0) = [0 1] T : 65(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

66 Exemple Sous espace lentSous espace rapide 66(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

67 Solutions de la forme générale Léquation générale dun modèle dans lespace détat est : Cette fois-ci, considérons que lentrée u(t) négale pas 0. 67(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

68 Cas à une variable Pour un système représenté par : La solution est : – Pour u(t) = constante = u(0). 68(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

69 Cas multivariable Toujours par extension, la solution dun système ayant plusieurs variables détat sera : Avec : 69(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

70 u(t) pas constant Si u(t) nest pas constant, on peut faire un calcul numérique à chaque tranche de temps: 70(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

71 Méthode plus précise Calcul de létat: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.71 Réponse à entrée nulle Réponse à condition initiale nulle

72 Méthode plus précise Calcul de létat: Calcul de la sortie: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.72

73 Observabilité (Définition) Un système est dit observable à linstant t 0, si connaissant létat du système x(t), il est possible, à partir de lobservation de la sortie y(t) sur un intervalle de temps fini (de t 0 à t), de déterminer létat x(t 0 ). 73(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

74 Observabilité Il est possible de vérifier à partir des équations détat si lensemble des états sont observables ou non. 74(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

75 Contrôlabilité (Définition) Un système est dit contrôlable à linstant t 0, si connaissant létat initial du système x(t 0 ), il est possible dappliquer une commande u(t) amenant ce système vers tout autre état sur un intervalle de temps fini. 75(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

76 Contrôlabilité Il est possible de vérifier à partir des équations détat si lensemble des états sont contrôlables ou non. 76(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

77 Stabilité dun système représenté par des équations détat Le système est stable si : est tel que lensemble des valeurs propres sont à partie réelle négative. Il suffit dune seule valeur propre à partie réelle positive pour rendre le système instable. 77(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

78 Stabilité - Exemple Ainsi : …est instable, car : s ϵ {-0.5, , }. 78(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

79 Exemple (réservoirs indépendants) Équation détat : 79(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

80 Exemple (réservoirs indépendants) Ce système est stable car les valeurs propres sont toutes négatives. 80(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

81 Vecteurs propres Les vecteurs propres peuvent servir à définir le comportement dun système représenté dans lespace détat. Les vecteurs propres sont associées aux valeurs propres. 81(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

82 Exemple (réservoirs indépendants) Vecteur propre #1 : 82(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

83 Exemple (réservoirs indépendants) Vecteur propre #2 : 83(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

84 84

85 EXPONENTIELLE DUNE MATRICE Doù vient cette équation ? 85(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

86 Exponentielle dune valeur scalaire Soit une valeur scalaire. Alors on peut écrire la série de lexponentielle comme suit: 86(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

87 Exponentielle dune matrice Par extension, soit. Alors, on peut écrire la série suivante: – Ce qui peut être long à calculer… 87(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

88 Transformation de similarité Puisque: …nous pouvons alors simplifier la série de lexponentielle. 88(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

89 Retour sur lexponentielle Ainsi, on peut écrire la série exponentielle comme suit: 89(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

90 Il semble que lon ne gagne rien, mais… Voyons le terme: On peut lécrire: – Puisque. – On peut répéter ce manège pour les puissances supérieures… 90(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

91 Et en plus… Λ k est une matrice diagonale. 91(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

92 Effet sur la série Et puisque : 92(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

93 Effet sur la série Ou encore: Reconnaissez vous le terme entre parenthèses: 93(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

94 Exponentielle dune matrice diagonale Lexponentielle dune matrice diagonale peut sécrire: Chaque élément de la diagonale peut être vu comme un scalaire. 94(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

95 Exemple numérique Soit: Les valeurs propres sont: -3, -4 et (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

96 Exemple numérique (suite) Les vecteurs propres correspondants sont: – Sur MATLAB®: A = [0 1 0;0 0 1; ] [S,V]=eig(A) 96(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

97 Exemple numérique (suite) Lexponentielle de Λt sera: Et:. 97(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.


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