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Congrès Dédra-MATH-isons Modulus VS Cryptographix Larithmétique modulaire au service du chiffrement affine.

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2 Congrès Dédra-MATH-isons Modulus VS Cryptographix Larithmétique modulaire au service du chiffrement affine

3 À l « Époque » : De nos jours : Messages militaires & Diplomatiques Transactions bancaires E-commerce Intro Intro / Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique Les Applications de la cryptographie

4 =+ Cryptanalyste Expéditeur Destinataire Clé + ChiffrementDéchiffrement Cryptogramme Texte clair Le Vocabulaire du Cryptologue Intro Intro / Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

5 A D 1 4 B E 2 5 … A B C D … X Y Z … Et les Mathématiques là dedans ? Décalage de 3 lettres Intro Intro / Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

6 1. Notions élémentaires de congruence arithmétique 2. Chiffrement par substitution monoalphabétique 3. Chiffrement par substitution polyalphabétique Le plan que nous allons suivre : Intro Intro / Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

7 Notions élémentaires de congruence arithmétique Congruence Intro/ Congruence / Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

8 a congru à b modulo m Soit m 0, a, b a-b est divisible par m. 4-9= =-8 Congruence Intro/ Congruence / Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

9 Résidu Ža, ! b : a b(modm) 0 b

10 Un nouvel ensemble Congruence Intro/ Congruence / Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique mod3 Travaillons en mod

11 Classe de résidus Congruence Intro/ Congruence / Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique Dans 3 = 0, 1, 2 : = 2+1 = 3 = = 2.2 = 4 = 1

12 Inversibilité dun élément dans Z m x est inversible dans Z m x et m sont premiers entre eux. PGCD(x,m)= 1 ax+bm=1 Congruence Intro/ Congruence / Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique Dans = 5 Car 5. 5 = nexiste pas ! Car PGCD(2,6)=2

13 Quelest linverse de 31 dans 98 ? Quel est linverse de 31 dans 98 ? 31 et 98 sont-ils premiers entre eux? 98= =6.5+1 =>PGCD(31,98)=1 Cherchons linverse a.31+b.98=1 (1) 31=6.5+1 (2) 98= (1)-6.(2) = =1 19=31 -1 (mod98) Congruence Intro/ Congruence / Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

14 m premier Si m est un nombre premier, tous les éléments de m (hormis 0) ont un inverse pour la multiplication dans m. Alphabet à 29 caractères Congruence Intro/ Congruence / Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique ABCDEFGHIJKLMMO PQRSTUVWXYZ ,_

15 Chiffrement par substitution monoalphabétique Chiffrement monoalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique / Chiffrement polyalphabétique

16 Formule générale de codage (x)=(ax+b) mod 29 Conditions: Chiffrement monoalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique / Chiffrement polyalphabétique

17 Exemple de chiffrement (x)=c=(2x+3) mod 29. « Je ne suis pas intelligent, je suis incroyablement curieux. » Message clair x Equivalent num é rique 2x+3 (2x+3) mod 29 Cryptogramme c e4 11 l _ _ n a e4 11 l vl_al_kotk_edk_tamlzztplam._vl_kotk_tahicwdfzl,lam_hoiulou j921 v Chiffrement monoalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique / Chiffrement polyalphabétique

18 Déchiffrement c= (x)=(ax+b) mod 29 x= -1 (c)= a -1 (c-b) mod 29 ? Chiffrement monoalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique / Chiffrement polyalphabétique

19 Déchiffrement zd_hoitcktml_lkm_oa_qtzdta_jlndom Cryptogramme c Equivalent num é rique 15(c-3) 15 (c-3) mod 29 Texte clair x d 30 0a _ _ h 760 2c La curiosité est un vilain défaut (x)=c=(2x+3) mod 29 x= -1 (c)= 2 -1 (c-3) mod 29 x= -1 (c)= 15 (c-3) mod 29 z l Chiffrement monoalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique / Chiffrement polyalphabétique

20 Cryptanalyse la curiosité est un vilain défaut _e,ipjudlunm,mln,pb,ru_eub,kmoepn _e _ ipjudlun e _ e ln _ pb _ ru_eub _ k e oepn la _ ipjudlun e _ e ln _ pb _ rul a ub _ k e o a pn la vipjud s ut e _ est _ pb _ ru la ub _ k e o a pt la _ i u j i d site _ est _ un _ vilain _ k e o aut Chiffrement monoalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique / Chiffrement polyalphabétique

21 CryptogrammeEquivalent num é rique c Texte clairEquivalent num é rique x,27-26 m12e4 27=(a.26+b)mod29 12=(a.4+b)mod29 Pour trouver la clé Chiffrement monoalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique / Chiffrement polyalphabétique c= (x)=(ax+b) mod 29 ? ?

22 Chiffrement par substitution polyalphabétique Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

23 Chiffrement C = ( A x M + B ) mod29, où – C est la matrice du message codé – M est la matrice du message clair – A est la matrice clé de multiplication – B est la matrice clé daddition Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

24 La matrice du message clair « Il faut d é truire Carthage. » « IL_/FAU/T_D/ETR/UIR/E_C/ART/HAG/E. _ » A M = Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

25 Les matrices clés Conditions pr é alables sur le genre : C = A x M + B [ ?x? ] = [ ?x? ] x [ l xm ] + [ ?x? ] [ ?x? ] = [ l x l ] x [ l xm ] + [ l xm ] [ ?x? ] = [ ?x l ] x [ l xm ] + [ ?x? ] [ ?x? ] = [ l x l ]x [ l xm ] + [ ?x? ] [ l xm ] = [ l x l ] x [ l xm ] + [ l xm ] Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

26 Matrice clé de multiplication A Deux possibilités : – Matrice quelconque [ 3x3 ] – Matrice [ 3x3 ] représentée par un mot de 9 lettres déterminant de A 0 Soit A = Genre de la matrice : [ 3x3 ] Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

27 Matrice clé daddition B Deux possibilités : – Duplication m fois dune matrice [ 3x1 ] représentée par un mot clé de 3 lettres (Vigenère) – Matrice quelconque de genre [ 3x9 ] (Vernam) Soit B = « KEY » dupliquée 9 fois Genre de la matrice : [ 3x9 ] Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

28 La matrice du message codé «.MM/QJZ/_X,/SIT/LYS/JIZ/HEH/ILP/RIA » C = ( A x M + B ) mod29 x + Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique = ( ) mod 29

29 Codage multiple «.MM/QJZ/_X,/SIT/LYS/JIZ/HEH/ILP/RIA » « IL_/FAU/T_D/ETR/UIR/E_C/ART/HAG/E.A » Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

30 Déchiffrement Opération utilisée pour le codage : C = ( A x M + B ) mod 29 Opération utilisée pour le décodage : C – B = A x M ( A -1 ( C – B )) mod 29 = M ? Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

31 Matrice du cryptogramme EGQ/PXZ/QKQ/PIS/UBC/.XR/RMO/HDW C = Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique ( A -1 ( C – B )) mod 29 = M

32 Les matrices clés A -1 = Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique A -1 = ( A -1 ( C – B )) mod 29 = M

33 La matrice du message clair « CAR/THA/GE_/EST/_DE/TRU/ITE/.AA » Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique ( A -1 ( C – B )) m od 29 = M x - = ( )) mod 29 (

34 Cryptanalyse Analyse fréquentielle… ? –U–Une lettre na pas quune correspondante –M–Multiplication des inconnues Mauvaise méthode Attaque à texte clair –D–Découverte déquations avec les éléments des clés comme inconnues Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

35 Conclusion C = ( A x M + B ) mod29 Chiffrement polyalphabétique Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique


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