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Calcul Scientifique pour les Sciences de lIngénieur Bruno Koobus Franck Nicoud.

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1 Calcul Scientifique pour les Sciences de lIngénieur Bruno Koobus Franck Nicoud

2 MD "Calcul Scientifique"2 MOTIVATION

3 MD "Calcul Scientifique"3 Objectifs Techniques et outils de base Culture de base sur le calcul scientifique - Exemples Résolution dun problème académique

4 MD "Calcul Scientifique"4 Motivation Les équations des sciences de lingénieur sont connues depuis longtemps … –Eq. de la chaleur (Fourier, 1807) –Mécanique des fluides (Navier-Stokes, 1822) –Elecromagnétisme (Maxwell, 1873) Les inconnues sont des fonctions scalaires ou vectorielles de plusieurs variables: x,y,z,t Ces fonctions sont solutions déquations aux dérivées partielles (EDP) en général non-linéaires

5 MD "Calcul Scientifique"5 Motivation Les cas où une solution analytique peut être trouvée sont très rares et simples: – géométrie simple – équation linéaire Les solutions obtenues sont souvent très lourdes même pour ces cas simplistes …

6 MD "Calcul Scientifique"6 Exemple de résolution analytique Equation de convection diffusion 1D dans un domaine infini

7 MD "Calcul Scientifique"7 Exemple de résolution analytique Si la concentration est initialement de la forme on peut obtenir la solution analytique …

8 MD "Calcul Scientifique"8 Exemple de résolution analytique Effet de la diffusion

9 MD "Calcul Scientifique"9 Exemple de résolution analytique Equation de la chaleur dans une cavité rectangulaire

10 MD "Calcul Scientifique"10 Exemple de résolution analytique Une méthode de séparation des variables permet dobtenir la solution analytique de ce petit problème décole …

11 MD "Calcul Scientifique"11 Exemple de résolution analytique Effet des fuites par convection

12 MD "Calcul Scientifique"12 Passage à des configurations plus complexes … Les cas académiques sont très utiles pour comprendre les phénomènes de bases, étudier les effets des différents termes des équations Les problèmes posés en pratique sont inaccessibles à la résolution analytique Il est alors naturel de faire des expériences …

13 MD "Calcul Scientifique"13 Expériences … On imagine que lon veut fabriquer un avion Il est exclu de réaliser toutes les mises au point de la forme extérieure à partir de réalisations à échelle 1

14 MD "Calcul Scientifique"14 Expériences … On utilise donc des maquettes de taille réduites que lon met dans une soufflerie Le nombre de Reynolds ne peut que très difficilement être respecté (10 à 100 fois trop petit) Extension des données acquises au cas du vrai avion ? Vitesse de lavion ou de lair dans la soufflerie Mach 0.9 < 1 Taille de la maquette: entre 1% et 10% du vrai avion Viscosité cinématique de lair. En gros

15 MD "Calcul Scientifique"15 Autre exemple … Propergol solide

16 MD "Calcul Scientifique"16 Expériences: de moins en moins ! La tendance actuelle est à la diminution des expériences à échelle 1 pour réduire les coûts de fabrication Les expériences sont réservées aux dernières mises au point avant la certification et la mise en production Les phases de mise au point préliminaires font de plus en plus appel à des « souffleries numériques » Lidée est de résoudre les EDP régissant le fonctionnement du système numériquement puisque lapproche analytique est impossible

17 MD "Calcul Scientifique"17 Simulation numérique Lorsque lon résout les EDP analytiquement, on cherche les solutions dans des espaces fonctionnels de dimension infinie (e.g. L 2 ) Si on y arrive, on a accès à la solution (e.g. la vitesse de lair autour de lavion) pour tout point de lespace, et à chaque instant Puisque lon y arrive presque jamais, on décide de simplifier le problème en ne cherchant la solution quen un nombre fini de points de lespace et pour un nombre fini dinstants On cherche alors les solutions de ce problème discrétisé dans un espace vectoriel de dimension finie.

18 MD "Calcul Scientifique"18 SIMULATION NUMERIQUE

19 MD "Calcul Scientifique"19 Maillages: profil daile davion structuré non structuré hybride

20 MD "Calcul Scientifique"20 Maillages: pot déchappement

21 MD "Calcul Scientifique"21 Maillages: injecteur + chambre

22 MD "Calcul Scientifique"22 Maillages: injecteur + chambre structuré Non-structuré

23 MD "Calcul Scientifique"23 Exemple de flamme turbulente stable Simulation aux Grandes Echelles – CERFACS – A. Sengissen

24 MD "Calcul Scientifique"24 Exemple en biomédical Iliac bifurcation – CHU Toulouse 3D model from CT images artheriography

25 MD "Calcul Scientifique"25 FUNCTIONAL IMAGING Iliac Bifurcation Computational GridWall Shear Stress Tracers

26 MD "Calcul Scientifique"26 Trois familles de méthodes Éléments finis (B. Koobus) Volume finis (non abordés dans ce module) Méthodes aux différences finies (F. Nicoud)

27 MD "Calcul Scientifique"27 Eléments finis en quelques mots A chaque instant, on cherche la solution de lEDP sous la forme Les fonctions forment une base de lespace de dimension N dans lequel on cherche à approximer la vraie solution f par f h. Les coefficients f i sont déterminés en imposant à f h dêtre la meilleure approximation de f dans lespace de dimension N choisi.

28 MD "Calcul Scientifique"28 Éléments finis en quelques mots Un choix classique est de prendre linéaire par morceaux et égale à 1 au nœud i du maillage, nulle partout ailleurs Linéaire 1 0 Nulle

29 MD "Calcul Scientifique"29 Éléments finis en quelques mots On cherche à résoudre E(f)=0 Avec lapproximation on commet une erreur E(f h ) La méthode de Galerkin consiste à dire que cette erreur et orthogonale aux fonctions de forme N équations, N inconnues …

30 MD "Calcul Scientifique"30 Volumes finis en quelques mots Bien adaptés à des problèmes conservatifs du type On intègre léquation sur chaque cellule du maillage et on utilise le théorème de la divergence Les inconnues sont les valeurs moyennes de f sur chaque cellules à linstant n+1, soit

31 MD "Calcul Scientifique"31 Volumes finis en quelques mots Les flux sur les faces de sont calculés à partir des valeur de f dans les cellules voisines

32 MD "Calcul Scientifique"32 Différences finies Contrairement aux éléments et volumes finis, cette technique nest pas adaptée aux maillages non cartésiens Mais elle est très intuitive En 1D, les trois méthodes sont équivalentes Permet dappréhender beaucoup de concepts ou problèmes numériques communs aux différentes méthodes

33 MD "Calcul Scientifique"33 Différences finies Lidée est de remplacer les dérivées partielles aux points de maillage par des développement de Taylor Plutôt que de chercher f(x), on cherche les valeurs de f aux nœuds du maillage, soit f i =f(x i )

34 MD "Calcul Scientifique"34 DERIVEES PREMIERES

35 MD "Calcul Scientifique"35 Dérivées premières Développement de Taylor au nœud i: Ces développements font apparaître les dérivées de f au nœud i uniquement

36 MD "Calcul Scientifique"36 Si les nœuds sont régulièrement espacés Dérivées premières

37 MD "Calcul Scientifique"37 Si les nœuds sont régulièrement espacés, la dérivée de f au nœud i est approximée par Erreur dapproximation est Schéma centré dordre 2 Dérivées premières

38 MD "Calcul Scientifique"38 On peut manipuler les développements limités pour obtenir dautres approximations de la dérivée première Dérivées premières

39 MD "Calcul Scientifique"39 Maillage non uniforme Développement de Taylor au nœud i:

40 MD "Calcul Scientifique"40 Maillage non uniforme Développement de Taylor au nœud i:

41 MD "Calcul Scientifique"41 Maillage régulier En conservant plus de termes dans les développements on obtient les schémas à lordre 4 et 6 suivants Ordres plus élevés

42 MD "Calcul Scientifique"42 ordre 1 aval ordre 1 amont ordre 2 aval ordre 2 amont Formules décentrées

43 MD "Calcul Scientifique"43 Problème modèle 1D: Eq. de convection Conditions limites et initiale: Comparaison des schémas

44 MD "Calcul Scientifique"44 Équation semi-discrète On calcule les f i entre t=0 et t=5 s à partir des deux schémas Test numérique amont ordre 1 centré ordre 2

45 MD "Calcul Scientifique"45 Test numérique amont ordre 1 centré ordre noeuds200 noeuds100 noeuds

46 MD "Calcul Scientifique"46 Ordre 2 centré / Ordre 1 amont Ordre 1 introduit de la diffusion … (cf solution analytique avec Re=2) Ordre 2 centré « exact » avec 400 points Ordre 2 centré déforme le signal si le nombre de points est plus petit Ordre 2 meilleur que ordre 1

47 MD "Calcul Scientifique"47 Test numérique centré ordre 4 centré ordre noeuds200 noeuds100 noeuds

48 MD "Calcul Scientifique"48 Ordre 2 centré / Ordre 4 centré Ordre 4 « exact » dans tous les cas considérés ici Ordre 2 centré « exact » avec 400 points Ordre 4 meilleur que ordre 2

49 MD "Calcul Scientifique"49 Test numérique amont ordre 2 centré ordre noeuds200 noeuds100 noeuds

50 MD "Calcul Scientifique"50 Ordre 2 centré / Ordre 2 amont Ordre 2 centré et amont « exacts » avec 400 points Ordre 2 centré et amont déforment le signal si le nombre de points est plus petit, mais pas de la même manière Ordre 2 amont amortit plus le signal Lordre ne dit pas tout sur un schéma …

51 MD "Calcul Scientifique"51 Analyse spectrale Cas dune fonction harmonique Schéma centré dordre 2 Lerreur commise est

52 MD "Calcul Scientifique"52 Signification de k x Sinusoïde de période L décrite avec N points x = L / N, k = 2 /L donc k x = 2 / N (exact)

53 MD "Calcul Scientifique"53 Analyse spectrale Tout se passe comme si on résolvait léquation Les différentes longueurs donde ne se déplacent pas à la même vitesse centré ordre 2 exact

54 MD "Calcul Scientifique"54 Analyse spectrale Équation effective SCHEMA Centré ordre 2 Amont ordre 1 Amont ordre 2 Centré ordre 4

55 MD "Calcul Scientifique"55 Analyse spectrale

56 MD "Calcul Scientifique"56 Lien avec lordre du schéma Dans la limite k x 0, la vitesse de propagation tend vers U 0 La vitesse avec laquelle lerreur tend vers zéro dépend de lordre du schéma Au voisinage de 0, Re(E(k x)) = 1+O((k x) n ), avec n lordre du schéma La partie imaginaire de lerreur nest pas directement reliée à lordre du schéma Les schémas centrés sont non dissipatifs: Im(E(k x)) = 0

57 MD "Calcul Scientifique"57 Dispersion La vitesse de propagation effective nest égale à la vitesse théorique que dans la limite k x 0 Une perturbation peut donc être propagée trop lentement ou trop vite Les fonctions et ne sont pas propagées à la même vitesse en général Que se passe-t-il lorsque lon convecte ?

58 MD "Calcul Scientifique"58 Déformation du signal On peut décomposer cette fonction comme une somme de fonctions harmoniques (en rendant f périodique éventuellement) La solution théorique après t s de simulation est Numériquement le mode devient La solution numérique est donc

59 MD "Calcul Scientifique"59 DERIVEES SECONDES

60 MD "Calcul Scientifique"60 Maillage régulier On utilise le fait que En appliquant lopérateur à Dérivées secondes

61 MD "Calcul Scientifique"61 Si les nœuds sont régulièrement espacés Problème de localité La dérivée seconde approximée de cette fonction est nulle !!

62 MD "Calcul Scientifique"62 Déduire la dérivée seconde des développements de Taylor Dérivées secondes

63 MD "Calcul Scientifique"63 Si les nœuds sont régulièrement espacés Problème de localité La dérivée seconde approximée de cette fonction est non nulle, mais pas infinie …

64 MD "Calcul Scientifique"64 Analyse spectrale Cas dune fonction harmonique Schéma centré dordre 2 à 2 Lerreur commise est

65 MD "Calcul Scientifique"65 Analyse spectrale Schéma centré dordre 2 à 4 Lerreur commise est

66 MD "Calcul Scientifique"66 Analyse spectrale Les erreurs sont réelles uniquement, donc pas de convection numérique

67 MD "Calcul Scientifique"67 Si les nœuds sont régulièrement espacés Utile pour les coefficients de diffusivité variables Interprétation volumes finis

68 MD "Calcul Scientifique"68 Retour sur le schéma amont ordre 1 Rappel: ce schéma introduit beaucoup de dissipation par comparaison avec le centré dordre 2 En effet: Utiliser ce schéma revient donc à résoudre avec un schéma centré dordre 2

69 MD "Calcul Scientifique"69 Laplacien

70 MD "Calcul Scientifique"70 INTEGRATION TEMPORELLE

71 MD "Calcul Scientifique"71 Schéma en temps La solution est évaluée en une succession de temps discrets Le pas de temps t est le plus souvent constant Itération n: passer de t n à t n+1

72 MD "Calcul Scientifique"72 Schémas en temps classiques Même démarche que pour les dérivées en espace: développements de Taylor en temps Euler explicite: Euler implicite:

73 MD "Calcul Scientifique"73 Intégration en temps Problème aux valeurs initiales: Algorithme exact Comment estimer lintégrale de K ?

74 MD "Calcul Scientifique"74 Intégration en temps Méthode à un pas: Méthode dordre p si:

75 MD "Calcul Scientifique"75 Augmentation de lordre Il suffit de prendre un développement de Taylor plus grand … Et de définir comme

76 MD "Calcul Scientifique"76 Passage pratique à lordre 2 Plutôt que destimer des dérivées dordre élevées, il est préférable de mieux choisir les endroits où on évalue K On part de Par identification jusquà lordre 1 inclus

77 MD "Calcul Scientifique"77 Runge-Kutta dordre 2 Schéma à deux « étapes »:

78 MD "Calcul Scientifique"78 Passage pratique à lordre p On part de Par identification on obtient les coefficients qui permettent dobtenir lordre p

79 MD "Calcul Scientifique"79 Passage pratique à lordre p Nombre de coefficients à fixer: Système non-linéaire sous déterminé

80 MD "Calcul Scientifique"80 Runge-Kutta ordre 4 Problème aux valeurs initiales:

81 MD "Calcul Scientifique"81 Autres Schémas en temps classiques Crank-Nicolson: Adams-Bashforth Runge-Kutta dordre p

82 MD "Calcul Scientifique"82 ANALYSE SPECTRALE

83 MD "Calcul Scientifique"83 Facteur damplification Forme de la solution Comment lamplitude dune perturbation de nombre donde k évolue-t-elle en temps ?

84 MD "Calcul Scientifique"84 Stabilité Von Neumann On sintéresse désormais à léquation complètement discrétisée, y compris pour le terme temporel signal amorti exact instabilité

85 MD "Calcul Scientifique"85 Exemple 1 Convection pure: Schéma centré ordre 2 en espace Euler explicite en temps

86 MD "Calcul Scientifique"86 Exemple 1 - suite Pour une perturbation du type Ce schéma est (inconditionnellement) instable

87 MD "Calcul Scientifique"87 Exemple 2 Décentré amont dordre 1 en espace Euler explicite en temps Ce schéma est (conditionnellement) stable

88 MD "Calcul Scientifique"88 Exemple 3 Centré ordre 2 en espace Runge-Kutta dordre 2 en temps Ce schéma est inconditionnellement instable

89 MD "Calcul Scientifique"89 Exemple 3 - suite Centré ordre 2 en espace Runge-Kutta dordre 2 en temps Ce schéma est inconditionnellement instable

90 MD "Calcul Scientifique"90 Exemple 4 Centré ordre 2 en espace Runge-Kutta dordre 3 en temps Ce schéma est conditionnellement stable

91 MD "Calcul Scientifique"91 Centré ordre 2 en espace Runge-Kutta dordre 4 en temps Ce schéma est conditionnellement stable Exemple 5

92 MD "Calcul Scientifique"92 Exemple 6 Diffusion pure: Schéma centré ordre 2 en espace Euler explicite en temps

93 MD "Calcul Scientifique"93 Exemple 6 - suite Pour une perturbation du type Ce schéma est conditionnellement stable

94 MD "Calcul Scientifique"94 Zone de stabilité Dans le cas général dune équation linéaire On définit lopérateur associé à K Le schéma induit une équation du type

95 MD "Calcul Scientifique"95 Zone de stabilité On trace la courbe dans le plan complexe RK1RK2 RK3RK4

96 MD "Calcul Scientifique"96 Zone de stabilité Le schéma complet est stable ssi la trajectoire de est contenue dans la zone de stabilité RK1 RK2 RK3 RK4 Convection pure Diffusion pure

97 MD "Calcul Scientifique"97 Effet de lordre RK1 RK2 RK3 RK4 Convection pure ordre 2 Convection pure ordre 4 Convection pure ordre 6

98 MD "Calcul Scientifique"98 RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES

99 MD "Calcul Scientifique"99 Toutes les méthodes numériques conduisent à létablissement de systèmes linéaires On doit résoudre A: carrée, B: vecteur colonne, X: inconnu Taille N: O(10)-O(10 6 ) Pour les méthodes DF, EF et VF, les matrices sont souvent très creuses Positionnement du problème

100 MD "Calcul Scientifique"100 On connaît le compte exact dopérations On obtient la solution exacte si les ordinateurs étaient infiniment précis En pratique, cest moins clair … Méthodes directes

101 MD "Calcul Scientifique"101 Gauss-Jordan – plusieurs variantes (pivot) – nécessite environ N 3 opérations (1 x et 1 +) Elimination de Gauss et substitution – nécessite environ N 3 /3 opérations Décomposition LU – Nécessite du « pivoting » – nécessite environ N 3 /3 opérations – 1 résolution de système triangulaire demande environ N 2 /2 opérations Méthodes directes

102 MD "Calcul Scientifique"102 Des méthodes directes spécifiques à certains types de matrices existent Décomposition Cholesky – A symétrique définie positive – A=LL t –nécessite environ N 3 /6 opérations (2 fois moins que LU) Méthodes directes

103 MD "Calcul Scientifique"103 Méthodes itératives On ne connaît pas le compte exact dopérations On obtient la solution exacte si la convergence complète est atteinte Permet un gain de temps énorme pour les gros systèmes …

104 MD "Calcul Scientifique"104 Méthodes itératives Jacobi Rayon spectral: plus grande valeur propre de la matrice ditération Nombre ditérations pour diviser le résidu par 10 de lordre Laplacien en DF dordre 2: N 2 /2

105 MD "Calcul Scientifique"105 Méthodes itératives Gauss-Seidel Nombre ditérations pour diviser le résidu par 10 de lordre de N 2 /4 (Laplacien en DF dordre 2)

106 MD "Calcul Scientifique"106 Méthodes itératives Successive Overrelaxation (SOR) Nombre ditérations pour diviser le résidu par 10 de lordre de N/3 (Laplacien en DF dordre 2).

107 MD "Calcul Scientifique"107 Méthodes itératives A définie positive:

108 MD "Calcul Scientifique"108 Minimisation Plus grande pente:

109 MD "Calcul Scientifique"109 Exemple On cherche à résoudre Cest-à-dire à minimiser

110 MD "Calcul Scientifique"110 Exemple: Plus grande pente Cest une forme quadratique

111 MD "Calcul Scientifique"111 Exemple: Plus grande pente Cest une forme quadratique

112 MD "Calcul Scientifique"112 Exemple: Plus grande pente Cest une forme quadratique

113 MD "Calcul Scientifique"113 Exemple: Plus grande pente Cest une forme quadratique

114 MD "Calcul Scientifique"114 Exemple: Plus grande pente Cest une forme quadratique PAS FINI !

115 MD "Calcul Scientifique"115 Gradient conjugué A symétrique définie positive Minimiser sur lensemble des directions explorées

116 MD "Calcul Scientifique"116 Exemple: Gradient conjugué Cest une forme quadratique

117 MD "Calcul Scientifique"117 Exemple: Gradient conjugué Cest une forme quadratique

118 MD "Calcul Scientifique"118 Exemple: Gradient conjugué Cest une forme quadratique FINI !

119 MD "Calcul Scientifique"119 Gradient conjugué On montre que: Puisquil existe au plus N vecteurs orthogonaux dans un EV de dimension N, lalgorithme converge au plus en N itérations Ne nécessite que des produits matrice- vecteur ou produits scalaires

120 MD "Calcul Scientifique"120 Minimisation GC plus efficace lorsque les vp de A sont peu distribuées GC préconditionné:

121 MD "Calcul Scientifique"121 Cas non-symétrique A t A est toujours symétrique définie positive … Mais le conditionnement de A t A X= A t B est (A) 2 Generalized Minimum Residual: GMRES (www.cerfacs.fr) Trouver une approximation de la solution de AX=B sous la forme X m =X 0 +V m Y V m : base orthogonale de lespace de Krylov Vect{r 0,Ar 0, A 2 r 0,…,A m-1 r 0 }, r 0 =B-AX 0


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