La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Calcul des groupes d'homologie dobjets discrets Sylvie Alayrangues - Jacques-Olivier Lachaud AS géométrie discrète 09 juillet 2003.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Calcul des groupes d'homologie dobjets discrets Sylvie Alayrangues - Jacques-Olivier Lachaud AS géométrie discrète 09 juillet 2003."— Transcription de la présentation:

1 Calcul des groupes d'homologie dobjets discrets Sylvie Alayrangues - Jacques-Olivier Lachaud AS géométrie discrète 09 juillet 2003

2 Plan Utilité des groupes d'homologie Définition Algorithme de calcul Pistes de recherche

3 Utilité des groupes d'homologie Invariant topologique Moins puissant que les groupes d'homotopie Calculables pour des structures discrètes Caractérisation d'objets Deux objets qui nont pas les mêmes groupes dhomologie ont des topologies différentes Mais deux objets avec les mêmes groupes dhomologie nont pas forcément la même topologie

4 Plusieurs types d'homologie : Ici homologie simpliciale A un n-complexe simplicial sont associés (n+1) groupes d'homologie : H k, k = 0..n k = rang de H k (nombres de Betti) Intuitivement : H k permet, entre autres, de compter les trous k-dimensionnels d'un objet, de définir des générateurs de ces trous… 0 : nb de composantes connexes Définition des groupes d'homologie (1)

5 Définition des groupes d'homologie (2) Formellement : Complexe simplicial K : ensemble de simplexes tel que toute face d'un simplexe de K est dans K, et que l'intersection de deux simplexes de K est face de chacun d'eux C p (K,G) : Ensemble des p-chaines de K à coefficients dans G (groupe abélien - ici le groupe des entiers) p : C p (K,G) C p-1 (K,G) : opérateur bord Z p (K,G)= Ker p et B p-1 (K,G)= Im p p p+1 = 0 H p (K,G) = Z p (K,G)/B p (K,G)

6 Exemple C 0 (K) = (1,2,3,4) C 1 (K) = (12,13,14,23,24,34) 1 (12)=2-1 1 ( )=0 Matrice dincidence

7 Principe du calcul (1) H p (K,G) =... Z b1 Z b2... Z bq p = β p Z b1 Z b2... Z bq p b 1,b 2,...,b q p sont les facteurs invariants bi / bj pour tout i et j, tels que i < j p est le nombre de betti associé Calcul de H p (K,G) = calcul de β p, b 1,b 2,...,b q p

8 Exemple de torsion sur la bouteille de Klein w = [1,4]+[4,5]+[5,1] soit s 2 la somme de tous les 2-simplexes s 2 = 2 w cycle w = élément de torsion on montre que c = 0 c = n ([1,2]+[2,3]+[3,1]) + mw avec n = 0 et m pair H 1 Z Z

9 Principe du calcul (2) Obtenir la forme normale de Smith des matrices d'incidence On peut montrer que : Smith( p ) donne les coefficients de torsion de H p-1 (K) β p (K) = rank C p (K) - rank p (K) - rank p+1 (K)

10 Principe du calcul (3) Problèmes : Réduction d'une matrice d'entiers À toutes les étapes, on manipule des entiers Les éléments des matrices intermédiaires peuvent devenir très grands Dépassements mémoire Complexité en temps élevée Sujet actif de recherche (algèbre)

11 Optimisations possibles Construction de la matrice d'incidence Prise en compte du caractère creux de la matrice (choix du stockage) Manipulation des matrices Suppression des lignes nulles au fur et à mesure Calculs les plus coûteux effectués sur des sous-matrices choisies de manière appropriée Utilisation dun modulo pour effectuer les calculs (résultat de Storjohann)

12 Algorithme Construction d'une matrice d'incidence : i Calcul de la forme normale de Smith de i Triangularisation de la matrice avec un maximum de pivots de valeur 1 : i ' Mémorisation du nombre de 1 Extraction de la sous-matrice i '' contenant toutes les lignes qui n'ont pas 1 pour pivot Obtention de la forme normale de Smith de i ''

13 Construction de i Complexe simplicial défini par ses faces maximales Calcul de la liste de ses faces de dimension i Ordre lexicographique Matrice i obtenue par ligne : 1 ligne / i-simplexe, 1 colonne / (i-1)-simplexe À partir de chaque i-simplexe, on construit chacune de ses (i-1) faces en enlevant à chaque fois un sommet, on récupère l'indice de la face obtenue (i.e. le numéro de la colonne) dans la liste des (i-1) simplexes et on remplit la matrice en alternant les valeurs 1 et -1 Matrice bien ordonnée

14 Triangularisation de i ' (1) 1ère étape : réalisée ligne par ligne : r i : index de la colonne de la première valeur non nulle de la ligne i Recherche d'un maximum de lignes avec des r i distincts et telles que i '[i,r i ] = 1 Modifications de chaque ligne avec des opérations élémentaires (l i = +/-l i +/- k*l j ) jusqu'à ce que : Ligne = vecteur nul ligne retirée de la matrice Ligne dans la forme recherchée ligne gardée telle quelle r i distinct de r j pour tous les j précédemment rencontrés mais D i '[i,r i ] 1 traitement de la ligne différé

15 Triangularisation de i ' (2) 2ème étape : traitement des lignes différées Lignes traitées comme précédemment mais utilisation d'opérations plus coûteuses (gcd) Obtention d'une matrice avec beaucoup de pivots valant 1 et éventuellement quelques pivots différents de 1 3ème étape : calcul des éventuelles torsions Extraction de la matrice telle que les pivots sont différents de 1 et calcul de la forme de smith de cette matrice (méthode décrite par Munkres).

16 Exemple : bouteille de Klein Triangulation possible : ((1,2,6)(1,4,6)(1,2,9)(1,5,9)(1,3,7)(1,5,7)(1,3,10)(1,4,10)(2,3,6)(2,9,10)( 2,3,10)(3,6,7)(4,5,6)(4,5,10)(5,6,9)(5,7,10)(6,8,9)(6,7,8)(7,8,10)(8,9,10)) Nombres de Betti et torsions : [1 ()] [1 (2(1))] [0 ()]

17 Exemple : plan projectif Triangulation possible : ((1,2,7)(1,2,11)(1,6,7)(1,6,11)(2,3,7)(2,3,11)(3,4,8)(3,4,10)(3,7,8)(3,10,11)( 4,5,8)(4,5,10)(5,6,7)(5,6,11)(5,7,10)(5,8,11)(7,8,9)(7,9,10)(8,9,11)(9,10,11) ) Nombres de Betti et torsions : [1 ()] [0 (2 (1))] [0 ()]

18 Pistes de recherche Utiliser ces calculs pour des objet définis à l'aide d'ordres, et de complexes cellulaires Pb : comment construire la matrice dincidence le mieux possible ? Adapter pour calculer des groupes dhomologie locaux Algorithme défini pour un objet statique Algorithme incrémental pour des objets dont la topologie évolue ?


Télécharger ppt "Calcul des groupes d'homologie dobjets discrets Sylvie Alayrangues - Jacques-Olivier Lachaud AS géométrie discrète 09 juillet 2003."

Présentations similaires


Annonces Google