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2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 1 Cours dalgorithmique 1ère année SMI 2006/2007, Semestre 2 « Ce que lon conçoit bien sénonce clairement et les mots.

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1 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 1 Cours dalgorithmique 1ère année SMI 2006/2007, Semestre 2 « Ce que lon conçoit bien sénonce clairement et les mots pour le dire arrivent aisément» [N. Boileau]

2 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 2 Objectif et plan du cours Objectif: Apprendre les concepts de base de l'algorithmique et de la programmation Etre capable de mettre en oeuvre ces concepts pour analyser des problèmes simples et écrire les programmes correspondants Plan: Généralités (matériel dun ordinateur, systèmes dexploitation, langages de programmation, …) Algorithmique (affectation, instructions conditionnelles, instructions itératives, fonctions, procédures, …) MAPLE (un outil de programmation)

3 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 3 Système Informatique? Techniques du traitement automatique de linformation au moyen des ordinateurs Système informatique = ordinateur + périphériques Éléments dun système informatique Langages (Java,C/C++, Fortran,etc.) Système dexploitation (DOS,Windows, Unix, etc.) (DOS,Windows, Unix, etc.) Matériel (PC, Macintosh, station SUN, etc.) Applications (Word, Excel, Jeux, Maple, etc.)

4 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 4 Matériel: Principaux éléments dun PC Unité centrale (le boîtier) Processeur ou CPU (Central Processing Unit) Mémoire centrale Unité de calcul Unité de commande Périphériques Moniteur (l'écran), clavier, souris Modem, imprimante, scanner, …

5 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 5 Quest-ce quun programme dordinateur? Allumez un ordinateur, vous nen tirerez rien!! Pour le faire marcher il faut lui fournir un programme Ordinateur = matériel + programme(s) Un programme est une suite dinstructions dordinateur Une instruction est un ordre compris par lordinateur et qui lui fait exécuté une action, c-a-d une modification de son environnement

6 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 6 Les catégories dordres les ordinateurs, quels quils soient, ne sont fondamentalement capables de comprendre que quatre catégories d'ordres (en programmation, on n'emploiera pas le terme d'ordre, mais plutôt celui d'instructions). Ces quatre familles d'instructions sont : laffectation de variables la lecture / écriture les tests les boucles

7 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 7 Actions dun ordinateur : Exemple Attendre quun nombre soit tapé au clavier Sortir à lécran le nombre entré Attendre quun nombre soit tapé au clavier Sortir à lécran le nombre entré Additionner les deux nombres entrés Sortir à lécran le résultat de laddition Ces lignes forment un programme dordinateur

8 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 8 Quest ce quun système dexploitation? Ensemble de programmes qui gèrent le matériel et contrôlent les applications Gestion des périphériques Gestion des périphériques (affichage à l'écran, lecture du clavier, pilotage dune imprimante, …) Gestion des utilisateurs et de leurs données Gestion des utilisateurs et de leurs données (comptes, partage des ressources, gestion des fichiers et répertoires, …) Interface avec lutilisateur (textuelle ou graphique): Interface avec lutilisateur (textuelle ou graphique): Interprétation des commandes Contrôle des programmes Contrôle des programmes (découpage en taches, partage du temps processeur, …)

9 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 9 Langages informatiques Un langage informatique est un outil permettant de donner des ordres (instructions) à la machine A chaque instruction correspond une action du processeur Intérêt : écrire des programmes (suite consécutive dinstructions) déstinés à effectuer une tache donnée Exemple: un programme de gestion de comptes bancaires Contrainte: être compréhensible par la machine

10 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 10 Langage machine Langage binaire: linformation est exprimée et manipulée sous forme dune suite de bits Un bit (binary digit) = 0 ou 1 (2 états électriques) Une combinaison de 8 bits= 1 Octet possibilités qui permettent de coder tous les caractères alphabétiques, numériques, et symboles tels que ?,*,&, … Le code ASCII (American Standard Code for Information Interchange) donne les correspondances entre les caractères alphanumériques et leurs représentation binaire, Ex. A= , ?= Les opérations logiques et arithmétiques de base ( addition, multiplication, … ) sont effectuées en binaire

11 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 11 L'assembleur Problème: le langage machine est difficile à comprendre par l'humain Idée: trouver un langage compréhensible par l'homme qui sera ensuite converti en langage machine Assembleur Assembleur (1er langage): exprimer les instructions élémentaires de façon symbolique +: déjà plus accessible que le langage machine portable -: dépend du type de la machine (nest pas portable) -: pas assez efficace pour développer des applications complexes Apparition des langages évolués ADD A, 4 LOAD B MOV A, OUT … traducteur langage machine

12 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 12 Langages haut niveau Intérêts multiples pour le haut niveau: proche du langage humain «anglais» (compréhensible) permet une plus grande portabilité (indépendant du matériel) Manipulation de données et dexpressions complexes (réels, objets, a*b/c, …) Nécessité dun traducteur (compilateur/interpréteur), exécution plus ou moins lente selon le traducteur Code source en langage évolué Compilateur ou Langage machine interpréteur interpréteur

13 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 13 Compilateur/interpréteur Compilateur: traduire le programme entier une fois pour toutes + plus rapide à lexécution + sécurité du code source - il faut recompiler à chaque modification Interpréteur: traduire au fur et à mesure les instructions du programme à chaque exécution + exécution instantanée appréciable pour les débutants - exécution lente par rapport à la compilation exemple.cCompilateur fichier source exemple fichier exécutable exécution exemple.bas fichier source Interprétation+exécution

14 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 14 Langages de programmation: Deux types de langages: Langages procéduraux : sont à base de procédures. Une procédure est une portion de programme écrit en langage de haut niveau qui accomplit une tâche spécifique nécessaire au programme. Langages orientés objets : sont des langages non procéduraux dans lesquels les éléments du programme sont considérés comme des objets qui peuvent s'échanger des messages. Choix dun langage?

15 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 15 Principaux Langages de programmation: Pascal Blaise PASCAL, mathématicien et inventeur de la première machine à calculer 1971 Langage compilé et structuré, dérivé d'ALGOL. c'est un langage de développement standard pour les micro- ordinateurs. C C'est une version améliorée du langage de programmation B du Bell Laboratory, créé en 1972 Langage de programmation structuré et compilé, très largement employé car ses programmes peuvent facilement se transférer d'un type d'ordinateur à un autre. Maple Nasa 1980 de SUNcouvrir tous les domaines Dapplication formel Java Microsystems 1990Ce langage connaît un succès qu'aucun autre langage n'avait encore connu.

16 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 16 Etapes de réalisation dun programme Spécification Analyse Analyse Traduction en langage Compilation Tests et modifications Enoncé du problème Cahier des charges Algorithme Programme source Programme exécutable Version finale et résultats La réalisation de programmes passe par lécriture dalgorithmes Doù lintérêt de l Algorithmique

17 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 17 Pourquoi apprendre lalgorithmique pour apprendre à programmer ? Un algorithme est une description complète et détaillée des actions à effectuer et de leur séquencement pour arriver à un résultat donné Intérêt: séparation analyse/codage (pas de préoccupation de syntaxe) lalgorithmique exprime les instructions résolvant un problème donné indépendamment des particularités de tel ou tel langage. Qualités: exact (fournit le résultat souhaité), efficace (temps dexécution, mémoire occupée), clair (compréhensible), général (traite le plus grand nombre de cas possibles), … Pour prendre une image, si un programme était une dissertation, lalgorithmique serait le plan, une fois mis de côté la rédaction et lorthographe. Mieux faire dabord le plan et rédiger ensuite que linverse…

18 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 18 Représentation dun algorithme Historiquement, deux façons pour représenter un algorithme: LOrganigramme: LOrganigramme: représentation graphique avec des symboles (carrés, losanges, etc.) offre une vue densemble de lalgorithme représentation quasiment abandonnée aujourdhui Le pseudo-code: Le pseudo-code: représentation textuelle avec une série de conventions ressemblant à un langage de programmation (sans les problèmes de syntaxe) plus pratique pour écrire un algorithme représentation largement utilisée

19 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 19 Exemple de pseudo code problème du tri Entrée: une séquence de n nombres (a1, : : :,an) Sortie: une permutation (a1; : : : ;an) de la séquence dentrée: a1

20 2006/2007Module I2, 1ère année SMI20 Algorithmique Notions et instructions de base

21 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 21 Les catégories dordres les ordinateurs, quels quils soient, ne sont fondamentalement capables de comprendre que quatre catégories d'ordres (en programmation, on n'emploiera pas le terme d'ordre, mais plutôt celui d'instructions). Ces quatre familles d'instructions sont : Les variables et leurs affectation la lecture / écriture les tests les boucles

22 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 22 Notions Fondamentales (1/2) Karim possède 3 seaux : un seau en plastique dune contenance de 10 litres, un seau en bois dune contenance de 7 litres et un seau en fer dune contenance de 9 litres. 10h00 : karim vide ses 3 seaux 10h05 : karim va rendre visite a Nabil, celui-ci met 6 litres dans le seau en bois de Karim 10h10 : karim transverse le contenu de son seau en bois dans le seau en fer 10h15 : karim revient vers nabil remplir à ras bord son seau en plastique 10h20 : karim déverse la moitié de son seau en plastique à légout 10h25 : karim transvase le contenu de son seau en plastique dans celui en bois 10h30 : karim transvase 2 litres de son seau en bois dans celui en fer 10h35 : karim informe Asmae du nombre de litres contenu dans ses seaux en plastique, en bois, en fer. Quelles sont les quantités des trois seaux que Asmae a reçues?

23 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 23 Notions Fondamentales (2/2) Notion dalgorithme : si les huis phrases sont bien exécutée par Karim, alors lhistoire est un algorithme Notion dinstruction : chacune de huis phrases est une instruction (un ordre) Notion de valeur : { 0, 3, 5, 6, 8, 10 } Notion de mémoire : elle est matérialisée par les seaux qui « mémorisent » les quantités de liquide Notion de variable : une variable est un emplacement mémoire, ici on a trois variables (le seau en plastique, le seau en bois et le seau en fer) Notion denvironnement : cest lensemble des objet, informations, personnes qui on une existence hors de lhistoire mais qui interviennent dans son déroulement. Notion des valeurs dentrée et de sortie : cest les valeurs que le processeur reçoit de lenvironnement et celles quil donne à lenvironnement durant lexucution. Valeurs en entrée :{6, 10} Valeurs en sortie = {0, 3, 8}

24 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 24 Notion de variable variable Dans les langages de programmation une variable sert à stocker la valeur dune donnée Une variable désigne en fait un emplacement mémoire dont le contenu peut changer au cours dun programme (doù le nom variable) déclarées Règle : Les variables doivent être déclarées avant dêtre utilisées, elle doivent être caractérisées par : Identificateur un nom (Identificateur) type un type (entier, réel, caractère, chaîne de caractères, …)

25 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 25 Choix des identificateurs (1) Le choix des noms de variables est soumis à quelques règles qui varient selon le langage, mais en général: exemple valide: A1exemple invalide: 1A Un nom doit commencer par une lettre alphabétique exemple valide: A1exemple invalide: 1A valides: SMI2007, SMI_2007 invalides: SMI 2007, SMI-2007, SMI;2007 doit être constitué uniquement de lettres, de chiffres et du soulignement _ (Eviter les caractères de ponctuation et les espaces) valides: SMI2007, SMI_2007 invalides: SMI 2007, SMI-2007, SMI;2007 Java int, float, else, switch, case, default, for, main, return doit être différent des mots réservés du langage (par exemple en Java: int, float, else, switch, case, default, for, main, return, …) La longueur du nom doit être inférieure à la taille maximale spécifiée par le langage utilisé

26 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 26 Choix des identificateurs (2) Conseil: pour la lisibilité du code choisir des noms significatifs qui décrivent les données manipulées exemples: TotalVentes2006, Prix_TTC, Prix_HT Remarque: en pseudo-code algorithmique, on va respecter les règles citées, même si on est libre dans la syntaxe

27 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 27 Types des variables Le type dune variable détermine lensemble des valeurs quelle peut prendre, les types offerts par la plus part des langages sont: Type numérique (entier ou réel) Type numérique (entier ou réel) Byte Byte (codé sur 1octet): de 0 à 255 Entier court Entier court (codé sur 2 octets) : à Entier long Entier long (codé sur 4 ou 8 octets) Réel simple précision Réel simple précision (codé sur 4 octets) Réel double précision Réel double précision (codé sur 8 octets) Type logique ou booléen: Type logique ou booléen: deux valeurs VRAI ou FAUX Type caractère: Type caractère: lettres majuscules, minuscules, chiffres, symboles, … exemples: A, a, 1, ?, … Type chaîne de exemples: " Nom, Prénom", "code postale: 1000", … Type chaîne de caractère: toute suite de caractères, exemples: " Nom, Prénom", "code postale: 1000", …

28 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 28 Déclaration des variables Rappel: toute variable utilisée dans un programme doit avoir fait lobjet dune déclaration préalable En pseudo-code, on va adopter la forme suivante pour la déclaration de variables Variables liste d'identificateurs : type Exemple: Variables i, j,k : entier x, y : réel OK: booléen ch1, ch2 : chaîne de caractères Remarque: pour le type numérique on va se limiter aux entiers et réels sans considérer les sous types

29 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 29 Linstruction daffectation laffectation consiste à attribuer une valeur à une variable (ça consiste en fait à remplir où à modifier le contenu d'une zone mémoire) En pseudo-code, l'affectation se note avec le signe Var e : attribue la valeur de e à la variable Var - e peut être une valeur, une autre variable ou une expression - Var et e doivent être de même type ou de types compatibles - laffectation ne modifie que ce qui est à gauche de la flèche Ex valides: i 1 j i k i+j x 10.3 OK FAUX ch1 "SMI" ch2 ch1 x 4 x j (voir la déclaration des variables dans le transparent précédent) i 10.3 OK "SMI"j x non valides: i 10.3 OK "SMI"j x

30 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 30 Quelques remarques Beaucoup de langages de programmation (C/C++, Java, …) utilisent le signe égal = pour laffectation. Attention aux confusions: l'affectation n'est pas commutative : A=B est différente de B=A l'affectation est différente d'une équation mathématique : A=A+1 a un sens en langages de programmation A+1=2 n'est pas possible en langages de programmation et n'est pas équivalente à A=1 Certains langages donnent des valeurs par défaut aux variables déclarées. Pour éviter tout problème il est préférable d'initialiser les variables déclarées

31 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 31 Exercices simples sur l'affectation (1) Donnez les valeurs des variables A, B et C après exécution des instructions suivantes ? Variables A, B, C: Entier Début A 3 B 7 A B B A+5 C A + B C B – A Fin

32 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 32 Exercices simples sur l'affectation (2) Donnez les valeurs des variables A et B après exécution des instructions suivantes ? Variables A, B : Entier Début A 1 B 2 A B B A Fin Les deux dernières instructions permettent-elles déchanger les valeurs de A et B ?

33 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 33 Exercices simples sur l'affectation (3) Ecrire un algorithme permettant déchanger les valeurs de deux variables A et B

34 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 34 Expressions et opérateurs exemples: 1, b, a*2, a+ 3*b-c, … Une expression peut être une valeur, une variable ou une opération constituée de variables reliées par des opérateurs exemples: 1, b, a*2, a+ 3*b-c, … L'évaluation de l'expression fournit une valeur unique qui est le résultat de l'opération Les opérateurs dépendent du type de l'opération, ils peuvent être : des opérateurs arithmétiques: +, -, *, /, % (modulo), ^ (puissance) des opérateurs logiques: NON, OU, ET des opérateurs relationnels: =,,, = des opérateurs sur les chaînes: & (concaténation) Une expression est évaluée de gauche à droite mais en tenant compte de priorités

35 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 35 Priorité des opérateurs Pour les opérateurs arithmétiques donnés ci-dessus, l'ordre de priorité est le suivant (du plus prioritaire au moins prioritaire) : ^ : (élévation à la puissance) *, / (multiplication, division) % (modulo) +, - (addition, soustraction) exemple: 23 exemple: * 7 vaut 23 exemple: ( 3 En cas de besoin (ou de doute), on utilise les parenthèses pour indiquer les opérations à effectuer en priorité exemple: (2 + 3) * 7 vaut 35

36 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 36 Les instructions d'entrées-sorties: lecture et écriture (1) Les instructions de lecture et d'écriture permettent à la machine de communiquer avec l'utilisateur La lecture permet d'entrer des donnés à partir du clavier lire (var) En pseudo-code, on note: lire (var) l la machine met la valeur entrée au clavier dans la zone mémoire nommée var Remarque: Le programme s'arrête lorsqu'il rencontre une instruction Lire et ne se poursuit qu'après la frappe dune valeur au clavier et de la touche Entrée

37 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 37 Les instructions d'entrées-sorties: lecture et écriture (2) L'écriture permet d'afficher des résultats à l'écran (ou de les écrire dans un fichier) écrire (var) En pseudo-code, on note: écrire (var) la machine affiche le contenu de la zone mémoire var Conseil: Avant de lire une variable, il est fortement conseillé décrire des messages à lécran, afin de prévenir lutilisateur de ce quil doit frapper

38 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 38 Exemple (lecture et écriture) Ecrire un algorithme qui demande un nombre entier à l'utilisateur, puis qui calcule et affiche le double de ce nombre Algorithme Calcul_double variables A, B : entier Début écrire("entrer la valeur de A ") lire(A) B 2*A écrire("le double de ", A, "est :", B) Fin

39 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 39 Exercice (lecture et écriture) Ecrire un algorithme qui vous demande de saisir votre nom puis votre prénom et qui affiche ensuite votre nom complet Algorithme AffichageNomComplet variables Nom, Prenom, Nom_Complet : chaîne de caractères Début écrire("entrez votre nom") lire(Nom) écrire("entrez votre prénom") lire(Prenom) Nom_ Complet Nom & Prenom écrire("Votre nom complet est : ", Nom_ Complet ) Fin

40 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 40 Exercice ( respect des règles ) Chacun de ces quatre algorithmes contient une erreur. Laquelle? Algorithme1 Variables Quantité : entier Prix_unit : réel Début Lire (Quantité, Prix_unit) Prix_total := Quantité * Prix_unit Écrire (Prix_total) Fin Algorithme2 Variables X, Y, Z : réel Début Lire (X, Y, Z) Z :=X-Y Écrire (Z) Fin Algorithme3 Variables A1, A2: entier A3 : réel Début Lire (A1, A2) A2 := A1 * A3 Écrire (A2) Fin Algorithme4 Variables X : réel Début Lire (X) X := X-1 X :=Pi * X Écrire (X) Fin

41 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 41 Méthode de construction dun algorithme simple (1/4) Exemple : Écrire un algorithme qui consiste a calculer lair S dun cercle selon la formule S = Pi * R 2 Rappel : Pi = et R le rayon du cercle

42 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 42 Méthode de construction dun algorithme simple (2/4) Méthodologie a suivre : constantes : Pi = Variables : Rayon, Surface Types : Rayon, Surface : réel Expressions et affectation : Surface := Pi * (Rayon) 2 Structures conditionnelles et les boucles : Opérations dentrée-sortie : Lire (Rayon), Écrire (Surface)

43 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 43 Méthode de construction dun algorithme simple (3/4) Algorithme Calcul_Aire Constantes Pi = 3,14159 Variables Rayon, Surface : réels Début lire (Rayon) Surface := Pi * (Rayon) 2 écrire (Surface) Fin

44 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 44 Méthode de construction dun algorithme simple (3/4) Programme PascalProgramme C Program Calcul_Aire; CONST Pi = VAR Rayon, Surface : REAL; BEGIN READLN (Rayon); Surface := Pi * SQR (Rayon) WRITELN (Surface) END. #include Main ( ) { Float Pi = ; Float rayon, surface; Scanf (« °/°f », &rayon); surface = pi* pow (rayon,2); Printif (« °/°f\n »surface, ) Return 0; }

45 2006/2007Module I2, 1ère année SMI45 Algorithmique Les structures Conditionnelles et les boucles

46 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 46 Besoin a des concepts de ruptures de séquence Rare les algorithme qui peuvent se décrire uniquement par un enchaînement séquentiel dopération élémentaire On a besoin a des concept de rupture de séquence comme les test et les boucles Ex : un algorithme qui résout une équation de deuxième degré un algorithme qui calcule une série numérique Algorithme Calcul_Aire Constantes Pi = 3,14159 Variables Rayon, Surface : réels Début lire (Rayon) Surface := Pi * (Rayon) 2 écrire (Surface) Fin

47 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 47 Les structures conditionnelles et les boucles Les tests simples : permet de réaliser un choix parmi deux possibilités ( Ex :Booléenne : vrais ou faux ) Les instructions conditionnelles : cest un concept de tests multiples, permet de comparer un objet à une série de valeurs, et exécuter si la condition est vérifier ( Ex : recherche des nombres premier dans une ensemble ) Les itérations : consiste a exécuté un bloc dinstructions un certain nombre de fois ( Ex : calcul dune suite numérique ) Les boucles conditionnelles : consiste a exécuté un bloc dinstructions un certain nombre de fois si la condition est vérifier ( Ex : On veut afficher le 100 premiers nombres :. Tant que i est plus petit que 100, afficher la valeur de i).

48 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 48 Tests: instructions conditionnelles (1) Les instructions conditionnelles servent à n'exécuter une instruction ou une séquence d'instructions que si une condition est vérifiée Si alors On utilisera la forme suivante: Si condition alors instruction ou suite d'instructions1 Sinon Sinon instruction ou suite d'instructions2 Finsi Finsi la condition ne peut être que vraie ou fausse si la condition est vraie, se sont les instructions1 qui seront exécutées si la condition est fausse, se sont les instructions2 qui seront exécutées la condition peut être une condition simple ou une condition composée de plusieurs conditions

49 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 49 Tests: instructions conditionnelles (2) La partie Sinon n'est pas obligatoire, quand elle n'existe pas et que la condition est fausse, aucun traitement n'est réalisé On utilisera dans ce cas la forme simplifiée suivante: Si alors Si condition alors instruction ou suite d'instructions1Finsi

50 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 50 Exemple (Si…Alors…Sinon) Algorithme AffichageValeurAbsolue (version1) Variable x : réel Début Ecrire " Entrez un réel : " Lire (x) Si x < 0 alors Ecrire ( " la v aleur absolue de ", x, "est:",-x) Sinon Ecrire ( " la v aleur absolue de ", x, "est:",x) Finsi Fin

51 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 51 Exemple (Si…Alors) Algorithme AffichageValeurAbsolue (version2) Variable x,y : réel Début Ecrire " Entrez un réel : " Lire (x) y x Si x < 0 alors y -x Finsi Ecrire ( " la v aleur absolue de ", x, "est:",y) Fin

52 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 52 Exercice (tests) Ecrire un algorithme qui demande un nombre entier à l'utilisateur, puis qui teste et affiche s'il est divisible par 3 Algorithme Divsible_par3 Variable n : entier Début Ecrire " Entrez un entier : " Lire (n) Si (n%3=0) alors Ecrire (n, " est divisible par 3") Sinon Ecrire (n, " n'est pas divisible par 3") Finsi Fin

53 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 53 Conditions composées Une condition composée est une condition formée de plusieurs conditions simples reliées par des opérateurs logiques: ET, OU, OU exclusif (XOR) et NON Exemples : x compris entre 2 et 6 : (x > 2) ET (x < 6) n divisible par 3 ou par 2 : (n%3=0) OU (n%2=0) deux valeurs et deux seulement sont identiques parmi a, b et c : (a=b) XOR (a=c) XOR (b=c) L'évaluation d'une condition composée se fait selon des règles présentées généralement dans ce qu'on appelle tables de vérité

54 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 54 Tables de vérité C1C2C1 ET C2 VRAI FAUX VRAIFAUX C1C2C1 OU C2 VRAI FAUXVRAI FAUXVRAI FAUX C1C2C1 XOR C2 VRAI FAUX VRAIFAUXVRAI FAUXVRAI FAUX C1NON C1 VRAIFAUX VRAI

55 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 55 Tests imbriqués Les tests peuvent avoir un degré quelconque d'imbrications Si alors Si condition1 alors Si alors Si condition2 alors instructionsASinon instructionsB Finsi FinsiSinon Si alors Si condition3 alors instructionsCFinsiFinsi

56 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 56 Tests imbriqués: exemple (version 1) Variable n : entier Début Ecrire ("entrez un nombre : ") Lire (n) Si n < 0 alors Ecrire ("Ce nombre est négatif") Sinon Si n = 0 alors Ecrire ("Ce nombre est nul") Sinon Ecrire ("Ce nombre est positif")Finsi Fin

57 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 57 Tests imbriqués: exemple (version 2) Variable n : entier Début Ecrire ("entrez un nombre : ") Lire (n) Si n < 0 alorsEcrire ("Ce nombre est négatif") Finsi Si n = 0 alorsEcrire ("Ce nombre est nul") Finsi Si n > 0 alors Ecrire ("Ce nombre est positif") Finsi Fin Remarque : dans la version 2 on fait trois tests systématiquement alors que dans la version 1, si le nombre est négatif on ne fait qu'un seul test Conseil : utiliser les tests imbriqués pour limiter le nombre de tests et placer d'abord les conditions les plus probables(minimiser la complexité)

58 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 58 Tests imbriqués: exercice Le prix de photocopies dans une reprographie varie selon le nombre demandé: 0,5 DH la copie pour un nombre de copies inférieur à 10, 0,4DH pour un nombre compris entre 10 et 20 et 0,3DH au-delà. Ecrivez un algorithme qui demande à lutilisateur le nombre de photocopies effectuées, qui calcule et affiche le prix à payer

59 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 59 Tests imbriqués: corrigé de l'exercice Variables copies : entier prix : réel Début Ecrire ("Nombre de photocopies : ") Lire (copies) Si copies < 10 Alors prix copies*0.5 Sinon Si copies < 20 prix copies*0.4 Sinon prix copies*0.3 Finsi Finsi Ecrire (Le prix à payer est :, prix) Fin

60 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 60 Tests imbriqués: Exercice 2 Écrire lalgorithme du traitement qui calcule le discriminant DELTA dtrinome du second degré AX2 + BX + C et qui, en fonction de son signe, calcule la ou les racines réelles du trinome ou afiche, si besoin est quil nya pas de racine réelle. Les trois coefficients A, B et C seront saisis au clavier avant traitement.

61 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 61 Tests imbriqués: corrigé de l'exercice 2 Variables A, B, C, Delta, X1, X2 : réels Début Lire (A, B, C) Delta B 2 – 4 AC Si ( Delta < 0) Alors Ecrire (« le trinome na pas de racine réelle ») Sinon Si ( Delta > 0 Alors X1 (-B + racine(delta)) / 2A X2 (-B - racine(delta)) / 2A Ecrire (« le trinome possède deux racines réelles : », X1, X2) Sinon X1 (-B ) / 2A Ecrire (« le trinome possède une racine réelle : », X1) Finsi Finsi Fin

62 2006/2007Module I2, 1ère année SMI62 Algorithmique Les boucles

63 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 63 Les types de boucle On distingue 2 types de boucles: Les boucles à compteur ou définie On sait à lavance combien de fois la boucle devra tourner et une variable (le compteur ) compte les répétitions Choisir 10 nombres au hasard. On fera dix fois lopération choisir un nombre au hasard. Ex : la boucle Pour Les boucles à événement ou indéfinie On ne sait pas à lavance le nombre de fois que la boucle sera exécutée. Ça peut dépendre du nombre de données à traiter. Ça peut dépendre du nombre dessais que lusager a effectués. Ex : la boucle Tanque et la boucle jusqua

64 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 64 Les boucles Tant que TantQue TantQue (condition) instructions FinTantQue FinTantQue condition instructions Faux Vrai

65 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 65 Boucle Tant que : exemple simple Un algorithme qui détermine le premier nombre entier N tel que la somme de 1 à N dépasse strictement 100 Variables som, i : entier Debut i 0 som 0 TantQue (som <=100) i i+1 som som+i FinTantQue Ecrire (" La valeur cherchée est N= ", i) Fin

66 Boucle Tant que : exemple Algorithme Plus-Grand-Element: Retourne la plus grande valeur dune liste Entrée: n entiers S 1,…, S n Sortie: grand contenant le plus grand élément Algo plus-grand (S,n) grand := S 1 ; i:=2; Tant que i n Faire Début Si S i > grand alors // une plus grande valeur a été trouvée grand := S i ; i := i+1; Fin ecrire (grand) Fin plus-grand; Trace de lalgorithme: n=4; S 1 = -2; S 2 =6; S 3 =5; S 4 =6 grand =-2i = 2 grand = 6i = 3 i = 4 i = 5

67 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 67 Algorithme dEuclide Trouver le plus grand diviseur commun (pgcd) de deux entiers Définition: q est un diviseur commun de m et n si q divise à la fois m et n (le reste de la division entière est 0) Le pgdc de m et n est le plus grand entier q divisant à la fois m et n. Exemple: pgcd(4, 6) = 2; pgcd(3,8) = 1; pgcd(9, 12) = 3; Utile pour la simplification de fractions: 9/12 = 3.3/4.3 = 3/4

68 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 68 Trouver le PGCD de a et b Exemple: pgcd(30, 105) 1ère méthode: Trouver tous les diviseurs de a et b, et trouver le diviseur commun le plus grand Diviseurs de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 Diviseurs de 105: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 pgcd(30, 105) = 15 2ème méthode: la méthode dEuclide 105 = Donc pgcd(105, 30) = pgcd(30,15) 30 = Donc pgcd(30, 15) = pgcd(15,0) pgcd(15,0)=15 pgcd(105,30)=pgcd(30,15)=pgcd(15,0)=15

69 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 69 Méthode dEuclide : Algorithme Soient r 0, r 1 deux entiers strictement positifs, tels que r 0 =r 1.q+r 2 avec 0r 2

70 Algorithme dEuclide Entrée: a, b deux entiers positifs Sortie: pgcd(a,b) Procédure pgcd(a,b) Tant que b <> 0 Faire Début diviser a par b: a = b.q+r, 0 r < b; a:=b; b:=r; Fin Retourner (a) Fin pgcd Trace de lalgorithme pour a=504 et b= a b a b a b a b

71 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 71 Les boucles Pour Pour allant de à pas Pour compteur allant de initiale à finale par pas valeur du pas instructions FinPour FinPour i n'a pas atteint finale instructions Faux Vrai i initiale i i + pas

72 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 72 Les boucles Pour Remarques : Compteur Compteur est une variable de type entier (ou caractère). Elle doit être déclarée PasPas Pas est un entier qui peut être positif ou négatif. Pas peut ne pas être mentionné, car par défaut sa valeur est égal à 1. Dans ce cas, le nombre d'itérations est égal à finale - initiale+ 1 Initiale et finale Initiale et finale peuvent être des valeurs, des variables définies avant le début de la boucle ou des expressions de même type que compteur

73 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 73 Déroulement des boucles Pour 1)La valeur initiale est affectée à la variable compteur 2)On compare la valeur du compteur et la valeur de finale : a)Si la valeur du compteur est > à la valeur finale dans le cas d'un pas positif (ou si compteur est < à finale pour un pas négatif), on sort de la boucle et on continue avec l'instruction qui suit FinPour b)Si compteur est = à finale pour un pas négatif), instructions seront exécutées i.Ensuite, la valeur de compteur est incrémentée de la valeur du pas si pas est positif (ou décrémenté si pas est négatif) ii.On recommence l'étape 2 : La comparaison entre compteur et finale est de nouveau effectuée, et ainsi de suite …

74 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 74 Boucle Pour : exemple Algorithme Plus-Grand-Element: Réécriture de lalgorithme précédent mais avec une boucle ``Pour Entrée: n entiers S1,…, Sn Sortie: grand contenant le plus grand élément Algo plus-grand (S,n) grand := S 1 ; Pour i =1 à n Faire Si S i > grand alors // une plus grande valeur a été trouvée grand := S i ; ecrire (grand) Fin plus-grand;

75 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 75 Boucle Pour : remarque Il faut éviter de modifier la valeur du compteur (et de finale) à l'intérieur de la boucle. En effet, une telle action : perturbe le nombre d'itérations prévu par la boucle Pour rend difficile la lecture de l'algorithme présente le risque d'aboutir à une boucle infinie Exepmle : Pour i allant de 1 à 5 i i -1 écrire(" i = ", i) Finpour

76 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 76 Lien entre Pour et TantQue La boucle Pour est un cas particulier de Tant Que (cas où le nombre d'itérations est connu et fixé). Tout ce qu'on peut écrire avec Pour peut être remplacé avec TantQue (la réciproque est fausse) Pour allant de à pas Pour compteur allant de initiale à finale par pas valeur du pas instructions FinPour FinPour peut être remplacé par :compteur initiale TantQue (cas d'un pas positif) TantQue compteur <= finale instructions compteur compteur+pasFinTantQue

77 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 77 Lien entre Pour et TantQue: exemple Pour TantQue Calcul de x à la puissance n avec la boucle Pour et la boucle TantQue x : un réel non nul n : entier positif ou nul

78 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 78 Solution avec la boucle Pour Variables x, puiss : réel n, i : entier Debut Ecrire (" Entrez respectivement les valeurs de x et n ") Lire (x, n) puiss 1 Pour i allant de 1 à n puiss puiss*x FinPour Ecrire (x, " à la puissance ", n, " est égal à ", puiss) Fin

79 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 79 Solution avec la boucle Tant Que Variables x, puiss : réel n, i : entier Debut Ecrire (" Entrez respectivement les valeurs de x et n ") Lire (x, n) puiss 1, i 1 TantQue (i<=n) puiss puiss*x i i+1 FinTantQue Ecrire (x, " à la puissance ", n, " est égal à ", puiss) Fin

80 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 80 Algorithme de la fonction factorielle : Exemple Écrire deux algorithmes qui calculent pour un entier positif donné n la valeur n!, un de ces algorithmes doit utilisé la boucle Pour et lautre la boucle Tanque Entrée : n de type naturel Sortie : factoriel (n) = 1*2*3*…..*(n-1)*n

81 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 81 Algorithme de la fonction factorielle Algorithme / tantque Calcul factorielle 1 Variables i, f, n : Naturel Début i 1 f 1 tant que (i < n) i i+1 f f * i Fin de tant que écrire (f) Fin Algorithme / Pour Calcul factorielle 2 Variables i, f, n : Naturel Début f 1 pour i variant de 2 à n f f * i Fin pour écrire (f) Fin

82 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 82 Algorithme de la recherche des nombres premiers : Exemple Problème: Écrire lalgorithme estPremier, qui a partir dun entier strictement positif donné, retourne le résultat booléen VRAI ou FAUX selon le nombre est premier ou non. Procédure : pour déterminer si un entier m est un nombre premier. Il suffit de tester si m est divisible par un entier entre 2 et m/2 Ex : 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. (listes des nombres premier <=50)

83 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 83 La boucle tantque en langage de programmation Langage C et Java while (condition) { Bloc dinstructions; } corps_boucle test Langage Pascal While condition Do Begin Bloc dinstructions; End;

84 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 84 La boucle Pour en langage de programmation Langage C et Java for (i=valeur initiale; i<= valeur finale; i++) { Bloc dinstructions ; } corps_boucle incr test init Langage Pascal For variable := valeur initiale To valeur finale Do Begin Bloc dinstructions End;

85 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 85 Détecter lerreur dans les deux essaie tant que et pour Algorithme Essai de tant que Variables n : entier Début n 15 tant que (n<>0) écrire (n) n n - 2 Fin de tant que Fin Algorithme Essai pour Variables K, N : entier Début n 200 pour K variant de 1 à n écrire (K) K n – 100 Fin pour Fin

86 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 86 Boucles imbriquées boucles imbriquées Les instructions d'une boucle peuvent être des instructions itératives. Dans ce cas, on aboutit à des boucles imbriquées Exemple:Exécution Exemple:Exécution OX Pour i allant de 1 à 5 OX OOX Pour j allant de 1 à iOOX OOOX écrire("O")OOOX OOOOX FinPourOOOOX OOOOOX écrire("X") OOOOOX FinPour

87 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 87 La boucle Faire…Tant Que Faire Instruction(s) Tant que (condition) do Instruction; while (condition) do { f :=n; n--; } while (n>1); condition Instruction(s) de la boucle Vraie Fausse La boucle sexécute tant que la condition est vraie. La boucle cesse lorque la condition est fausse. À utiliser si lon veut que la boucle soit exécutée au moins une fois

88 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 88 Les boucles Répéter … jusquà … Répéter Répéter instructions Jusqu'à Jusqu'à condition Condition est évaluée après chaque itération les instructions entre Répéter et jusquà sont exécutées au moins une fois et leur exécution est répétée jusquà ce que condition soit vrai (tant qu'elle est fausse) condition instructions Vrai Faux

89 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 89 Boucle Répéter jusquà : exemple Un algorithme qui détermine le premier nombre entier N tel que la somme de 1 à N dépasse strictement 100 (version avec répéter jusqu'à) Variables som, i : entier Debut som 0 i 0 Répéter i i+1 som som+i Jusqu'à ( som > 100) Ecrire (" La valeur cherchée est N= ", i) Fin

90 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 90 Choix d'un type de boucle Si on peut déterminer le nombre d'itérations avant l'exécution de la boucle, il est plus naturel d'utiliser la boucle Pour S'il n'est pas possible de connaître le nombre d'itérations avant l'exécution de la boucle, on fera appel à l'une des boucles TantQue ou répéter jusqu'à Pour le choix entre TantQue et jusqu'à : Si on doit tester la condition de contrôle avant de commencer les instructions de la boucle, on utilisera TantQue Si la valeur de la condition de contrôle dépend d'une première exécution des instructions de la boucle, on utilisera répéter jusqu'à ou faire tanque

91 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 91 Algorithme de la racine carrée : Exercice Problème: Écrire lalgorithme qui calcul la racine carrée dun nombre sans avoir recours a la fonction mathématique Racine Carrée prédéfinie. Procédure : si n est le nombre dont on souhaite extraire la racine carrée. On construit une suite de nombres Xi dont le premier vaut 1 et dont le terme générale a pour expression : X i = (n/x i-1 + x i-1 ) / 2 Rq : Cette suite converge systématiquement vers racarrée (n)

92 Algorithme de la racine carrée Algorithme Racine Carrée (RC) Variables n, x : réels i, max : entier Début Lire (n) Lire (max) x 1 pour i variant de 1 à max écrire (n) x ((n/x) + x) / 2 Fin de pour Fin

93 2006/2007Module I2, 1ère année SMI93 MAPLE Présentation générale et syntaxe des instructions de base

94 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 94 Maple Maple est un logiciel de calcul formel et numérique Calcul formel : Calcul formel : calcul sur des expressions littérales sans évaluation numérique (Maple peut calculer des dérivées, des intégrales, des développements limités, …) > int(1-x+x^3,x); > taylor(sin(x),x=0,6); Calcul numérique : Calcul numérique : calcul sur des valeurs (avec une grande précision) > 30!; > evalf(sqrt(2),50);

95 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 95 Maple : quelques fonctions abs (n) :renvoie la valeur absolue de son argument n ex: >abs(-4) 4 Ifactor(n) : donne la décomposition de n en facteur premiers Ex : >ifactor(1998) (2)(3) 3 (37) Irem(a,b) : renvoie le reste de la division entiere de a par b Ex: >Irem(5,2) 1 Sum(f(k),k=a..b) : calcul la sommes de f(k) de a jusquà b Product(f(k),k=a..b) : calcul le produit de f(k) de a jusquau b

96 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 96 Maple : les packages packages Maple dispose d'un certain nombre de packages (librairies). Chacun de ces packages est spécialisé dans un traitement particulier. Comme exemples de ces packages, on a : linalg : linalg : pour l'algèbre linéaire plots : plots : pour le tracé des courbes geometry : geometry : pour la géométrie student : student : ce package est conçu pour assister l'enseignement des mathématiques de base (intéressant pour les étudiants) with Pour utiliser certaines commandes et fonctions de Maple, il faut d'abord charger le package qui les contient avec la commande with : with with (NomLibrairie) : charge le package NomLibrairie with with (NomLib, NomCmd) : charge la commande NomCmd du package NomLib

97 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 97 Maple : Généralités ;: Chaque instruction Maple doit se terminer par ; ou : ; Si l'instruction se termine par ; Maple l'exécute et affiche le résultat : Si l'instruction se termine par : Maple l'exécute sans afficher le résultat commentaire # Pour introduire un texte en tant que commentaire, il suffit de précéder la ligne par # ( le texte est alors ignoré par Maple) Maple fait la distinction entre les lettres majuscules et minuscules (SMI, Smi, smI et smi sont différents pour Maple)

98 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 98 Maple : nom et type des variables nom d'une variable Le nom d'une variable peut être une combinaison de lettres et de chiffres, mais qui commence par une lettre, qui ne contient pas d'espaces et qui est différente des mots réservés (commandes Maple) type d'une variable integer float Le type d'une variable est attribué automatiquement par Maple selon le contexte (exemple : si A prend la valeur 2, A sera de type integer, si A prend la valeur, A sera de type float) integerfloat fractioncomplex string booleanarraymatrix Les principaux types prédéfinis en Maple sont : integer (entier), float (réel), fraction (rationnel), complex (complexe), string (chaîne de caractères), boolean (booléen), array (tableau), matrix (matrice) whattype Maple offre quelques commandes relatifs aux types : ex : whattype(var) donne le type de la variable var

99 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 99 Maple : l'affectation affectation:= Le symbole d'affectation se note en Maple avec := exemple : i:= 1; j:= i+1; Attention : a=b boolean Attention : en Maple a=b n'est pas une instruction d'affectation, mais une expression de type logique (boolean) qui est vrai si les deux valeurs a et b sont égales et fausse sinon evalb Maple n'évalue l'expression logique a=b que si on le demande explicitement. Pour cela, on utilisera la commande evalb exemple : a:= 1; b:= 2; > a=b;1=2 > evalb (a=b); false

100 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 100 Maple : instructions d'entrées-sorties print() écrire print(var) permet d'afficher la valeur de la variable var (c'est l'équivalent de écrire en pseudo code). Si var n'a pas de valeur, Maple affiche le nom de la variable print(``)` ` print(`chaine`) permet d'afficher la chaîne de caractères qui est entre ` ` > a:=1: b:=2: print(`a vaut`,a, `et b vaut`,b); a vaut,1 et b vaut, 2 readstat lire readstat permet de saisir des données à partir du clavier (c'est l'équivalent de lire en pseudo code) Syntaxe:readstat Syntaxe: var:=readstat(`texte`) Maple affiche le texte entre ` ` et attend qu'on entre une valeur au clavier qui doit être suivie de ; ou : > n:=readstat(`entrez la valeur de n : `); Remarque : il existe d'autres commandes pour les entrées-sorties en Maple

101 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 101 Maple : syntaxe des tests Écriture en pseudo codeTraduction en Maple Sialors if then Si condition alors if condition then instructions instructions Finsi Finsi fi; Sialorsifthen Si condition alors if condition then instructions 1 instructions1 Sinonelse Sinon else instructions2 Finsifi; Finsi fi;

102 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 102 Maple : syntaxe des boucles Écriture en pseudo codeTraduction en Maple TantQue while do TantQue condition while condition do instructions instructions FinTantQueod FinTantQue od; Pour allant de à v2pas forfrom Pour i allant de v1 à v2 par pas p for i from v1 to v2 by p do instructions FinPourod;

103 2006/2007Module I2, 1ère année SMI103 Algorithmique Fonctions et procédures

104 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 104 Fonctions et procédures Lorsquune séquence dinstructions se répète plusieurs fois, il est intéressant de faire un sous-programme correspondant à ce bloc dinstructions et de lutiliser autant de fois que nécessaire Cette séquence dinstructions sera définie dans un sous-programme qui peut prendre la forme dune procédure ou dune fonction De plus, un programme est presque toujours décomposable en modules qui peuvent alors être définis de manière indépendante. Cela permet de modifier éventuellement un module sans pour autant changer le corps du programme et de rendre le programme plus compréhensible (lisibilité) Un programme est alors un ensemble de procédures / fonctions

105 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 105 Notion de bloc dans un programme

106 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 106 Fonctions

107 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 107 Forme dune Fonction Une fonction s'écrit en dehors du programme principal sous la forme Fonction Fonction identificateur (paramètres et leurs types) : type_fonction Instructions constituant le corps de la fonction retourne retourne …FinFonction type de fonction : le type du résultat renvoyé par la fonction Identificateur : le nom que lon a donné à la fonction liste de paramètres : la liste des paramètres formels donnés en entrée avec leurs types corps de la fonction : un bloc dinstructions, pouvant comprendre la déclaration des « variables locales » a la fonctions Remarque : le corps de la fonction doit comporter une instruction de la forme : return(expression); où expression est du type du résultat de la fonction

108 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 108 Exemple de programme / fonction

109 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 109 Exemple de fonction / fonction

110 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 110 Fonctions : exemples La fonction SommeCarre suivante calcule la somme des carrées de deux réels x et y : Fonction Fonction SommeCarre (x : réel, y: réel ) : réel variable z : réel z x^2+y^2 retourne retourne (z) FinFonction FinFonction La fonction Pair suivante détermine si un nombre est pair : Fonction Fonction Pair (n : entier ) : booléen retourne retourne (n%2=0) FinFonction FinFonction Paramètres formels

111 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 111 Utilisation des fonctions L'utilisation d'une fonction se fera par simple écriture de son nom dans le programme principale. Le résultat étant une valeur, devra être affecté ou être utilisé dans une expression, une écriture,... Exepmle : Algorithme exepmleAppelFonction Exepmle : Algorithme exepmleAppelFonction variables z : réel, b : booléenDébut b Pair(3) z 5*SommeCarre(7,2)+1 écrire("SommeCarre(3,5)= ", SommeCarre(3,5))Fin paramètre formel paramètre effectif Lors de l'appel Pair(3) le paramètre formel n est remplacé par le paramètre effectif 3

112 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 112 Subdivision dun problème en un ensemble de fonctions Problème: Trouver le plus petit nombre premier strictement supérieur à un entier positif donné n Utiliser lalgorithme quon a déjà fait estPremier (le plus petit nombre premier p supérieur à un entier n) en tant que fonction. Fait appel a cette fonction a lintérieur de lalgorithme premier-plus-grand

113 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 113 La fonction de recherche des nombres premiers Fonction Fonction estPremier Fonction Fonction est-premier (m : entier) : booléen Pour i := 2 à ENT(m/2) Faire Si m mod i = 0 alors // i divise m Retourne (Faux) Retourne (Vrai) FinFonction FinFonction est-premier

114 Entrée: Un entier positif m Sortie: Vrai si m est premier, Faux si non. Fonction est-premier (m) Pour i := 2 à ENT(m/2) Faire Si m mod i = 0 alors // i divise m Retourne (Faux) Retourne (Vrai) Fin est-premier Entrée: Un entier positif n Sortie: Le plus petit nb premier m > n Algorithme premier-plus-grand (n) m := n+1; Tant que est-premier(m) est Faux Faire m := m+1; Retourne(m) Fin est-premier Trace de premier-plus-grand pour n=8: m = 9 Trace de est-premier pour m=9: i=29 mod 2 = 1 9 mod 3 = 0i=3 m = 10 Trace de est-premier pour m=10: 10 mod 2 = 0 m = 11 Trace de est-premier pour m=11: 11 mod 2 = 1 i=511 mod 5 = 1

115 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 115 Procèdures Dans certains cas, on peut avoir besoin de répéter une tache dans plusieurs endroits du programme, mais que dans cette tache on ne calcule pas de résultats ou qu'on calcule plusieurs résultats à la fois procédure Dans ces cas on ne peut pas utiliser une fonction, on utilise une procédure procédure ne retourne rien Une procédure est un sous-programme semblable à une fonction mais qui ne retourne rien Une procédure s'écrit en dehors du programme principal sous la forme : Procédure Procédure nom_procédure (paramètres et leurs types) Instructions constituant le corps de la procédureFinProcédure Remarque : une procédure peut ne pas avoir de paramètres

116 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 116 Appel d'une procédure L'appel d'une procédure, se fait dans le programme principale ou dans une autre procédure par une instruction indiquant le nom de la procédure : Procédure Procédure exemple_proc (…) …FinProcédure Algorithme exepmleAppelProcédure Début exemple_proc (…) …Fin Remarque : contrairement à l'appel d'une fonction, on ne peut pas affecter la procédure appelée ou l'utiliser dans une expression. L'appel d'une procédure est une instruction autonome

117 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 117 Paramètres d'une procédure Les paramètres servent à échanger des données entre le programme principale (ou la procédure appelante) et la procédure appelée Comme avec les fonctions : paramètres formels Les paramètres placés dans la déclaration d'une procédure sont appelés paramètres formels. Ces paramètres peuvent prendre toutes les valeurs possibles mais ils sont abstraits (n'existent pas réellement) paramètres effectifs Les paramètres placés dans l'appel d'une procédure sont appelés paramètres effectifs. ils contiennent les valeurs pour effectuer le traitement Le nombre de paramètres effectifs doit être égal au nombre de paramètres formels. L'ordre et le type des paramètres doivent correspondre

118 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 118 Transmission des paramètres Il existe deux modes de transmission de paramètres dans les langages de programmation : La transmission par valeur La transmission par valeur : les valeurs des paramètres effectifs sont affectées aux paramètres formels correspondants au moment de l'appel de la procédure. Dans ce mode le paramètre effectif ne subit aucune modification La transmission par adresse (ou par référence) La transmission par adresse (ou par référence) : les adresses des paramètres effectifs sont transmises à la procédure appelante. Dans ce mode, le paramètre effectif subit les mêmes modifications que le paramètre formel lors de l'exécution de la procédure Remarque : Remarque : le paramètre effectif doit être une variable (et non une valeur) lorsqu'il s'agit d'une transmission par adresse En pseudo-code, on va préciser explicitement le mode de transmission dans la déclaration de la procédure

119 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 119 Transmission des paramètres : exemples Procédurexpar valeur, ypar adresse Procédure incrementer1 (x : entier par valeur, y : entier par adresse) x x+1 y y+1FinProcédure Algorithme Test_incrementer Algorithme Test_incrementer1 variables n, m : entierDébut n 3 m 3 résultat : incrementer1(n, m) résultat : n=3 et m=4 écrire (" n= ", n, " et m= ", m) n=3 et m=4Fin Remarque : l'instruction Remarque : l'instruction x x+1 n'a pas de sens avec un passage par valeur

120 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 120 Transmission par valeur, par adresse : exemples Procédure qui calcule la somme et le produit de deux entiers : Procédurexpar valeur, som, prodpar adresse Procédure SommeProduit (x,y: entier par valeur, som, prod : entier par adresse) som x+y prod x*yFinProcédure Procédure qui échange le contenu de deux variabales : Procédurexpar adresse, ypar adresse Procédure Echange (x : réel par adresse, y : réel par adresse) variables z : réel z x x y y zFinProcédure

121 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 121 Variables locales et globales (1) variables localesvariables globales portée On peut manipuler 2 types de variables dans un module (procédure ou fonction) : des variables locales et des variables globales. Elles se distinguent par ce qu'on appelle leur portée (leur "champ de définition", leur "durée de vie") variable locale Une variable locale n'est connue qu'à l'intérieur du module ou elle a été définie. Elle est créée à l'appel du module et détruite à la fin de son exécution variable globale Une variable globale est connue par l'ensemble des modules et le programme principale. Elle est définie durant toute lapplication et peut être utilisée et modifiée par les différents modules du programme

122 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 122 Variables locales et globales (2) La manière de distinguer la déclaration des variables locales et globales diffère selon le langage En général, les variables déclarées à l'intérieur d'une fonction ou procédure sont considérées comme variables locales En pseudo-code, on va adopter cette règle pour les variables locales et on déclarera les variables globales dans le programme principale Conseil : Conseil : Il faut utiliser autant que possible des variables locales plutôt que des variables globales. Ceci permet d'économiser la mémoire et d'assurer l'indépendance de la procédure ou de la fonction

123 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 123 Fonctions et procédures en Maple (1) En Maple, il n'y a pas de distinction entre les notions de fonction et procédure. Les deux se déclarent de la même façon comme suit : proc identificateur:= proc (paramètres) local; global ; instructions résultat end; end; Identificateur est le nom de la fonction ou de la procédure localglobal En Maple, on précise explicitement si les variables sont locales ou globales par les mots clés local et global

124 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 124 Fonctions et procédures en Maple (2) Une variable globale est connue en dehors de la procédure où elle a été définie dans l'ensemble de la session de calcul Les paramètres, les variables locales et globales sont facultatifs, ils peuvent ne pas figurer dans la déclaration Une procédure Maple peut rendre un seul résultat (comme une fonction), plusieurs résultats ou aucun résultat Pour rendre plusieurs résultats, on peut utiliser une liste, un ensemble, un tableau (on verra ces structures la séance prochaine) Le résultat de la procédure est donné soit implicitement par la dernière instruction, soit par la commande RETURN RETURN ( ) arrête le déroulement de la procédure et renvoie les valeurs de sous forme d'une séquence

125 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 125 Procédures Maple : remarques Maple interdit la modification de la valeur d'un paramètre à l'intérieur d'une procédure (pas de transmission par adresse) end; end: Après end; Maple affiche le texte de la procédure. Dans le cas où end est suivi de : rien n'est affiché > carre:=proc(x,y) > x^2+y^2; > end;carre:=proc (x, y) x^2+y^2 end proc En Maple, une procédure peut être appelée sans être affectée. Elle peut aussi être affectée à une variable 5 > carre(1,2);5 a := 18 > a:=carre(3,3);a := 18

126 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 126 Procédures Maple : exemples (1) > exemple:=proc(a,b) > local c,d,e; > c:=a+b; d:=a-b; e:=a*b; > RETURN(c,d,e); > d:=c+e; > end: > exemple(4,7);11, -3, 28 Remarque : l'exécution s'arrête après RETURN. L'instruction d:=c+e n'est pas exécutée

127 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 127 Procédures Maple : exemples (2) Exemple : procédure qui calcule la somme des n premiers entiers > somme:=proc() > local n,i,som; > som:=0; > n:=readstat(`entrez la valeur de n : `); > for i from 1 to n do > som:=som+i; > od; > print(`somme=`,som); > end; > somme(); sur l'écran apparaît le message : entrez la valeur de n : si on entre 3, on obtient somme=,6

128 2006/2007Module I2, 1ère année SMI128 Algorithmique La Récursivité

129 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 129 Récursivité Définition :Un algorithme est dit récursif lorsquil est défini en fonction de lui-même. Récursivité simple La fonction puissance x x n. Cette fonction peut être définie récursivement :

130 130 Types de Récursivité Récursivité multiple : Une définition récursive peut contenir plus dun appel récursif. Nous voulons calculer ici les combinaisons C n p en se servant de la relation de Pascal Récursivité mutuelle : Des définitions sont dites mutuellement récursives si elles dépendent les unes des autres. Ça peut être le cas pour la définition de la parité :

131 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 131 Itération et Récursivité : Exemple Calcul fact, Variables N,f : entier Debut f 1 tantque (n > 1) f f * (n1); fintantque Ecrire(f) End; Calcul de factoriel : Version itérative

132 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 132 Itération et Récursivité : Exemple Un module (fonction ou procédure) peut s'appeler lui- même: on dit que c'est un module récursif Tout module récursif doit posséder un cas limite (cas trivial) qui arrête la récursivité Fonction Fonction fact (n : entier ) : entier Si (n=0) alors retourne1 retourne (1) Sinon retournen*fact(n-1) retourne (n*fact(n-1)) FinsiFinFonction Version récursive

133 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 133 Liste des appels de la fonction factoriel (cas du n=4) Version récursiveVersion itérative

134 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 134 Récursivité : observations Une fonction est définie récursivement lorsque la valeur de la fonction en un point x est définie par rapport à sa valeur en un point strictement « plus petit » De ce fait, le calcul se fait de proche en proche, jusquà atteindre le plus petit élément pour lequel il faut une valeur immédiate (cest- à-dire non récursive) Le corps dune fonction récursive doit toujours exprimer un choix, soit par une expression conditionnelle, soit par une définition par cas Au moins un cas terminal rend une valeur qui nutilise pas la fonction définie

135 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 135 Fonctions récursives : exercice La version itérative qui calcule la somme des n premier nombres entier : Écrivez une fonction récursive

136 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 136 Fonctions récursives : exercice La version récursive

137 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 137 Fonctions récursives : exercice Ecrivez une fonction récursive (puis itérative) qui calcule le terme n de la suite de Fibonacci définie par : U(0)=U(1)=1 U(n)=U(n-1)+U(n-2) Fonction Fonction Fib (n : entier ) : entier Variable res : entier Si (n=1 OU n=0) alors res 1 Sinon res Fib(n-1)+Fib(n-2) Finsi retourne retourne (res) FinFonction FinFonction

138 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 138 Fonctions récursives : exercice (suite) Une fonction itérative pour le calcul de la suite de Fibonacci : Fonction Fonction Fib (n : entier ) : entier Variables i, AvantDernier, Dernier, Nouveau : entier retourne Si (n=1 OU n=0) alors retourne (1) Finsi AvantDernier 1, Dernier 1 Pour i allant de 2 à n Nouveau Dernier+ AvantDernier AvantDernier Dernier Dernier Nouveau FinPour retourne retourne (Nouveau)FinFonction Remarque: la solution récursive est plus facile à écrire

139 2006/2007Module I2, 1ère année SMI139 Algorithmique Les tableaux

140 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 140 Exemple introductif Supposons qu'on veut conserver les notes d'une classe de 30 étudiants pour extraire quelques informations. Par exemple : calcul du nombre d'étudiants ayant une note supérieure à 10 N1, …, N30 Le seul moyen dont nous disposons actuellement consiste à déclarer 30 variables, par exemple N1, …, N30. Après 30 instructions lire, on doit écrire 30 instructions Si pour faire le calcul nbre 0 Si (N1 >10) alors nbre nbre+1 FinSi …. Si (N30>10) alors nbre nbre+1 FinSi c'est lourd à écrire une seulestructure de donnée tableau Heureusement, les langages de programmation offrent la possibilité de rassembler toutes ces variables dans une seule structure de donnée appelée tableau

141 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 141 Tableaux tableau Un tableau est un ensemble d'éléments de même type désignés par un identificateur unique indice Une variable entière nommée indice permet d'indiquer la position d'un élément donné au sein du tableau et de déterminer sa valeur déclarationtype dimension La déclaration d'un tableau s'effectue en précisant le type de ses éléments et sa dimension (le nombre de ses éléments) En pseudo code : tableau [dimension] : type variable tableau identificateur[dimension] : type Exemple : tableau [30] : réel variable tableau notes[30] : réel On peut définir des tableaux de tous types : tableaux d'entiers, de réels, de caractères, de booléens, de chaînes de caractères, …

142 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 142 Tableaux : remarques notes[i] L'accès à un élément du tableau se fait au moyen de l'indice. Par exemple, notes[i] donne la valeur de l'élément i du tableau notes notes[i] Selon les langages, le premier indice du tableau est soit 0, soit 1. Le plus souvent c'est 0 (c'est ce qu'on va adopter en pseudo-code). Dans ce cas, notes[i] désigne l'élément i+1 du tableau notes Il est possible de déclarer un tableau sans préciser au départ sa dimension. Cette précision est faite ultérieurement. Par exemple, quand on déclare un tableau comme paramètre d'une procédure, on peut ne préciser sa dimension qu'au moment de l'appel En tous cas, un tableau est inutilisable tant quon na pas précisé le nombre de ses éléments Un grand avantage des tableaux est qu'on peut traiter les données qui y sont stockées de façon simple en utilisant des boucles

143 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 143 Tableaux : exemples (1) Pour le calcul du nombre d'étudiants ayant une note supérieure à 10 avec les tableaux, on peut écrire : Variables i,nbre : entier tableau ] : tableau notes[30] : réel Début Début nbre 0 Pouri Sinotes[i] Pour i allant de 0 à 29 Si (notes[i] >10) alors nbre nbre+1FinSiFinPour écrire ("le nombre de notes supérieures à 10 est : ", nbre)Fin

144 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 144 Tableaux : saisie et affichage Procédures qui permettent de saisir et d'afficher les éléments d'un tableau : Procéduretableau Procédure SaisieTab(n : entier par valeur, tableau T : réel par référence ) variable i: entier Pour Pour i allant de 0 à n-1 écrire ("Saisie de l'élément ", i + 1) lire (T[i] ) FinPour Fin Procédure Procéduretableau Procédure AfficheTab(n : entier par valeur, tableau T : réel par valeur ) variable i: entier Pour Pour i allant de 0 à n-1 écrire ("T[",i, "] =", T[i]) FinPour Fin Procédure

145 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 145 Tableaux : exemples d'appel Algorithme principale où on fait l'appel des procédures SaisieTab et AfficheTab : Algorithme Tableaux variable p : entier tableau : tableau A[10] : réelDébut p 10 SaisieTab(p, A) AfficheTab(p,A)Fin

146 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 146 Tableaux : fonction longueur longueur La plus part des langages offrent une fonction longueur qui donne la dimension du tableau. Les procédures Saisie et Affiche peuvent être réécrites comme suit : Procéduretableau Procédure SaisieTab( tableau T : réel par référence ) variable i: entier Pourlongueur(T)- Pour i allant de 0 à longueur(T)-1 écrire ("Saisie de l'élément ", i + 1) lire (T[i] ) FinPour Fin Procédure Procéduretableau Procédure AfficheTab(tableau T : réel par valeur ) variable i: entier Pourlongueur(T) Pour i allant de 0 à longueur(T)-1 écrire ("T[",i, "] =", T[i]) FinPour Fin Procédure

147 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 147 Tableaux : syntaxe Maple array En Maple, un tableau se définit en utilisant le type array comme suit : array (a..b) identificateur:= array (a..b) Identificateur est le nom du tableau a et b sont les bornes de l'indice du tableau Il est possible d'entrer directement toutes les valeurs d'un tableau. > A:=array(1..4,[5,8,1,7]); Exemple:> A:=array(1..4,[5,8,1,7]); Il est également possible de les entrer un par un comme suit : > T:=array(1..3); Exemple : > T:=array(1..3); > T[1]:=1: T[2]:=3: T[3]:=5: > print(T); [1, 3, 5] Pour afficher tous les éléments d'un tableau, il suffit d'utiliser la commande print > print(T); [1, 3, 5]

148 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 148 Tableaux en malpe : exemple Une procédure qui calcule la moyenne des éléments d'un tableau : > moyenne:=proc(n,T) > local i,s; > s:=0; > for i from 1 to n do > s:=s+T[i]; > od; > end; > A:=array(1..4,[5,8,1,7]); > moyenne(4,A);résultat : 21/4

149 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 149 Tableaux à deux dimensions deux indices Les langages de programmation permettent de déclarer des tableaux dans lesquels les valeurs sont repérées par deux indices. Ceci est utile par exemple pour représenter des matrices déclare En pseudo code, un tableau à deux dimensions se déclare ainsi : tableau [dimension1] [dimension2] : type variable tableau identificateur[dimension1] [dimension2] : type Exemple : une matrice A de 3 lignes et 4 colonnes dont les éléments sont réels tableau [3][4] : réel variable tableau A[3][4] : réel A[i][j] A[i][j] permet d'accéder à lélément de la matrice qui se trouve à lintersection de la ligne i et de la colonne j

150 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 150 Exemples : lecture d'une matrice Procédure qui permet de saisir les éléments d'une matrice : Procédure tableau Début Procédure SaisieMatrice(n : entier par valeur, m : entier par valeur, tableau A : réel par référence ) Début variables i,j : entier Pour Pour i allant de 0 à n-1 écrire ("saisie de la ligne ", i + 1) Pour Pour j allant de 0 à m-1 écrire ("Entrez l'élément de la ligne ", i + 1, " et de la colonne ", j+1) lire (A[i][j]) FinPour FinPour FinPour Fin Procédure

151 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 151 Exemples : affichage d'une matrice Procédure qui permet d'afficher les éléments d'une matrice : Procédure tableau Début Procédure AfficheMatrice(n : entier par valeur, m : entier par valeur,tableau A : réel par valeur ) Début variables i,j : entier Pour Pour Pour i allant de 0 à n-1 Pour j allant de 0 à m-1 écrire ("A[",i, "] [",j,"]=", A[i][j]) FinPour FinPour FinPour Fin Procédure

152 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 152 Exemples : somme de deux matrices Procédure qui calcule la somme de deux matrices : Procédure Procédure SommeMatrices(n, m : entier par valeur, tableautableau Début tableau A, B : réel par valeur, tableau C : réel par référence ) Début variables i,j : entier Pour Pour Pour i allant de 0 à n-1 Pour j allant de 0 à m-1 C[i][j] A[i][j]+B[i][j] FinPour FinPour FinPour Fin Procédure

153 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 153 Appel des procédures définies sur les matrices Exemple d'algorithme principale où on fait l'appel des procédures définies précédemment pour la saisie, l'affichage et la somme des matrices : Algorithme Matrices tableau : variables tableau M1[3][4],M2 [3][4],M3 [3][4] : réelDébut SaisieMatrice(3, 4, M1) SaisieMatrice(3, 4, M2) AfficheMatrice(3,4, M1) AfficheMatrice(3,4, M2) SommeMatrice(3, 4, M1,M2,M3) AfficheMatrice(3,4, M3)Fin

154 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 154 Matrices : syntaxe Maple array matrix Pour définir une matrice en Maple, on peut utiliser le type array ou le type matrix comme suit : array (a1..b1, a2..b2) identificateur:= array (a1..b1, a2..b2) matrix(n, m) identificateur:= matrix(n, m) a1 et b1 sont les bornes du premier indice du tableau a2 et b2 sont les bornes du deuxième indice du tableau n est le nombre de lignes et m le nombre de colonnes Il est possible d'entrer directement toutes les valeurs d'une matrice > A:=matrix(2, 3, [ [7,0,1], [2,4,3]] ); Exemple:> A:=matrix(2, 3, [ [7,0,1], [2,4,3]] ); matrixpackage linalg with(linalg) Le type matrix est disponible dans le package linalg. Il faut donc charger ce package avec la commande with(linalg) avant d'utiliser ce type

155 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 155 Tableaux : trouver lerreur Algorithme 1 Essai de tableau 1 Variables i : entier Tab(10) : tableau dentiers Début tant que (i <= 10) lire tab(i) i i+1 Fin de tant que Fin Algorithme 2 Essai de tableau 2 Variables i, x : entiers Tab(10) : tableau dentiers Début pour i variant de 1 à 10 Si Tab(i+1) < Tab(i) alors permute Tab(i), Tab(i+1) Fin de Si Fin de pour Fin

156 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 156 Tableaux : Exemple dexercice Écrire lalgorithme du traitement qui permet de saisir 10 nombres entiers dans un tableau à une dimension, puis qui recherche et affiche la valeur minimale entrée dans un tableau. Laffichage mentionnera également lindice auquel se trouve ce minimum.

157 157 Algorithme recherche Mini Recherche Mini Variables i, Indice_Mini, Mini : entiers Tab(10) : tableau dentiers Début pour i variant de 1 à 10 Lire Tab(i) Fin de pour Mini Tab(1) Indice_Mini 1 pour i variant de 2 à 10 Si Tab(i) < Mini alors Mini Tab(i) Indice_Mini i Fin de Si Fin de pour ecrire (Mini, Indice_Mini) Fin

158 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 158 Tableaux : 2 problèmes classiques Recherche dun élément dans un tableau Recherche dun élément dans un tableau Recherche séquentielle Recherche dichotomique Tri d'un tableau Tri d'un tableau Tri par sélection Tri rapide

159 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 159 Recherche séquentielle Recherche de la valeur x dans un tableau T de N éléments : Variables i: entier, Trouvé : booléen … i0, Trouvé Faux TantQue (i < N) ET (Trouvé=Faux) Si (T[i]=x) alors Trouvé Vrai Sinon ii+1 FinSi FinTantQue Si Trouvé alors // c'est équivalent à écrire Si Trouvé=Vrai alors écrire ("x appartient au tableau") Sinonécrire ("x n'appartient pas au tableau") FinSi

160 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 160 Recherche séquentielle (version 2) Une fonction Recherche qui retourne un booléen pour indiquer si une valeur x appartient à un tableau T de dimension N. x, N et T sont des paramètres de la fonction Fonction Recherche(x : réel, N: entier, tableau T : réel ) : booléen Variable i: entier Pour i allant de 0 à N-1 Si (T[i]=x) alors retourne (Vrai) FinSi FinPour retourne (Faux) FinFonction

161 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 161 Notion de complexité d'un algorithme efficacitécomplexité Pour évaluer lefficacité d'un algorithme, on calcule sa complexité complexitétemps mémoire Mesurer la complexité revient à quantifier le temps d'exécution et l'espace mémoire nécessaire nombre des opérations Le temps d'exécution est proportionnel au nombre des opérations effectuées. Pour mesurer la complexité en temps, on met en évidence certaines opérations fondamentales, puis on les compte nombre de données ordre de grandeur Le nombre d'opérations dépend généralement du nombre de données à traiter. Ainsi, la complexité est une fonction de la taille des données. On s'intéresse souvent à son ordre de grandeur asymptotique complexité le pire des cas complexité moyenne En général, on s'intéresse à la complexité dans le pire des cas et à la complexité moyenne

162 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 162 Recherche séquentielle : complexité Pour évaluer lefficacité de l'algorithme de recherche séquentielle, on va calculer sa complexité dans le pire des cas. Pour cela on va compter le nombre de tests effectués Le pire des cas pour cet algorithme correspond au cas où x n'est pas dans le tableau T Si x nest pas dans le tableau, on effectue 3N tests : on répète N fois les tests (i < N), (Trouvé=Faux) et (T[i]=x) complexitéd'ordre NO(N) La complexité dans le pire des cas est d'ordre N, (on note O(N)) Pour un ordinateur qui effectue 10 6 tests par seconde on a : N temps1ms1s16mn40s

163 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 163 Recherche dichotomique Dans le cas où le tableau est ordonné, on peut améliorer l'efficacité de la recherche en utilisant la méthode de recherche dichotomique Principe : Principe : diviser par 2 le nombre d'éléments dans lesquels on cherche la valeur x à chaque étape de la recherche. Pour cela on compare x avec T[milieu] : Si x < T[milieu], il suffit de chercher x dans la 1ère moitié du tableau entre (T[0] et T[milieu-1]) Si x > T[milieu], il suffit de chercher x dans la 2ème moitié du tableau entre (T[milieu+1] et T[N-1])

164 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 164 Recherche dichotomique : algorithme inf0, supN-1, Trouvé Faux TantQue (inf <=sup) ET (Trouvé=Faux) milieu(inf+sup)div2 Si (x=T[milieu]) alors Trouvé Vrai SinonSi (x>T[milieu]) alors infmilieu+1 Sinon supmilieu-1 FinSi FinSi FinTantQue Si Trouvé alors écrire ("x appartient au tableau") Sinonécrire ("x n'appartient pas au tableau") FinSi

165 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 165 Exemple d'exécution Considérons le tableau T : Si la valeur cherché est 20 alors les indices inf, sup et milieu vont évoluer comme suit : Si la valeur cherché est 10 alors les indices inf, sup et milieu vont évoluer comme suit : inf0556 sup8855 milieu465 inf002 sup833 milieu412

166 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 166 Recherche dichotomique : complexité La complexité dans le pire des cas est d'ordre L'écart de performances entre la recherche séquentielle et la recherche dichotomique est considérable pour les grandes valeurs de N Exemple: au lieu de N=1milion 2 20 opérations à effectuer avec une recherche séquentielle il suffit de 20 opérations avec une recherche dichotomique

167 2006/2007Module I2, 1ère année SMI167 Algorithmique Les méthodes de Tris

168 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 168 Tris dun tableau La méthode de tri

169 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 169 Les algorithmes de Tri Il existe plusieurs algorithmes connus pour trier les éléments dun tableau : Tris élémentaires Le tri par sélection Le tri par insertion Le tri à bulles Tris avancées Tri rapide …..

170 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 170 Tri par sélection

171 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 171 Nous avions une certaine situation sur lintervalle [ 0.. i-1 ] : les éléments jusquà i-1 sont triés, ceux qui suivent sont plus grands, mais pas triés. Nous retrouvons la même situation sur lintervalle [ 0.. i ] : les éléments jusquà i sont triés, ceux qui suivent sont plus grands, mais pas triés. Cette propriété est donc invariante avec i, on lappelle Tri par sélection : méthodologie

172 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 172 Tri par sélection : algorithme Supposons que le tableau est noté T et sa taille N Pour Pour i allant de 0 à N-2 indice i Pour Sialors Finsi FinPour Pour j allant de i + 1 à N-1 Si T[j]

173 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 173 Tri par sélection : exemple Simuler lalgorithme du tri par sélection sur le tableau suivant on montrant les étapes dexécution

174 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 174 Tri par sélection : exemple Principe Principe : à l'étape i, on sélectionne le plus petit élément parmi les (n - i +1) éléments du tableau les plus à droite. On l'échange ensuite avec l'élément i du tableau Exemple : Exemple : Étape 1: on cherche le plus petit parmi les 5 éléments du tableau. On lidentifie en troisième position, et on léchange alors avec lélément 1 : Étape 2: on cherche le plus petit élément, mais cette fois à partir du deuxième élément. On le trouve en dernière position, on l'échange avec le deuxième: Étape 3:

175 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 175 Tri par sélection : complexité

176 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 176 Tri par insertion

177 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 177 Tri par insertion : algorithme

178 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 178 Tri par insertion : exemple Simuler lalgorithme du tri par insertion sur le tableau suivant on montrant les étapes dexécution

179 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 179 Tri par insertion : Exemple - Prendre lélément i - Insérer i dans lordre entre 0 et i - Continuer à partir de i+1 2, 56, 4, 7, 0 2, 4, 56, 7, 0 2, 4, 7, 56, 0 0, 2, 4, 7, 56

180 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 180 Tri à bulles

181 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 181 Tri à bulles : algorithme

182 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 182 Tri à bulles : exemple Simuler lalgorithme du tri à bulles sur le tableau suivant on montrant les étapes dexécution

183 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 183 peuvent être éliminés Un balayage Suite des balayages Tri à bulles : exemple Sens de lecture de tableau

184 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 184 Tri rapide Le tri rapide est un tri récursif basé sur l'approche "diviser pour régner" (consiste à décomposer un problème d'une taille donnée à des sous problèmes similaires mais de taille inférieure faciles à résoudre) Description du tri rapide : 1) on considère un élément du tableau qu'on appelle pivot 2) on partitionne le tableau en 2 sous tableaux : les éléments inférieurs ou égaux à pivot et les éléments supérieurs à pivot. on peut placer ainsi la valeur du pivot à sa place définitive entre les deux sous tableaux 3) on répète récursivement ce partitionnement sur chacun des sous tableaux crées jusqu'à ce qu'ils soient réduits à un à un seul élément

185 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 185 Tri Rapide

186 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 186 Procédure Tri rapide ProcédureTp,r Procédure TriRapide(tableau T : réel par adresse, p,r: entier par valeur) variable q: entier Sialors Si p

187 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 187 Procédure de partition ProcédureTp,r Procédure Partition(tableau T : réel par adresse, p,r: entier par valeur, q q: entier par adresse ) Variables i, j: entier pivot: réel pivot T[p], ip+1, j r TantQue (i<=j) et TantQue (i<=r et T[i] <=pivot) i i+1 FinTantQue et TantQue (j>=p et T[j] >pivot ) j j-1 FinTantQue Sialors Si i

188 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 188 Partage avec pivot = TRI < 3 3 Suite du tri Tri Rapide : Exemple

189 2006/2007 Module I2, 1ère année SMI 189 Tri rapide : complexité et remarques La complexité du tri rapide dans le pire des cas est en O(N²) La complexité du tri rapide en moyenne est en O(N log N) Le choix du pivot influence largement les performances du tri rapide Le pire des cas correspond au cas où le pivot est à chaque choix le plus petit élément du tableau (tableau déjà trié)


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