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La théorie du monde est petit I. Simulation dun réseau 1. Monde ordonné 2. Permutations de relations II. Théorie 1. Chemin le plus court 2. Effet de laléatoire.

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1 La théorie du monde est petit I. Simulation dun réseau 1. Monde ordonné 2. Permutations de relations II. Théorie 1. Chemin le plus court 2. Effet de laléatoire III. Une autre manière de voir les choses 1. Nouvelle disposition 2. Proximité 3.Quelqus résultats

2 Introduction Expérience de Milgram –idée de « six degrés de séparations » Les premières expériences furent un échec Après dautre réitérations le nombre 6 se dégagea –Existence « dentonnoirs » Nombre dErdõs –Défini par récurrence Le nombre dErdõs du mathématicien Erdõs est 0 Une personne qui a cosigné un article de mathématiques avec un mathématicien ayant un nombre dErdõs (N) a un nombre (N+1) Si une personne n'a cosigné aucun article avec ces mathématiciens, il a par définition un nombre d'Erdős égal à

3 I. Simulation dun réseau 1. Monde ordonné –On considèrera quun monde est ordonné lorsque positionné en cercle son graphe est symétrique par rapport à tous ses diamètres –Il est possible de simuler un tel monde en Caml type gens = {nom : string ; mutable relation : string list};; type monde = {mutable reseau:gens list};; On donne au gens des numéros de 1 à n Chaque personne connaît les personnes ayant les k/2 numéros précédant le sien et les k/2 suivant le sien Un monde ordonné de 40 personnes ayant chacune 10 relations

4 2. Permutation de relation –On peut créer un modèle plus proche de la réalité en introduisant un part daléatoire dans un monde ordonné –Pour cela on modifie le monde en supprimant des relations aléatoirement et en recréant dautres au hasard –La fonction prend en argument un monde et un réel (p) entre 0 et 1 pour supprimer aléatoirement k relations et en créer k au hasard avec n le nombre de relations dans le monde et Un monde désordonné à 40 personnes ayant chacune 10 relations

5 II. Théorie 1. Chemin le plus court –On définit le chemin le plus court entre deux personnes par le plus petit nombre dintermédiaires entre ces deux personnes plus 1 –Le chemin le plus court moyen est la moyenne des chemins les plus courts entre toutes les personnes du monde –On peut le calculer le chemin le plus court entre une personne p1 et une personne p2 récursivement avec Les deux personnes sont en relation renvoie 1 Sinon renvoie 1 plus le chemin le plus court entre p1 et une personne imaginaire ayant le même nom que p2 et connaissant lensemble des connaissances des connaissances de p2 Si que le chemin est plus long que le nombre de gens dans le monde p1 et p2 ne sont pas en relation, la fonction renvoie un message derreur

6 2. les effets de laléatoire

7 –les test montrent que dès que lon rajoute un peu daléatoire le chemin le plus court diminue rapidement pour garder ensuite une valeur presque constante –On observe également que plus le nombre de relation est grand plus linfluence de laléatoire est faible Comparaison entre un monde ordonné et un monde moins ordonné (60 personnes ayant chacune 15 relations)

8 III. Une autre manière de voir les choses 1. Nouvelle disposition –On considère une nouvelle représentation: au lieu de considérer une disposition en cercle, on place les habitants sur une grille nxn. On a donc n² habitants. –On propose en même temps un nouveau modèle du réseau social: chaque habitant (représenté comme un nœud sur la grille) a des connaissances locales et des connaissances à longue distance. Deux mondes à 121 personnes

9 2. Proximité –On définit la distance d entre 2 nœuds (i,j) et(k,l) comme d= |k-i|+|l-j| –On définit ainsi trois nombres: p tel que chaque nœud u connaisse tous les nœuds situés dans une distance inférieure ou égale à p q comme le nombre de connaissances à longue distance de chaque nœud r tel que P(u connaisse v) est proportionnelle à. Trois mondes de 121 personnes avec respectivement p=1 et q=0 p=1 et q=1 p=3 et q=0

10 3.Quelques résultats. –On forme un algorithme pour transmettre un message dun nœud t à un nœud s. Il y a certaines conditions, à chaque étape u on a connaissance de: la structure de la grille emplacement de t des gens qui ont déjà eu le message et de leurs contacts –On appelle temps de livraison le nombre d étapes entre t et s. –Lorsque r=0, la théorie des graphes permet de montrer qu il y a une très large probabilité.


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