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L-System et modélisation de plantes…. Plan Introduction Grammaire formelle Structure L-System Exemple de L-System Application aux plantes Logiciel de.

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1 L-System et modélisation de plantes…

2 Plan Introduction Grammaire formelle Structure L-System Exemple de L-System Application aux plantes Logiciel de modélisation de structure L- System : L-System4

3 Introduction Les L-System ont été créés par Aristid Lindenmayer, But : modéliser les processus de croissance des plantes ou des bactéries. Traduction algorithmique de leur schéma de prolifération. Son modèle sappuit sur les grammaires formelles appelées L- System. Cellules => symboles. Division cellulaire => remplacement du symbole dune cellule par ceux des cellules obtenues après division.

4 Rappel : Grammaire Formelle (1) Définition dune syntaxe : éléments de base comme les lettres dun alphabet Rêgles de construction des mots. La syntaxe produit donc un ensembles de mots. Langage formel = ensemble des mots de longueur finie construits sur un alphabet fini.

5 Rappel : Grammaire Formelle (2) Utilité en informatique : vérifier quun élément est construit sur une syntaxe précise. Utilisation : Compilation lors de lanalyse syntaxique Analyse et traitement des langues naturelles. Exemples de grammaires formelles : Expressions arithmétiques exp -> exp + exp | exp * exp | (exp) | num num -> 0num|1num|2num|3num|4num|5num|6num|7num|8num|9num|0|1|2|3|4|5 |6|7|8|9 Logique propositionnelle …. Expressions régulières….

6 L-System : grammaire formelle Un L-System grammaire formelle 1) un alphabet V (un ensemble de symboles variables propres au L-System) 2) un ensemble de symboles constants S (dont certains commun à tous les L-System pour leur interprétation) -> voir le symbole F 3) un axiome de départ w (un ensemble de symboles appartenant à V) 4) un ensemble de règles de reproduction des symboles de V. Notation : G={V,S,w,P}

7 Exemple de L-System (1) Le L-System original de Lindenmayer pour modéliser les algues: Variables : A B Constantes : aucunes Axiome de départ : A Règles : (A -> AB),(B -> A) Les itérations produisent : n=0 : A -> AB n=1 : AB -> AB A n=2 : ABA -> AB A AB n=3 : ABAAB -> AB A AB AB A Etc…

8 Exemple de L-System (2) Les Nombres de fibonacci sont un L-System (Les L-System ne sont pas que des modélisations du monde vivant) Variables : A B Constantes : aucunes Axiome de départ : A Règles : (A-> B),(B->AB) Les itérations produisent : n=0 : A n=1 : B n=2 : AB n=3 : BAB n=4 : ABBAB n=5 : BABABBAB n=6 : ABBABBABABBAB Si lon compte la longueur de chaque string, on obtient la séquence des nombres de fibonacci : (Fameuse fonction non calculable au sens de turing)

9 Interprétation graphique Intérêt des L-System : interprétation graphique. Le mot obtenu : aucun sens en soit. Interprétation de gauche à droite. Chaque symbole (constant et variable) 1 élément graphique. Des symboles spécifiques introduits. Ces symboles définissent le comportement dun voyageur imaginaire qui parcourrait la chaîne obtenue. On parle de « Turtle interpretation »

10 Turtle interpretation Voici les symboles de parcours les plus connus : F : Se déplacer dun pas unitaire + : Tourner à gauche dangle alpha - : Tourner à droite dun angle alpha & : Pivoter vers le bas dun angle alpha ^ : Pivoter vers le haut dun angle alpha < : Roulez vers la gauche dun angle alpha > : Roulez vers la droite dun angle alpha | : Tourner sur soi-même de 180° [ : Sauvegarder la position courante ] : Restaurer la dernière position sauvée On peut constater que lopen-GL va se prêter idéalement à cette modélisation…

11 Exemple de L-System (3) Koch Snowflake (flocon de neige) Variables : F Constantes : aucunes Axiome de départ : F Règles : (F -> F+F-F-F+F) n=0: F n=1: F+F-F-F+F n=2: F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F

12 Exemple de L-System (4) n=3: F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F+ F+F-F- F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F- F+F-F-F+F+F+F-F- F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F- F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F- F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F+ F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F- F+F+F+F-F-F+F

13 Exemple de L-System (5) Penrose tilings (les tuiles de Penrose) Les tuiles de Penrose est un modèle de tuiles pouvant recouvrir complètement une surface infinie

14 Application aux éléments du monde végétal (1) Un exemple simple de L-System dont laxiome est A On peut assimiler A à un bourgeon et S à un segment dentre-noeud Variables : A S Axiome de départ : A Règles : A -> S[A]S[A]A S –> SS n=0: A n=1: S[A]S[A]A n=2: SS [S[A]S[A]A] SS [S[A]S[A]A] S[A]S[A]A

15 Application aux éléments du monde végétal (2) Ce qui donne :

16 Application aux éléments du monde végétal (3) Exemple de croissance de nadinus x ouellettus obtenue par L-System:

17 L-System - recherche agronomique – open-gl Le cirad en collaboration avec des universités du canada développe des programmes basés sur les L-System. Botanique et bioinformatique de larchitecture des plantes Sur le web : de nombreux logiciels permettent la modélisation et la génération de formes vivantes du monde végétal: L-System 4 Ces logiciels sont développés en OPEN-GL pour la plupart. Couplés avec une interface graphique (java, QT,…).


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