Relativité restreinte présentée au Club Astronomie Laval Septembre 08

Présentation au sujet: "Relativité restreinte présentée au Club Astronomie Laval Septembre 08"— Transcription de la présentation:

1 Relativité restreinte présentée au Club Astronomie Laval Septembre 08
Pierre-Yves Blais

2 Mathématicien & Physicien Écossais
Historique - Maxwell En 1873, James Clerk Maxwell établit les équations régissant les ondes électromagnétiques et notamment les ondes lumineuses. Selon cette théorie la vitesse de la lumière ne devait dépendre que des propriétés électriques et magnétiques du milieu et non de la vitesse du repère de mesures. Les équations de Maxwell disent que si on émet un faisceau lumineux depuis un observateur en mouvement vers l'avant ou vers l'arrière, la vitesse de la lumière mesurée d’un observateur fixe sera la même. James Clerk Maxwell Mathématicien & Physicien Écossais ( ) Champ électrique Photon Champ magnétique Propagation

3 Ce que Maxwell nous dit:
Historique - Maxwell Ce que Maxwell nous dit: Les deux observateurs voient le jet de lumière se déplaçant à exactement 299,792,458 m/s ou plus simplement 3x108 m/s (vitesse de la lumière dans le vide)

4 Historique - Lorentz Des formules de transformation pour passer d'un observateur à un autre furent établies par Lorentz ; il s'agissait d'équations de compatibilité dont la signification n'était pas claire. Une explication a été alors imaginée pour justifier ces formules étranges : l'éther, milieu jugé nécessaire à la propagation des ondes lumineuses comme l'air est nécessaire à la propagation des ondes sonores. La théorie de Lorentz implique également l'existence d'un référentiel absolu, le seul où les lois de l'électromagnétisme seraient applicables et d'un milieu, l'éther, qui servirait de support à la propagation des ondes électromagnétiques et qui serait fixe dans ce référentiel absolu. Les transformations de Lorentz sont à la base de la théorie de la relativité restreinte. Hendrik Antoon Lorentz Mathématicien & Physicien Danois ( )

5 Historique - Ether Pendant très longtemps, les physiciens, dont Christian Huygens ( ), ont supposé que, comme le son dans l'air ou les ondes à la surface d'un milieu liquide, la lumière se propageait dans un fluide : l'éther. L'éther était censé remplir le vide de l'univers. Ce fluide avait des propriétés étranges : il aurait dû être d'une rigidité quasi infinie pour nous transmettre la lumière d'étoiles, tout en offrant une résistance nulle au déplacement des objets matériels tels que la Terre. Newton avait même appelé cet éther sensorium Dei, sorte d'organe sensoriel de Dieu qui Lui permet de transmettre les influences d'un corps à l'autre.

6 Historique – Michelson-Morley
Michelson et Morley (entre 1881 et 1887), ont cherché à mettre en évidence l’existence de l’éther en mesurant la différence de vitesse de la lumière entre deux directions perpendiculaires et à deux périodes espacées de 6 mois. Comme notre planète se déplace autour du Soleil à la vitesse de 30 km/s, ils voulaient voir s'ils pouvaient mettre en évidence une différence de vitesse de la lumière entre la direction du mouvement de révolution et la direction opposée. Albert A. Michelson Physicien Prusse ( ) Edward Morley Chimiste Américain ( )

7 Expérience de Michelson-Morley (1881-1887)
N'ayant détecté aucune différence de vitesse de la lumière entre la direction du mouvement de révolution et la direction opposée, ils concluent (contrairement à l'attente) que cette différence était nulle. Cette expérience est sans doute la plus célèbre des expériences négatives (donnant un résultat contraire à ce qui était recherché). Elle valut à Michelson le prix Nobel de physique en 1907. Plusieurs tentatives d'explications classiques échouèrent et c'est Ernst Mach qui le premier émit l'hypothèse qu'il fallait rejeter le concept d'éther.

8 Théorie de la relativité restreinte
En 1905, dans son article intitulé De l'électrodynamique des corps en mouvement, Albert Einstein présenta la relativité comme suit : L'éther est une notion arbitraire qui n'est pas utile à l'expression de la théorie de la relativité. La vitesse de la lumière par rapport aux observateurs ne dépend pas de leur vitesse. Les lois de la physique respectent le principe de relativité. Le principe de relativité affirme que les lois physiques sont les mêmes pour tous les observateurs. Cela ne signifie pas que les événements physiquement mesurables dans une expérience sont les mêmes pour les différents observateurs, mais que les mesures faites par les différents observateurs vérifient les mêmes équations (lois). Cette théorie ne s’applique qu’a des corps en mouvement rectiligne et uniforme, c’est-à-dire sans accélérations ou en dehors de tout champ gravitationnel. Albert Einstein Physicien Allemand ( )

9 Le système de coordonnées
Lois de la géométrie euclidienne: Toute description d’évènements dans l’espace nécessite l’emploi d’un corps rigide (corps de référence) auquel ces évènements doivent être référencés. Ex : la position d’un avion dans le ciel est déterminée par sa longitude, latitude et son altitude (x,y,z). Le corps de référence étant la terre ferme. x y z

10 Principe de relativité dans la mécanique classique
La mécanique doit décrire comment les corps changent de lieu avec le temps. Chute de pierre à partir d’un avion en marche vue de l’avion : ligne droite Vue de la terre : parabole Question : les lieux que la pierre parcourt sont-ils réellement situés sur une droite ou sur une parabole? Remplaçons l’expression corps de référence par la notion de Systèmes de Coordonnées: La pierre décrit, par rapport à un système de coordonnées rigidement liée à l’avion, une droite. La pierre décrit, par rapport à un système de coordonnées rigidement liée à la terre, une parabole. x’ y’ z’ v x y z En accord avec le principe de relativité : Les événements physiquement mesurables dans une expérience ne sont pas nécessairement les mêmes pour les différents observateurs, mais les mesures faites par les différents observateurs vérifient les mêmes lois.

11 Le principe de relativité respecté?
x y K x’ y’ v K’ Avec le développement de l’Électrodynamique et de l’Optique, il devint de plus en plus manifeste que la Mécanique classique était une base insuffisante pour la description de toutes les lois physique. (ex : Lois de Maxwell: constance de la vitesse de la lumière dans le vide pour tout système de référence) Soit K étant l’espace et K’ la terre en mouvement à 30km/s. Selon la mécanique classique, on devrait s’attendre à ce que la vitesse de la lumière varie selon la direction de sa mesure. Or l’expérience de Michelson nous a prouvé que la vitesse de la lumière (loi de la nature) était constante peu importe la direction dans laquelle elle est mesurée.

12 Le principe de relativité
x’ y’ v x y K K’ Soit un système de référence K (la terre ferme). Un train suit une trajectoire rectiligne et uniforme par rapport à K. Principe de relativité: Soit un système de référence K’ (ex : un train) en mouvement rectiligne et uniforme sans rotation par rapport à K. Les phénomènes de la nature se déroulent, relativement à K’ (le train), conformément aux mêmes lois générales que relativement à K (la terre ferme).

13 Conséquences de la constance de la vitesse de la lumière : La relativité de la simultanéité.
Une expérience de pensée : comment Einstein est-il arrivé à dire que la simultanéité des évènements est relative !

14 La simultanéité à l’arrêt
A = A’ B = B’ M Le train étant à l’arrêt, on remarque que les deux signaux lumineux émis par les éclairs (ou la dynamite aux extrémités du train) arrivent en même temps aux deux observateurs, chacun étant au milieu de [AB] = [A’B’]. On parle donc ici de simultanéité des évènements.

15 La simultanéité lors du mouvement rectiligne uniforme
B M A B M A B M A B M

16 Autre point de vue (évènements simultané par rapport au train)
Lumière de l’explosion Explosion dynamite 1) Point de vue du train Tir de laser 2) Point de vue du sol A B M

17 Relativité de la simultanéité
Des évènements qui sont simultanés par rapport à la voie ferrée (M) ne sont pas simultanés par rapport au train (M’) et inversement. Chaque corps de référence a son temps propre. Une indication de temps n’a de sens que si l’on indique le corps de référence auquel elle se rapporte.

18 La transformation de Lorentz
x’ y’ z’ x y z v (t,t’) Comment peut-on déterminer le lieu et le temps d’un évènement par rapport au train quand on connait le lieu et le temps d’un évènement par rapport au sol (et vice versa)? Quelles relations existe-il entre (x, y, z, t) et (x', y', z', t') pour que les deux postulats d'Einstein soient satisfaits ? Constance de la vitesse de la lumière. Les lois de la physique respectent le principe de relativité, i.e. elles sont les mêmes pour tous les observateurs.

19 La transformation de Lorentz
Limitons notre mouvement dans l’axe des x x’ y’ z’ x y z v (t,t’) Et inversement: : Facteur de Lorentz 1

20 Implications des transformations de Lorentz et du principe de relativité
Ce qu’Einstein nous dit: Ce que j’appelle mon espace (x) est une mélange de ton espace (x’) et de ton temps (t’) Ce que tu appelle ton espace (x’) est un mélange de mon espace (x) et de mon temps (t) En prenant pour point de départ la constance de la vitesse de la lumière, nous ne pouvons conclure autrement que l’espace et le temps sont tous les deux relatifs et reliés et dépendent de l’état de l’observateur. La vitesse de la lumière représente une barrière qu’il est impossible de franchir.

21 Lorentz, Poincaré, Larnor, Einstein
Dans leurs recherches, Lorentz, Poincaré et Larnor se dirigeaient lentement vers une même révision des notions de l’espace et du temps mais ils étaient embourbés dans les principes de la physique Newtonienne qui supportaient la notion de temps et d’espace absolus. En présumant que l’espace et le temps sont absolus (physique Newtonienne), ils étaient forcés de conclure que la vitesse de la lumière est relative, et dépend de la vitesse de l’observateur. Einstein, en présumant que la vitesse de la lumière est absolue, a été forcé de conclure que l’espace et le temps sont relatifs et dépendent de la vitesse de l’observateur. L’espace et le temps étant relatifs, aucun état de mouvement ne peut être considéré comme préférentiel. Tous les états de mouvement sont égaux aux yeux des lois de la physique. Henri Poincaré - FR ( ) Joseph Larmor - IR ( ) Hendrik Antoon Lorentz - DN ( ) Albert Einstein - AL ( )

22 Continuum à 3 dimensions
L’espace classique est un continuum à trois dimensions. Cela veut dire qu’il est possible de déterminer la position d’un point (immobile) au moyen de trois nombres (coordonnées) x,y,z. Il existe pour chaque point un nombre quelconque de points ‘’voisin’’, dont la position x1,y1,z1 qui sont aussi voisines que l’on veut des coordonnées x,y,z du premier point. À cause des cette dernière propriété nous parlons d’un ‘’continuum’’, et de ‘’trois dimensions’’ à cause des trois coordonnées. x y z (x1,y1,z1) (x,y,z)

23 Continuum à 4 dimensions
De manière analogue, le monde des évènements physique de Minkowski est naturellement à quatre dimensions dans le sens spatio-temporel. Il est composé d’évènements dont chacun est déterminé par quatre nombre (x,y,z,t) Le monde de Minkowski, dans ce sens, est aussi un continuum car il existe pour chaque évènement (x,y,z,t) un nombre quelconque d’évènements voisins (x1,y1,z1,t1). Que nous ne soyons pas habitués à considérer le monde comme un continuum à quatre dimension s’explique par le fait que le temps a toujours joué un rôle indépendant des coordonnées d’espace. C’est pour cette raison que nous avons pris l’habitude de traiter le temps comme un continuum indépendant. En effet, dans la mécanique classique, le temps est absolu et indépendant de la position et du mouvement du système de référence. x y z (x1,y1,z1,t1) (x,y,z,t)

24 Géométrie 101 y (x,y) Dans un espace à deux dimensions, la distance d’un évènement (point) est donnée par l’équation (théorème de Pythagore); c2 = a2 + b2 Dans un espace à trois dimensions, la distance d’un évènement (point) est donnée par l’équation: d2 = a2 + b2 + c2 c a x b x y z (x,y,z) a b c d

25 Le monde à quatre dimensions de Minkowski
Si on ne limite pas les déplacements uniquement dans l’axe des x, au point de vue mathématique, les transformations de Lorentz peuvent également être exprimée sous la forme: x2 + y2 + z2 – c2t2 = x’2 + y’2 + z’2 – c2t’2 Ou de manière encore plus simple si on introduit, à la place de t, la quantité imaginaire ct comme variable de temps ainsi que x1 = x x2 = y x3 = z x4 = ct On obtient: x12 + x22 + x32 + x42 = x1’2 + x2’2 + x3’2 + x4’2

26 Le monde à quatre dimensions de Minkowski
x12 + x22 + x32 + x42 = x1’2 + x2’2 + x3’2 + x4’2 La coordonnée de temps imaginaire (x4= ct) entre dans la formule exactement de la même manière que les coordonnées d’espace x1 , x2 , x3 . Le facteur c étant une constante (imaginaire), il nous est permis de le multiplier au temps (de la même façon que l’on multiplie des miles par 1.6 pour donner des km). Les lois de la nature prennent des formes mathématiques où la coordonnée de temps joue exactement le même rôle que les trois coordonnées d’espace. On peut donc regarder le monde de Minkowski, au point de vue formel, comme un espace euclidien à quatre dimensions.

27 Espace vs Espace-temps
x y (x,y) a b c Dans un espace euclidien à deux dimensions: a2 + b2 Dans un espace euclidien à trois dimensions: a2 + b2 + c2 Dans un espace-temps euclidien à quatre dimensions de Minkowsky x12 + x22 + x32 + x42 x y z (x,y,z) a b c d x y z (x1,x2,x3,x4)

28 Mathématicien Lithuanien
Hermann Minkowski Hermann Minkowski (Alexotas en Russie, aujourd'hui en Lituanie, le 22 juin Göttingen le 12 janvier 1909) est un mathématicien et un physicien théoricien allemand. En 1907, Minkowski réalise que le travail de Hendrik Antoon Lorentz et Einstein pourrait être mieux compris dans un espace non-euclidien. Il reprend les travaux d’Einstein sur la relativité restreinte et étudie donc l'espace et le temps, que l'on avait l'habitude de dissocier, pour finalement les réunir en un « continuum espace-temps » à 4 dimensions. Ce continuum espace-temps, maintenant appelé espace de Minkowski, est la base de tous les travaux sur la théorie de la relativité. Ces idées ont été nécessaires à Einstein pour développer la théorie de la relativité générale. Hermann Minkowski Mathématicien Lithuanien (1864 – 1909)

29 La relativité de la notion de temps
Vu de la fusée: Le photon prend (par exemple), 1 nano seconde pour faire l’aller et le retours (le temps pour la lumière de parcourir la distance 2D) Vu du sol: Le photon doit parcourir la distance 2s qui est (par exemple) 10 x plus grande que 2D. La vitesse de la lumière étant aussi constante pour cet observateur, le temps de parcours sera de 10 nano secondes. Conclusion: Une horloge animée d'une certaine vitesse par rapport à un référentiel fixe sera vue battre le temps à un rythme plus lent quand on le rapporte à celui des horloges de ce référentiel fixe. Autrement dit : une horloge en mouvement retarde. Aucun référentiel n’étant absolu et privilégié, le temps écoulé sur terre vu de la fusée sera également ralenti!!!! - Paradoxe des jumeaux (voir plus loin pour brève explication)

30 La relativité de la notion de temps
Comment peut-on calculer le temps écoulé dans la fusée par rapport à la terre? – Par les équations de Lorentz et plus particulièrement, le facteur de Lorentz T’ (fusée) = T (terre) * Ex: v = 0.6 c, on aura 1 / (1 – (0.6c)2 / c2)1/2 = 0.8 T’(fusée) = 0.8 x T(terre) : Pour 10 ans écoulés sur la terre, l’astronaute aura vieillit de 8 ans par rapport à la terre.

31 La relativité de la notion de distance
Obligatoirement, si le temps est étiré pour un objet en mouvement, la distance mesurée sera donc proportionnellement réduite (ce que nous démontre les transformations de Lorentz). Vue de la terre, une fusée de 10m passant à 0.6c ne mesurera que 8m. D (terre) = D’ (fusée) * Seulement la dimension dans l’axe du mouvement sera affectée, le diamètre de la fusée demeurera constant. De façon similaire, un observateur dans la fusée verra la terre compressée de 80% dans la direction de son mouvement. De la même façon, la distance de la terre à Alpha Centauri, vue de la fusée, ne sera pas de 4 année-lumière mais seulement 3.2 année-lumière.

32 La relativité de la notion de distance
Prenons l’exemple d’un train de 100m de longueur filant sur la voie. Vu de la voie, la longueur du train variera en fonction de sa vitesse par rapport à l’observateur: V = 0 km/h D = 100 m V = 300km/h D = 100m – 4x10-12m ou c V = 0.1c D = 99.5 m V = 0.5c D = 86.6 m V = 0.99c D = 14.1 m V = c D = 1,4 mm

33 La relativité de la notion de distance et de temps
De façon similaire, la distance de la terre à Alpha Centauri, vue d’un observateur dans le train, variera en fonction de la vitesse relative du train par rapport à la terre. Vitesse Distance Terre- Alpha Centauri (mesurée du train) Temps du voyage mesuré de la Terre Temps du voyage mesuré du train 300 km/h c 4 AL – 360m 14 millions d’années - 4 sec 0.1c 3.98 AL 40 ans 39.8 ans 0.5c 3.5 AL 20 ans 7 ans 0.99c 0.56 AL 4.04 ans 6.8 mois c AL 4 ans 30 min

34 Le paradoxe des jumeaux – brièvement expliqué
Considérons un voyageur en route vers Alpha Centauri (4AL) voyageant à une vitesse de 0.5c. Il synchronise son horloge avec son frère jumeau au départ. En accélérant rapidement à 0.5c, il change de système de référence. De son nouveau point de vue, ou système de référence, la distance de l’étoile est maintenant de 3.5AL. À sa vitesse de 0.5c , il prendra environ 7 ans pour l’aller et 7 ans pour le retour, donc 14 ans. Du point de vue de son frère resté sur terre, le voyage durera (4AL / 0.5c) x 2 (aller-retour) = 16 ans. Le voyageur revient donc deux ans plus jeune que son frère. Diagramme de Minkowski

35 La relativité : cas réel

36 Le paradoxe de la grange
M Question: Comment un train de 200 m peut-il contenir dans une grange de 100m? Que se passe-t-il du point de vue d’un observateur sur le train et sur le sol en M?

37 Le paradoxe de la grange (point de vue du train)
M M M M

38 Le paradoxe de la grange (point de vue du sol)
M M M M

39 L’addition des vitesses relativistes
v=0.9 c Balle W’ = 0.5 c Un observateur sur un train filant à v = 0.9c tire une balle vers l’avant du train. Son fusil, baptisé grosse pétarade, tire des balles à w’ = 0.5c. Selon son point de vue, la balle file donc vers l’avant du train à 0.5 c. Selon le point de vue de l’observateur au sol, on pourrait penser que la balle se déplace avec une vitesse de 1.4c Selon les transformations de Lorentz, l’addition des vitesse se fait en utilisant la formule suivante: W = W’ + V . 1 + V x W’ C2

40 L’addition des vitesses relativistes
v=0.9 c Balle W’ W = W’ + V 1 + V x W’ C2 Vue du sol, la vitesse W de la balle, en considérant v = 0.9c, W’ = 0.5c sera donc de W = ( ) / ( 1 + (0.5 x 0.9)) = 1.4 / 1.45 = 0.96c De la même façon, remplaçons la balle par un photon. Du point de vue de l’observateur sur le train, le photon tiré vers l’avant va à la vitesse c. Du point de vue de l’observateur au sol, ce photon n’ira pas à 2c mais bien à: W = ( ) / ( 1 + (1 x 0.9)) = 1.9 / 1.9 = 1c

41 La relativité de la notion de masse
120 km/h 0 km/h 60 km/h x x 60 km/h 60 km/h x Vue du train: Dans cet exemple, deux balles collantes, de masses égales, sont lancées l’une contre l’autre. Le centre d’inertie (centre de masse) x est exactement entre les deux balles. La conservation de la quantité de mouvement fait que les deux balles s’immobilisent au centre. Vue du sol: Dans un train filant à 60 km/h vers la droite. Vue du sol, la balle bleue file à 120km/h et la rouge est immobile. Le centre d’inertie est exactement entre les deux balles et file vers la droite à 60 km/h. Après la collision, le centre d’inertie se déplace toujours à 60km/h Conclusion: Les deux masses sont identiques vues du sol.

42 La relativité de la notion de masse
0.9 c 0.99 c 0 c 0.9 c x x 0.9 c 0.9 c x 0 c 0.9 c Vue du train: Pour un observateur dans un train en mouvement filant à 0.9 c, le centre d’inertie (centre de masse) est toujours au centre du train. Suite à la collision, le centre de masse est immobile. De son point de vue, les masses sont identiques. Vue du sol: Du sol, la balle bleue file à 0.99c et non à 1.8c (théorème de l’addition des vitesse). On s’attendrait à ce que les deux balles collées filent vers la droite à environ 0.5c après la collision. En réalité, elles se déplacent à 0.9c après la collision. Conclusion: vue du sol, la balle bleue (en mouvement par rapport au sol) a une masse supérieure à la balle rouge (immobile par rapport au sol)

43 La relativité de la notion de masse
Le facteur de Lorentz est également utilisé pour calculer la masse d’un objet en mouvement par rapport à un observateur immobile. M (en mouvement) = M (au repos) / Ex: Une masse de 1kg filant à v = 0.999c pèsera par rapport à un observateur immobile M = 1kg / (1 – )1/2 = 22.4 kg À des vitesses proches de la lumière, il faut de plus en plus d’énergie pour accélérer un corps (faire augmenter sa vitesse) en raison de l’augmentation de sa masse. C’est pour cette raison que nous avons besoin d’accélérateur de particules de plus en plus puissant pour étudier des particules hautement énergétiques. Il est donc impossible pour un corps possédant une masse au repos d’atteindre la vitesse de la lumière. En effet, en approchant de la vitesse de la lumière, la masse de ce corps sera plus élevée que l’univers entier et atteindrait l’infini à la vitesse de la lumière.

44 Relativité et notion d’énergie
En mécanique classique, l’équation de l’énergie d’un corps en mouvement de masse m (énergie cinétique) est donnée par E = m v2 2 D’après la théorie de la relativité, l’énergie d’une masse m est maintenant donnée par E = m Cette expression tend vers l’infini quand la vitesse v tend vers c. La vitesse doit par conséquent toujours rester inférieure à c, si grandes que soient les énergies qu’on emploie à l’accélérer. Lorsque la vitesse est nulle (v=0), l’énergie du corps au repos sera donc de: E = m c2 c (1 – v2 / c2)1/2

45 Conclusion Einstein a voulu régler les problèmes et contradictions de la théorie classique quand il a fait sa théorie de la relativité restreinte. Il l'a faite pour un mouvement rectiligne uniforme. Il a démontré que certaine notions qui nous paraissaient naturelles (simultanéité "absolue", ...) ne sont que relatives. Tous ce qu'Einstein a prédit dans cette théorie a été vérifié expérimentalement pour des corps ayant des vitesses proche de celle de la lumière. Cependant, la théorie est "restreinte" car elle ne s'applique qu'aux mouvements rectilignes et uniformes. Il faudra attendre sa théorie de la relativité générale (1915) pour l'explication des modifications du temps et des longueurs lors de mouvements non rectilignes et non uniformes (accélérés ou décélérés) ou sous l’influence d’un champ gravitationnel...

46