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Automate asynchrone 1. Souvenons-nous que jusquà ce point nous avons évité le mot vide. Un automate fini dans lequel certaines flèches sont étiquetées.

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1 Automate asynchrone 1

2 Souvenons-nous que jusquà ce point nous avons évité le mot vide. Un automate fini dans lequel certaines flèches sont étiquetées par le mot vide (« - transitions ») sappelle automate asynchrone. Ensemble des flèches vérifie donc E Q × (A ) × Q. Proposition : Pour tout automate asynchrone, il existe un automate fini ordinaire (c.à.d. sans - transitions) qui reconnaît le même langage. Comme tout automate non déterministe est équivalent à un automate déterministe, il en suit que tout automate asynchrone est équivalent à un automate déterministe. Il existe un algorithme de suppressions de -transitions. 2

3 3 Pour un automate asynchrone C = (Q, I, T, E) avec E Q × (A ) × Q nous allons construire un automate B=(Q, I, T, F) qui ne diffère de C que par lensemble de ses flèches et ce, suivant une règle bien déterminée : par définition on a (p.a.q) F sil existe un chemin a c : p 0 p 1 … p n q 0 q 1 … q m et p 0 = p, q m = q a p0p1pnq0qmq1

4 4 Ex. a) Prenons un automate asynchrone :A1 a b c Ici, suivant le raisonnement précédent, il existent les chemins : 1a1, 1a2, 1b2, 1c3, 2b2 et 2c3. b) Donc cet automate est équivalent à lautomate non déterministe suivant : aab c b c

5 5 c) Maintenant on peut le déterminiser : ,2 a a b b b c c c abc (A3) 11,223 1,21,

6 , 2 a a b b b c c c P a,b,c a ou bien, en ajoutant létat poubelle : a bc 11,2 23 1,21,2 23 2P 23 3P PP PP PP (A4)

7 7 d) Mais en réalité, il est plus simple se passer de létape (b) et construire un automate déterministe directement à partir dun automate asynchrone. Redessinons lautomate (*) : A1 Létat initial de lautomate déterministe correspondant à (*) est (1,2), car en lisant le mot vide on arrive et en 1, et en 2. Continuons à déterminiser en marquant dans les colonnes correspondant à la lecture de chaque caractère, tous les états où on arrive après la lecture du caractère en question, c.à.d. non seulement létat où mène la flèche étiquetée par ce caractère (disons, a), mais aussi tous les états où on peut arriver en lisant a, a etc. Dans notre cas particulier, il ny a pas de telles transitions, mais il faut systématiquement en tenir compte ab c

8 8 étata bc (1,2)(1,2) 23 (A5) ,2 2 3 ab c b c

9 9 Minimisons (A4) : abc 11,223 1,21,223Ici, on voit immédiatement que les états 1 et 1,2 ne se 2P23sépareront jamais ! 3PPP PPPP

10 10 0 ={(1,(1,2),2,P), (3)}={I, (3)} (Utilisons une notation un peu plus intelligente pour ne pas modifier le sens des chiffres romains sans cesse) abc 1II3 1,2II3 2II3 PIII P se sépare en formant un groupe à part (cest toujours le cas) 1 ={(1,(1,2),2), (P), (3)}={I, (P),(3)} abc 1II3 1,2II3 2PI3 2 se sépare 2 ={(1,(1,2)), (2), (P), (3)}={I, (2),(P),(3)}

11 11 abc 1I23 1,2I23 Le groupe (1,(1,2)) na aucun chance à se scinder en deux, car dès le début 1 et (1,2) ont les mêmes transitions. Donc on a terminé, et on obtient I2 3 a b c b c II a,b,c

12 12 ce qui est le même automate que le résultat de compléter lautomate (A5) ! (en minimisant lautomate (A5), la seule chose quil reste à faire cest de le compléter, autrement il est déjà minimal).


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